重难点04解析几何(解析版).pdf

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1、重难点重难点 0404解析几何解析几何【命题趋势】解析几何一直是高考数学中的计算量代名词， 在高考中所占的比例一直是2+1+1 模式.即两道选择，一道填空，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、 圆等结合考查一道综合题目， 一般难度诶中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中， 一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了

2、高考中常见的解析几何的题型进行详细的分析与总结， 通过本专题的学习， 能够掌握高考中解析几何出题的脉略， 从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知， 对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定值问题：采用逆推方法，先计算出结果 .即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.

3、然后再利用答案，写出一般情况下的过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式 .对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：35 分钟）一、单选题1（2020四川高三期末（理）己知点A(1,0)，B(1,0)分别为双曲线x2y2C :221(a 0,b 0)的左、右顶点，点M在双曲线C上，若VABM是顶角ab为120的等腰三角形，则双曲线C的方程为

4、y22Ax 1By24x 132y2Cx 122Dx2 y21【答案】D【解析】分析：由条件可得a 1，不妨设点 M 在双曲线的右支上，由题意可得等腰ABM 中，1ABM 120且AB BM 2，由此可得点 M 的坐标，然后根据点 M 在双曲线上可得b1，故可得曲线方程y2详解：由题意得a 1，故双曲线的方程为x 21(b 0)b2设点 M 在双曲线的右支上且在第一象限，则在等腰ABM 中，有ABM 120且AB BM 2，点 M 的横坐标为xM12cos 60 2，纵坐标为yM 2sin603，点 M 的坐标为(2,3)又点(2,3)在双曲线上，( 3)22 1，解得b21，2b2双曲线的方

5、程为x2 y21故选 D【点睛】：对于圆锥曲线中的特殊几何图形的问题， 解题时要根据题意将几何图形的性质转化为曲线中的有关系数的问题处理， 如根据等腰三角形可得线段相等、 底边上的高与底边垂直等22（2020北京高三期末（理）已知F是抛物线C : y 2px(p 0)的焦点，抛物线Cx2y2的准线与双曲线:221(a 0,b 0)的两条渐近线交于A，B两点， 若ABF为ab等边三角形，则的离心率e （）A32B2 33C217D213【答案】D【分析】求出抛物线的焦点坐标， 准线方程， 然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a，b的关系式，结合离心率公式，计

6、算可得所求值【详解】2解：抛物线的焦点坐标为p p,0，准线方程为：x ，22px 2联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程，by xa解得y pbpb，可得| AB |，2aaABF为等边三角形，可得p b23pb，即有，a32acb2421则e 1 12aa33故选：D【点睛】本题考查抛物线的简单性质， 双曲线方程和性质，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，属于中档题3（2020江西高三（理）在直角坐标系xOy中，F1、F2分别是双曲线x2y2C:221a0,b0的左、右焦点，点Px0,y0是双曲线右支上的一点，满abuuu r uuu u r 54x 足PF，若点的横坐标取值范围是

7、PPF 00a,a，则双曲线C的离心率1243取值范围为（） 5 4 A,4 3【答案】C【分析】16 9 B,724 7 3 2C7,24 5 5 2D5,3uuu r uuu u r 54a2(b2c2)2x 由PF可计算得，再利用x00a,a即可得离心率的取1PF202c43值范围.【详解】uuu r uuu u rb222c2222222由PF可得，x0c y0 0，x0c 2x0b 0，2x0 b2c2，1PF20aa354a2(b2c2)252a2(b2c2)162，由于x0(a,a)，所以x0a a，43c216c2929172171694 79b273 22.2，12，2， e

8、 ， e e99e167216c91672故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，向量数量积的运算，考查计算能力，属于中档题x2y24 （2020吉林高三期末 （理） ） 已知椭圆1的右焦点F是抛物线y2 2px (p 0)43的焦点，则过F作倾斜角为60的直线分别交抛物线于A,B（A在x轴上方）两点，则| AF |的值为（）| BF |A3【答案】C【解析】利用抛物线的定义和焦点弦的性质，求得x13,x2【详解】B2C3D4| AF |1，进而可求得的值| BF |3px2y2由椭圆1，可得右焦点为(1,0)，所以1，解得p 2，243设A(x1, y1),B(x2, y2)，由抛物

