2021年高考【热点·重点·难点】专练：热点07解析几何（解析版）.pdf-得力文库

资源描述

《2021年高考【热点·重点·难点】专练：热点07解析几何（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考【热点·重点·难点】专练：热点07解析几何（解析版）.pdf（28页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、热点0 7解析几何y命题趋步）解析几何一直是高考数学中的计算量代名词，在高考中所占的比例一直是2+1 +1 模式.即两道填空，一道选择，一道解答题.高考中选择部分，一道圆锥曲线相关的简单概念以及简单性质，另外一道是圆锥曲线的性质会与直线、圆等结合考查一道综合题目，一般难度中等.填空题目也是综合题目，难度中等.大题部分一般是以椭圆抛物线性质为主，加之直线与圆的相关性子相结合，常见题型为定值、定点、对应变量的取值范围问题、面积问题等.双曲线一般不出现在解答题中，一般出现在小题中.即复习解答题时也应是以椭圆、抛物线为主.本专题主要通过对高考中解析几何的知识点的统计，整理了高考中常见的解析几何的

2、题型进行详细的分析与总结，通过本专题的学习，能够掌握高考中解析几何出题的脉略，从而能够对于高考中这一重难点有一个比较详细的认知，对于解析几何的题目的做法能够有一定的理解与应用.【满分技巧】定点问题：采用逆推方法，先计算出结果.即一般会求直线过定点，或者是其他曲线过定点.对于此类题目一般采用特殊点求出两组直线，或者是曲线然后求出两组直线或者是曲线的交点即是所要求的的定点.算出结果以后，再去写出一般情况下的步骤.定值问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.先求结果一般会也是采用满足条件的特殊点进行带入求值（最好是原点或是（1.0）此类的点）.所得答案即是要求的定值.然后再利用答案，写出一般情况下的

3、过程即可.注：过程中比较复杂的解答过程可以不求，因为已经知道答案，直接往答案上凑即可.关于取值范围问题：一般也是采用利用结果写过程的形式.对于答案的求解，一般利用边界点进行求解，答案即是在边界点范围内.知道答案以后再写出一般情况下的步骤比较好写.一般情况下的步骤对于复杂的计算可以不算.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：1 2 0 分钟）一、单选题2 21.（2 0 2 0 上海闵行区高三一模）已知点P为双曲线鼻-齐=1（。0,8 0）右支上一点，点 ,B 分别为双曲线的左右焦点，点/是心的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 -S/邛S 班则双曲线的渐近线方程是（）A

4、.y=xB.y+x2C.y=V3xD.y=与3【答案】D【分析】根据一角形的面积关系寻求a，c等量关系，再推导出。力关系即可.【详解】S呼-S 味=?%廿且/是耳玛的内心,设内切圆的半径为，则J p/讣r-；|p/.r=4 x g x 2 c x r，,222|PF；|-|P/s|=V 3c,即 2a=0 C，1,即正3a 3 渐近线方程是y=乎故选：D.【点睛】求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形，思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.2.（2020 上海嘉定区高三一模）过双曲线

5、C：。a21的右顶点作x轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A,若以C的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A、。两点（。为坐标原点），则双曲线C的方程为（）A.-y2=l3八-=1 U.-=12 2 2 6【答案】B【分析】FO=2,故c=2,不妨设渐近线方程为y 则A（a,b）,根据从歹=2,计算得到答案.【详解】连接AE，FO=2,故c=2,不妨设渐近线方程为y=2%,则故2 2=+（2。）2,解得a =l,b =6 故双曲线方程为无2 三=1A.x 4 B.x=2 C.x 2 D.x =-4【答案】C【分析】由抛物线的知识直接可得答案.【详解】抛物线V=8x的准线方程是x =2故选：C4.（2

