1.4初等变换与初等矩阵.ppt

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1、第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2x1 3x2+4x3=4 x1+2x2 x3 =3 2x1+2x2 6x3=2 一一.初等变换初等变换 公元前公元前1世纪世纪,九章算术九章算术 初等变换初等变换,相当于相当于高斯消元法高斯消元法 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2 2x x1 1 3 3x x2 2+4+4x x3 3=4 4 x x1 1+2+

2、2x x2 2 x x3 3=3 3 2 2x x1 1+2+2x x2 2 6 6x x3 3=2 2 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3=3 3 2 2x x1 1 3 3x x2 2+4+4x x3 3=4=4 x x1 1+x x2 2 3 3x x3 3=1 1 x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3=3 3 x x2 2+2+2x x3 3=2 2 x x2 2 2 2x x3 3=2 2 2 2 (1)1)x x1 1+2+2x x2 2 x x3 3=3 3 x x2 2+2+2x x3 3=2 2 0 0=0 0 1/2 1/2 1 1 2 2 3 3 4

3、 4 4 4 1 2 1 2 1 1 3 3 2 2 2 2 6 6 2 2轻轻轻轻装装装装上上上上阵阵阵阵 1 2 1 2 1 1 3 3 2 2 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 3 3 1 1 1/2 1/2 1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 1 2 2 2 2 0 0 1 2 2 2 2 2 2 (1)1)1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 x x1 1+2+2x x2

4、2 x x3 3=3 3 x x2 2+2+2x x3 3=2 2 0 0=0 0 (2)2)1 2 1 2 1 1 3 3 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x x1 1 5 5x x3 3=1 1 x x2 2+2+2x x3 3=2 2 0 0=0 0 (2)2)1 1 0 0 5 5 1 1 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 x x1 1=5=5c c+1 1x x2 2=2 2c c 2 2 x x3 3=c c其中其中c为任意实数为任意实数.1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0

5、 0 0 0 (2)2)2 2 1 0 1 0 5 5 1 1 0 0 1 2 1 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 (1)1)5 5 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Gauss-Jordan reduction第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 1.初等行变换初等行变换(elementary row operations)初等列变换初等列变换(elementary column operations)(1)对换变换对换变换

6、:ri rj,(2)倍乘变换倍乘变换:ri k,(3)倍加变换倍加变换:ri+krj.初等变换初等变换(1)对换变换对换变换:ci cj,(2)倍乘变换倍乘变换:ci k,(3)倍加变换倍加变换:ci+kcj.初等行变换初等行变换 初等列变换初等列变换 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 若矩阵若矩阵A经过有限次初等变换化为经过有限次初等变换化为B,则称则称A与与 B等价等价(equivalent).记为记为A B.(1)反身性反身性(reflexivity)A A,容易验证矩阵之间的等价关系具有

7、如下性质容易验证矩阵之间的等价关系具有如下性质:(2)对称性对称性(symmetry)A B B A,(3)传递性传递性(transitivity)A B,B C A C.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵行阶梯形矩阵与行最简形矩阵(课本课本P3)A 中非零行的数目为中非零行的数目为A的的阶梯数阶梯数.1 1 0 0 40 1 0 2 20 0 0 2 30 0 0 0 41 1 2 0 40 1 3 2 20 0 0 2 30 0 0 0 0,行阶梯形行阶梯形(r

8、ow echelon form)注意注意 不是阶梯形矩阵不是阶梯形矩阵!1 1 0 0 40 1 0 2 20 2 0 2 30 0 0 0 4第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 则称则称A为为行最简形行最简形(reduced reduced row row echelon formechelon form).如果阶梯阵如果阶梯阵A还满足如下条件还满足如下条件 各非零首元全为各非零首元全为1,非零行首元所在列的其余元素全为非零行首元所在列的其余元素全为0,1 0 2 0 10 1 3 0 20 0

9、 0 1 00 0 0 0 0注注:用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都任何一个矩阵都 可以经过有限次初等可以经过有限次初等行行变换化为行最简形变换化为行最简形 矩阵矩阵.例如例如 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 例例1.13 用初等行变换将矩阵用初等行变换将矩阵化为行阶梯矩阵化为行阶梯矩阵.书上错书上错第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 解：对解：对A作初等行变换得作初等行变

10、换得第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 例例1.14 用初等行变换将上例中矩阵化为行最简形用初等行变换将上例中矩阵化为行最简形解：对矩阵解：对矩阵B1作初等行变换作初等行变换第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 进一步对所得矩阵进行初等变换，可得进一步对所得矩阵进行初等变换，可得第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初