9、线的定义可得AB x1 x2 p 2p8p1610 x x ，所以，12sin260o3331p2x 3,x 又由x1x2，1，可得1234p| AF |2 3 1 3. 所以| BF |x p1 1223x1 故选 C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质， 以及抛物线的焦点弦的性质的应用， 其中解答4中熟练应用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题x2y25 （2020广东仲元中学高三月考（理）设F为双曲线C:221a0,b0的右ab焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C的左.右支交于点P、Q，若PQ 2 QF ,PQF 60，则该双曲线的离心率为（）A13【答案】

10、A【解析】B3C23D42 3|PQ|=2|QF|,PQF=60,PFQ=90，设双曲线的左焦点为 F1,连接 F1P,F1Q，由对称性可知,F1PFQ 为矩形,且|F1F|=2|QF|,QF13 QF，不妨设F1F2 2mm 0，则QF13m, QF m，故e F1F22c2m3 1.2aQF1 QF3mm本题选择 A 选项.【点睛】离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式e c；a只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2c2a2转化为 a，c 的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可

11、得 e(e 的取值范围)二、填空题26（2019广东高考模拟（理）已知点E在y轴上，点F是抛物线y 2px(p 0)的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且| NF |12，则p _【答案】8【解析】5设E0,b，又F p,0，由M为EF的中点，求得E 0, 2p，直线EF的方程代入2y2 2px，得4x25px p2 0，求得点N 的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】设E0,b，又F p,0，因为M为EF的中点，2p2 ppp22,p所以点M的坐标为, y，则y 2p，即M，44242又由0b2p，则b 2p，即E 0, 2p，22222直线EF的方程为y

12、 2 2x2p，代入y 2px，得4x 5px p 0，p5p，解得x p，44p由抛物线的定义得：NF p12，解得：p 8.2设Nx,y，则x【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程， 以及直线与抛物线的位置关系的应用， 其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立， 利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.7（2019北京高考模拟（理）已知平面内两个定点M(3,0)和点N(3,0)，P是动点，且直线PM,PN的斜率乘积为常数a(a 0)，设点P的轨迹为C. 存在常数a(a 0)，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)距离之和为定值； 存在

13、常数a(a 0)，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)距离之和为定值；6 不存在常数a(a 0)，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值； 不存在常数a(a 0)，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_.（填出所有正确命题的序号）【答案】【解析】由题意首先求得点 P 的轨迹方程，然后结合双曲线方程的性质和椭圆方程的性质考查所给的说法是否正确即可.【详解】设点 P 的坐标为：P（x，y），依题意，有：yy a，x3x3x2y2整理，得：1，99a对于，点的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆，且 c4，a0，48，不符；椭圆在 x 轴上

14、两顶点的距离为：296，焦点为：2对于，点的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆，且 c4，25y2x2椭圆方程为：1，则9a916，解得：a ，符合；99a97x2y2对于，当a 时，1，所以，存在满足题意的实数a，错误；997y2x2对于，点的轨迹为焦点在 y 轴上的双曲线，即1，9a9不可能成为焦点在 y 轴上的双曲线，所以，不存在满足题意的实数a，正确.所以，正确命题的序号是.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解， 双曲线方程的性质，椭圆方程的性质等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题7x2y28（2019衡水市第二中学高考模拟（理）已知椭圆：C :221(a b 0)的四个

15、ab顶点围成的四边形的面积为2 15，原点到直线（1）求椭圆C的方程；（2） 已知定点P(0,2)， 是否存在过P的直线l， 使l与椭圆C交于A，B两点， 且以| AB|为直径的圆过椭圆C的左顶点？若存在，求出l的方程：若不存在，请说明理由.x2y22 58 5【答案】（1）1；（2）存在，且方程为y x 2或y x 2.5355xy30.1的距离为ab4【解析】【分析】（1）依题意列出关于 a,b,c 的方程组，求得 a,b,进而可得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆得到35k2x220kx5 0，要使以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点uuu v uuu vD 5,0，则DADB 0，结合韦达定