6、 0 2 0.上海徐汇区位育中学高三月考）若直线/：丁 =辰+2与曲线CW 一 ,2=6（尤0）交于不同的两点，则攵的取值范围是（）【答案】D【分析】根据题意，得到y 2=6（x 0）表示双曲线f 9=6的右支，联立直线与曲线方程，设两交点为（%,y）,（&,%），结合韦达定理，以及判别式，即可得出结果.【详解】因为。：工2一丁=6意0）表示双曲线2一 2=6的右支,由，y=k x+2/_ J?=6消去丁得尤2 _（依+2）2=6,整理得（1 一公卜2 4点1 0 =0,设直线/：y =H+2与曲线。：8 2一丁=6（%0）的两交点为（和yj,（，必），X/21 0其中%0,%2 0，则，

7、玉+x21-k24k-k2 0,解得左 0又 =1 6 +4 0(1 公)o,解得一半人半,综上，一 2 2/女0、a 1 a =l 时，y =-1 符合题意；当”一1 0,a l 时，直线上的点(0,a)一定不在轴上半部分，所以aNO，即。1；当a 1 轴正半轴，抛物线上任意一点?（尤0，%），则归可=%+；（4）焦点尸在y轴负半轴，抛物线上任意一点网事,%），则|P F|=-y 0+g2 2 2 21 3.（2 0 2 0上海青浦区高三一模）点A是椭圆G :二+2 =1与双曲线C,-匕=1的一个交点，点1 2 5 1 6 2 4 5耳，F2是椭圆C,的两个焦点，则1 4币|A TS|的值

8、为.【答案】2 1【分析】先判断出椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设I 4耳1=见1 4乙1=，不妨设0 “7，利用椭圆与双曲线的定义，求出4即可.【详解】对于椭圆G：焦点在X轴上，c 2=/从=2 5 1 6 =9：对于双曲线。2：焦点在X轴上，=屋+庐=4 +5 =9；则椭圆与双曲线有相同的焦点坐标，设|A K I=，,|A g|=，不妨设0 （1,-1）=&+1 =。，解得=1.故答案为：1 .17.（2020.上海市七宝中学高三期中）函数/（x）=/二？，的图象绕着原点旋转弧度2 20（0 0 0）,如果椭圆G：需+=1 经“伸缩变换”后得到椭圆C 2,若射线/与椭圆G、分别交于两点A、

9、B,且|AB|=J 5,求椭圆G 的方程；对抛物线 c：y2=2pz，作变换（x,y）f （4%4 y）,得抛物线C2：/=2p2x；对 C2 作变换（x,y）f 得抛物线Cy y2=2 p3x,如此进行下去，对抛物线C,：产二？“工作变换（x,y）r（4,x，4 M，得G+1：=2%.若。I=1,4,=（g），求数列 “的通项公式P”.【答案】勺一)=1；+/=1 +-=1 ；(3)=2刿 )-4-3 6 9 P【分析】（1）根据伸缩变换的定义将二-=1的及分别变为2 x,2 y后可得所求的曲线方程.9 4（2）设伸缩变换比为4,则可得曲线。2的方程，联立直线方程和G的方程可求A的

10、坐标，同理可求B的坐标，结合A3的长度可得力的值.（3）根据伸缩变换的定义可得宜 =2 ,利用累乘法可求亿的通项公式.2【详解】（i）由条件得（2 _ _（2刃=1，得 g：与一）=i；（2）：。2、6关于原点“伸缩变换”，对4作变换（乐）.（双外）（九 0），得到G空+土 16 4解方程组,2 得点A的坐标为-1-1116 447 3 2娓亍亍J解方程组,/,得B点的坐标为A2x2 A2y2,-+=1.16 4他巫、3T寸吐鸣+3 22|=友,风2化筒后得3丸2一8/1+4=0,解得4=2,2,2 2因此椭圆C,的方程为工+y 2 =1或工+匕=.4 3 6 9 对Q：2

11、=2/作变换（%）；）一（加:,%）得抛物线。”（4,y）2=2 p,4 X,得丁=平X,又,:y2=2P“+1X ,，P+尸？-，即=；=2”，4 P n 4”?.P&.%二 1 P n=2-22-23.2T 则 P-2】+2+3 i+（/I）_ 2/一”P P l 3 P n-2 P n-1 历.”=1,.,=2其I）.【点睛】关键点点睛：（1）依据定义求出变换后的曲线方程，再结合题设条件从而可得参数的大小或关系;（2）数列通项的求法应依据递推关系的形式，如对形如=/（）这样的递推关系，可用累乘法.an-19.（2020上海市松江二中高三期中）己知向量。=（/+1,力，1=（1,2 6+