11、等矩阵 3.若若m n矩阵矩阵 A经过有限次初等变换化为经过有限次初等变换化为 Er Or(n r)O(m r)r O(m r)(n r)的形式的形式,为为A的的(等价等价)标准形标准形 则称则称 注注:用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都任何一个矩阵都 可以经过有限次初等变换化为标准形可以经过有限次初等变换化为标准形.(canonical form).第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 二二.初等矩阵初等矩阵(elementary reduction matrices)E c

12、i cj E(i,j)E ci k E(i(k)E ci+kcj E(j,i(k)E ri rj E(i,j)(1)E ri k E(i(k)(2)E ri+krj E(i,j(k)(3)一次初等变换一次初等变换一次初等变换一次初等变换 1.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 E(i,j)=第第第第i i行行行行1 1 0 11 01 1 1 1 第第第第j j行行行行第第第第i i列列列列第第第第j j列列列列第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4

13、 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 E(i(k)=第第第第i i行行行行1 k 1 1 第第第第i i列列列列1 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 E(i,j(k)=第第第第i i行行行行 1 k 1 1 第第第第j j行行行行 第第第第i i列列列列第第第第j j列列列列1 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 0 1 00 1 01 0 01 0 0

14、0 0 10 0 1a b ca b cx y zx y z1 2 31 2 3,=x y zx y za b ca b c1 2 31 2 30 1 00 1 01 0 01 0 00 0 10 0 1a a x x 1 1b b y y 2 2c c z z 3 3,=x x a a 1 1y y b b 2 2z z c c 3 31 1 k k 0 00 1 00 1 00 0 10 0 1a b ca b cx y zx y z1 2 31 2 3,=a a+k+kx x b b+k+ky y c c+k+kz z x y z x y z 1 2 3 1 2 31 1 k k 0 0

15、0 1 00 1 00 0 10 0 1a a x x 1 1b b y y 2 2c c z z 3 3.=a a a ak+k+x x 1 1b b b bk+k+y y 2 2c c c ck+k+z z 3 31 0 01 0 00 1 00 1 00 0 0 0 k ka b ca b cx y zx y z1 2 31 2 3,=a a b cb cx x y zy zk k 2 2k k 3 3k k1 0 01 0 00 1 00 1 00 0 0 0 k ka a x x 1 1b b y y 2 2c c z z 3 3,=a a x x k kb b y y 2 2k k

16、c c z z 3 3k k第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 2.初等矩阵的性质初等矩阵的性质 定理定理1.1.对对m n矩阵矩阵A进行一次初等进行一次初等行行变换变换 相当于在相当于在A的的左左边乘以相应的初等边乘以相应的初等 矩阵矩阵;对对A施行一次初等施行一次初等列列变换相变换相 当于在当于在A的的右右边乘以相应的初等矩边乘以相应的初等矩 阵阵.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 例例1.15

17、 用初等变换将矩阵用初等变换将矩阵化为标准形化为标准形E(r)，并将，并将E(r)表示成表示成A与初等与初等矩阵的乘积矩阵的乘积.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 由定理由定理1.1可得可得1.第第3行减去第行减去第2行行2.第第2行加到第行加到第1行行A3.第第3列减去第列减去第1列列4.第第3列减去第列减去第2列列第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 定理定理1.2.m n矩阵矩阵A,m阶初等矩阵

18、阶初等矩阵 P1,P2,Ps s.t.P1P2PsA为行最简形为行最简形.例如例如,0 0 1 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 4 2 2 0 0 1 1 2 2 1/2 1/2 1 2 1 2 1 1 0 0 1 1 2 2 (2)2)1 1 0 0 5 5 0 0 1 1 2 2 A=A 0 0 1 1 1 0 1 0=A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1 A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1=1 1 2 2 0 1 0 1 第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵

19、初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 定理定理1.3.m n矩阵矩阵A,m阶初等矩阵阶初等矩阵P1,P2,Ps 及及n阶初等矩阵阶初等矩阵 Q1,Q2,Qt s.t.P1P2PsAQ1Q2Qt=E ,mm n n(r r)其中其中r为一个不超过为一个不超过minm,n的非负的非负 整数整数.第一章第一章第一章第一章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1.4 1.4 初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 例如例如,0 0 1 1 2 2 2 4 2 4 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 5 5 0 0 1 1 2 2 A

20、=A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1=1 1 2 2 0 1 0 1 初等初等初等初等 行变换行变换行变换行变换 5 5 (2)2)1 1 0 5 0 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1 1 1 2 2 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 5 0 5 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 A 0 0 1 1 1 0 1 0 1/21/2 0 0 0 1 0 1 1 1 2 2 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 0 1 0 0 1 1.5-71.5-7