16、理可得到参数值.【详解】（1）直线xy1的一般方程为bx ay ab 0.ab2ab 2 1530aba 5x2y2依题意，解得，故椭圆C的方程式为1.22453a bb 3a2 b2c2（2）假若存在这样的直线l，当斜率不存在时，以AB为直径的圆显然不经过椭圆C的左顶点，所以可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y kx 2.由y kx222，得35kx 20kx5 0.223x 5y 152由 400k 20 35k255k , 0，得5.5记A，B的坐标分别为x1, y1，x2, y2，8则x1 x2 20k5x x ，1235k235k22而y1y2kx12kx22 k x1x22kx

17、1 x24.要使以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点D 5,0，则DADB 0，即y1y2 x15所以k 1uuu v uuu vx22355k20k2k 590，35k225 k21 x1x2 2k 5x1 x290，整理解得k 8 52 5或k ，55所以存在过P的直线l，使l与椭圆C交于A，B两点， 且以AB为直径的圆过椭圆C的左顶点，直线l的方程为y 8 52 5x2.x2或y 55【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系， 所使用方法为韦达定理法： 因直线的方程是一次的， 圆锥曲线的方程是二次的， 故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题， 最终转化为一元二次方程问题， 故用韦达定

18、理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题， 可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用x2y29 （2019四川高考模拟 （理） ） 已知椭圆C :221a b 0的右焦点为Fab过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.2,0，1求椭圆C的方程；2过椭圆内一点P0,t，斜率为k的直线l交椭圆于M,N两点，设直线OM,PN（O为坐标原点）的斜率分别为k1,k2，若对任意k，存在实数，使得k1 k2k，求实数的取值范围.x2y2【答案】（1）1；（2）2,.42【解析】【分析】9（1）根据焦点和通径列出a,b,c关系，求出椭圆方程.（2）直曲联立，得

19、到x1 x2,x1x2，再将k1k2用x1,x2表示，得到与t的关系，由t的范围，得到的范围.【详解】c 22a 22b.1由题意得a 2，解得b 2222a b cx2y2所以椭圆C的方程为：1,422设直线l的方程为y kx t,x2y21,222由 4消元可得2k 1x 4ktx2t 4 0.2y kxt,4kt2t24设Mx1, y1,Nx2, y2，则x1 x2,x1x22.22k 12k 1tx1 x24ky1y2kx1tkx2t 2k 2,而k1k2x1x2x1x2x1x2t 2由k1 k2k,得4kk.2t 2442t 2.，即2t 242由题意，点P0,t在椭圆内，故0 t

20、2 2，解得 2.因为此等式对任意的k都成立，所以所以的取值范围是2,.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直曲联立构造等量关系 .对计算能力要求较高，有一定的难度，属于中档题.22210（2019山东高考模拟（理）已知圆O: x y 4，抛物线C : x 2py(p 0)（1）若抛物线C的焦点F在圆O上，且A为抛物线C和圆O的一个交点，求AF；10（2） 若直线l与抛物线C和圆O分别相切于M,N两点， 设Mx0, y0， 当y03,4时，求MN的最大值【答案】（1）2 5 2；（2）【解析】【分析】13 5.5（1）求出焦点F(0,2)，得到抛物线方程，联立抛物线和圆，解得A的纵坐标，再根据抛物

21、线的定义可得；（2）利用导数的几何意义求出切线的方程，利用切线与圆相切，解得p，再根据MN | OM | 4求得解析式，根据导数得单调性求出最大值【详解】（1）由题意知F(0,2)，所以p 4.所以抛物线C的方程为x 8y.2将x 8y与x y 4联立得点A的纵坐标为yA 2( 5 2)，22222结合抛物线定义得| AF | yA2p 2 5 2.2xx2（2）由x 2py得：y ，y ，p2px0 x0y y x x0.所以直线l的斜率为，故直线l的方程为0pp即x0 x py py0 0.又由|ON |py02x0 p2 2得p 8y02且y04 02y0422222所以| MN | |