12、1）（为正整数），函数f（x）=a b,设/（x）在（0,+。）上取最小值时的自变量x取值为.（1）求数列为的通项公式；（2）对任意正整数，都有小（4片 5）=1成立，设S,为数列也的前项和，求理S,；（3）在点列A 0,%），4（2,2），4（3,%），4（1,q）一中是否存在两点4，A,（匕/为正整数）使直线的斜率为1?若存在，则求出所有的数对小力；若不存在，请你写出理由.【答案】（D 4=J 2+1；（2）1.（3）不存在；答案见解析.【分析】（1）由题得/（6 =彳2一zJT W x+l，当x=J 1时函数取得最小值，所以a“=J T T；（2）利用裂项相消法

13、求出5“=3（1-5 3）,即得!吧S,；（3）任取A,、4jeN*.i j）,设A A,所在直线的斜率为为，则际=肝（：京7抛物线的顶点横坐标为尤=而7 0，开口向上，在（0,+。）匕当尤=J 2+1时函数取得最小值,所以q,=J/+l.,h _ 1 _ 1 _ 1 _ 1 _1_（2）n-4（n2+l）-5-4n2-l-（2/z+l）（2n-l）2n +_-所以四邑=则/1-1b g（3）任取A：、A,（八/e N*,i w j）,设A4所在直线的斜率为为，则_ ai-aj _ J-+i _ J +1 =-1 -./-=-L 2-%=T T=k 0-；）（7?7 1+7 7 7 1

14、）#71+7771二不存在两点4，A,（j,J为正整数）使直线AiAj的斜率为1.【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列的通项特征，灵活选择合适的方法求和.20.（20 20上海市三林中学高三期中）己知倾斜角为4 5 的直线/过点A 0,2）和点B,B在第一象限，|阴=3万（1）求点B的坐标；丫2（2）若直线/与双曲线C：y2=i（a 0）相交于、/两点，且线段的中点坐标为（4,1）,求。的a 值;（3）对于平面上任一点尸，当点。在线段A3上运动时，称归。|的最小值为P与线段A3的

15、距离，己知点产在X轴上运动，写出点P（f,o）到线段A3的距离关于f的函数关系式J(f+4t-【答案】（1）（4,1）；（2）。=2；（3）/?（/）=J/-3-1 Z5【分析】（1）由题意可得直线A8方程为y=x -3,由|/3|=3拉，列方程组可求出点5的坐标;（2）设E（x,y）,F（A2,y2）,直线方程与双曲线方程联立方程组，消去后，再利用根与系数的关系,结合中点坐标公式可求出。的值；（3）设线段A3上任意一点Q坐标为Q（x,x-3）,则闸=Jx）2+（x _ 3）2,构造函数/(X)=J(X)2+(X-3)2卫（lf 4 4），然后分1 M色4 4,2 2f +3 .4,2 1讨

16、论可求得结果，或过A、5两点分别作线段AB的垂线，交”轴于4（-1,0）,B （5,0）,然后分点P在线段A g上，点P在点4的左边，点P在点后的右边三种情况利用距离公式求解【详解】解：直线AB方程为y=x 3,设点B（x,y）,由o，y。(x-l)2+(y+2)2=1 8-得x =4,y=l,点8的坐标为（4,1）.（2）由y=x-3X2 2.-=1a得（，一 1 卜+6%-1 0 =0,设E（X,y J,尸（天,%），则%+=一6a27 =4,l-a2得。=2.（3）（解法一）设线段 AB上任意一点。坐标为Q（x,x-3）,|PQ|=J（5X）2+（X_ 3）2 ,记/(x)=J(f-x

18、关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系、中点坐标公式、两点间的距离公式，在第(3)问的解答中关键是将|尸0 表示出来，即闸 =41)2+-3)2,然后构造关于x 的函数/(X)=J(X)2+(X_ 3)2=卜卜等)+四科(1 4，4 4)，再利用二次函数支轴定区间进行讨论即可，考查分类讨论思想，属于中档题21.(20 20 上海虹口区高三一模)已知点A(1,O)、B(1,O),直线/:方+外+c =0(其中a,b,c e R),点 p在直线/上.A O B 工(1)若a、/?、c 是常数列，求|依|的最小值：(2)若是成等差数列，且 P A _ L/,求|P B|的最

19、大值；(3)若。、A、c 是成等比数列，且求I P BI 的取值范围.【答案】(1)血；(2)2&；(3)(1,”).【分析】若 a、h、c 是常数列，直线/：x+y +l=0，|尸网的最小值即为点3(1,0)到x+y +l =0的距离;若a、0、c是成等差数列，/:(2x+y”+(y+2)c=0宜线恒过点M(l,2),PA LPM，点尸在以AM为直径的圆匕利用圆的性质即可求最值;a z*b e(3)若a、Z?、c是成等比数列，则从二,，即一x+y+-=O,设一=-=g声0,则x切什士 0,q*0,b b a b设P(x0,%),利用 PA U.kA P-k.,I 1 77X-=-l 可

20、得%=4(/+1)x()+1 1Q )点尸在/上可得%+4%+/=0，联立两式可得/=-含方，=(%-1)?+%2=(%一)2+/(/+)2将%=-2-7代入整理求最值即可.i+q-【详解】(1)若“、8、c是常数列，则a=c,且不等于0,此时直线/:ax+人y+c=。即x+y+l=0,|PB|的最小值即为点项,0)到x+y+1 =0的距离，1 P Bl,m n=-v7Jm=T2,(2)若a、b、c,是成等差数列，则%=a+c,所以直线/：ax+伪y+c=。即/:2ax+(a+c)y+2c=0,整理得：/：(2x+y)a+(+2)c=02 x+y =0 x=l/、所以I+2-0 可得I 一

21、 2,此时直线恒过点“(L 2)，又因为P4_U即4_LPM,所以点P在以AM为宜径的圆上，因为 A(l,0),M(l,-2),所以圆心为(0,-1),半径r=g j(-l_ l)2+(2 0)2=垃,圆的方程为Y+(y+l)2=2,归邳最大值即为点8(1,0)到圆心(0,-1)的距离再加半径，所以|PB|nux=7(1-0)2+(-1-0)2+a =2 0，(3)若a、b、c是成等比数列，则从=ac，且。0，。关0，c#0,将ax+by+c=0两边同时除以匕得：x+y+-=0,b bb e 1设_=_ =氏=x0 +lq因为P 4 _ L/,所以怎p&=x玉)+l=T，可得=夕(玉)+1)，

22、又因为点P在/上，所以与+4%+q 2 =0,将代入可得飞+才(+1)+4 2=(),即(1 +夕2)与+2/=。，所以不二一含三所以依 2=(%-1)2+城=(%厅+“2(%+1)2苦-八i+q ),2-3 l,q2=t-l,所以P B?=3t-22I+”T):尸+4 一书,2=，4,4 4 4因为y=f 7 +4 在(1,+8)上单调递增，所以丁 =，一：+41-1 +4 =1,所以|耳 1,所以|P B|的取值范围是(l,+8).【点睛】关键点点睛：若a、/?、c 是常数列，则x+y+l=o,|尸理的最小值即为点8(1,0)到x+y+1 =0的距离，若a、。、c 是成等差数列可得直线

23、/恒过点M(1,2),可得PA LPM，点尸在以40b c为宜径的圆上，利用圆的性质即可求最值，第三问属于难题，设一=:二夕=0,已知方程可化为a bx+qy+q2=0 ,点 P在/上可得%+仅+4 2=利用抬 _ 1/,斜率成积为一1，可得%=q(玉)+1)，联立两式可得将/=一。代入 P B =G o I)2+靖=(%+4 2(X。+1)2 可得z 2、2 z o、2=二二二+如土工，令l+q 2=f l,q2=t-l,将尸用/表示，求最值即可.I 1 +4-)U22.(20 20.上海虹口区.高三一模)如图所示，A、3两处各有一个垃圾中转站，5在A的正东方向1 6k