22、OM | |ON | x0 y042 2py0 y04 28y02y y 4002y042216 y 4416y00222 y04 y042y04y041116642 y042y042令t y04，y03,4，则t5,12，令f (t) 16t 6464，则f (t) 12；tt当t5,8时f (t) 0，f (t)单调递减，当t(8,12时f (t) 0，f (t)单调递增，又f (5) 165所以fmax(x) 【点睛】6416964100169，f (12)1612，55123516913 5.，即| MN |的最大值为55本题考查了抛物线的性质， 考查直线和抛物线的位置关系和最值问题，

23、 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属中档题211（2019河北高考模拟（理）已知抛物线E：y 8x，直线l：y kx4.（1）若直线l与抛物线E相切，求直线l的方程；（2） 设Q(4,0)， 直线l与抛物线E交于不同的两点Ax1,y1，Bx2,y2， 若存在点C，uuu ruuu ruuu r满足|CQ CA|CQ CA|，且线段OC与AB互相平分（O为原点），求x2的取值范围.【答案】（1）y =-【解析】【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程，利用V0即可求解.1x- 4（2）见解析28(k 1)81y y ,（2）由直线与抛物线相交可得：k ，由（1）可得x1 x2，

24、1222kk由线段 OC 与 AB 互相平分可得四边形OACB 为平行四边形， 得到 C(uuu ruuu ruuu ruuu r| CQ CA | CQ CA |得到AC QC，即：kACgkQC=-1，再将kQC8(k 1) 8,)， 利用kk21242k82 k 2，对k的范围分类，k k k ，AC代入即可求得OB22(k 1) kx2x2k利用基本不等式即可得解.【详解】解：（1）法 1：由y kx422y28x得k x 8(k 1)x 16 0由k2 0及V 64(k 1)264k2 0,得k 12所以，所求的切线方程为y =-12x- 4法 2：因为直线l恒过（0，-4），所以由

25、y28x得y 8x设切点为(x0, y0)，由题可得，直线与抛物线在x轴下方的图像相切，则y 8x, y|2xx0 x0所以切线方程为y 8x20 x(x x0)，将坐标（0，-4）代入得x080即切点为（8，-8），再将该点代入y kx4得，k 12所以，所求的切线方程为y =-12x- 4（2）由y kx422y28x得k x 8(k 1)x 16 0QV 64(k 1)264k2 0,且k 0，k 12x8(k 1)1 x2k2,所以y k(x81 y21 x2) 8 k，因为线段 OC 与 AB 互相平分，所以四边形OACB 为平行四边形uOCuu r=uOAuu ruOBuu r (

26、x8(k 1)1 x2, y1 y2) (,8)，即 C(8(k 1),8)由|uCQuu ruCAuu r|uCQuu ruCAuu rk2kk2k|得，AC QC，法 1：所以kACgkQC=-113又kQC8y242kkk k k ，又ACOB8(k 1)x2x22(k 1)k242k所以2k482g(k ) 1 k 2，所以2x2x2k2(k 1) k所以，若k 0，则8 2 2 2 2( 2 1),当且仅当k 2时取等号，x2此时0 x2 4( 2 1)112589516若- k 0，由于k=-时，k+2=-， 2 ,即x2 （舍去）22k2x2225法 2：因为| CQ CA |

27、CQ CA |QCgAC 0uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu rruuu r8(k 1)8uuu 4,), AC OB (x2, y2) (x2,kx2 4)又QC (2kkuuu r uuu r828(k 1)8 k 2QCgAC ( 4)x2(kx2 4) 0，即2x2kkk所以，若k 0，则8 2 2 2 2( 2 1),当且仅当k 2时取等号，x2此时0 x2 4( 2 1)112589516若- k 0，由于k=-时，k+2=-， 2 ,即x2 （舍去）22k2x2225【点睛】 本题主要考查了直线与抛物线相切的关系， 还考查了韦达定理及向量的坐标运算，考查了两直线垂直的斜率关系， 还考查了分类思想及利用基本不等式求最值， 考查化归能力及计算能力，属于难题.14