24、 m处,AB的南面为居民生活区，为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电，要求发电厂到两个垃圾中转站的距离(单位：k m)与它们每天集中的生活垃圾量(单位：吨)成反比，现估测得4、5两处中转站每天集中的生活垃圾量分别为约为3 0吨和5 0吨.北fA-居民生活区(1)当 A P=1 5 k m 时，求 N A P B 的值；(2)发电厂尽量远离居民区，要求 PA 8的面积最大，问此时发电厂与两个垃圾中转站的距离各为多少？【答案】a r c c os撩；(2)尸4 =5/，P B=3 7 3 4 .【分析】(1)根据己知条件先计算出5P的长度，然后利用余弦定理求解出

25、c os/4 PB的值，从而N A P B的值可求；(2)建立平面直角坐标系，根据条件分析得到户的轨迹，由此确定出的面积最大值，从而可求解出发电厂与两个垃圾中转站的距离.【详解】(1)根据条件可知：A P-30=BP-5 0,所以B P =9km,所以 c os N A PBA尸+8尸2 A P B P2 2 5 +8 1-2 5 62 x 1 5 x 9,所以 N A P B=a r c c os ：2 7 2 7(2)以AB中点为坐标原点，垂直于AB方向为轴，建立坐标系如图所示：设尸(x,y),A(8,0),3(8,0),因为4 P.3 0=BP 50,所以4尸=8尸

26、，所以 J(x +8 j+y 2 =g j(x _ 8)2 +y 2 ,所以 1 6/5 4 4 x +1 0 2 4 +1 6/=0,所以 Y 3 4 x +64+y 2 =o，所以(x 1 7 7+丁=2 2 5 ,所以P的轨迹是圆心为(1 7,0),半径为1 5的位于工轴上方的圆，所以当 PA 6的面积最大时，此时P的坐标为(1 7,1 5),所以 A P =J(1 7-(-8)2+1 52=5宿，B P=(1 7-8)2+1 52=3 4 .D A【点睛】结论点睛：平面上给定两个定点A5,设尸点在同一平面上且满足诟=2(2 0,/1 H1),则P的轨迹是个圆.2 3.(2 0 2 0.

27、上海闵行区.高三一模)已知椭圆：+=1 3 6 0)过点(0,2),其长轴长、焦距和短轴长三a h 者的平方依次成等差数列，直线/与X轴的正半轴和y轴分别交于点Q、P,与椭圆相交于两点M、N,各点互不重合，且满足PM=4用。，?N=4NQ.(1)求椭圆r的标准方程;(2)若直线/的方程为y =x+l,求;+；的值;4 4(3)若/|+，2=-3,试证明直线/恒过定点，并求此定点的坐标.【答案】(1)三 +乙v2=1；(2)-8-；(3)证明见解析，(2,0).1 2 4 3【分析】(1)由题意，得到b =2和(2 a)2+(2 b)2=2(2 c)2,结合/=+，求得/的值，即可求得椭圆r的标

28、准方程;(2)由宜线/的方程为y =x+l,根据P M=4M0P N=4NQ，求得4=念:，4=X2,得到1%2广啜一2,联立方程组，结合根与系数的关系，即可求解;(3)设直线/的方程为y=x-w)(?o),由=/磔，得到4=土一和4 =一,联立方程组,m-xm-x2结合根与系数的关系和。+，2=-3,求得m=2,得到直线/的方程，即可求解.【详解】(1)由题意，因为椭圆三r2+方v2=1(。匕 0)过点(0,2),可得匕=2,设焦距为2c，又由长轴长、焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列,可得(2a)2+(2b)2=2(2c)2,a2+b2=2c2又因为。2=+C 2,解得为=1 2,

29、2 2所以椭圆r的标准方程为工+匕=1.1 2 4(2)由直线/的方程为y=*+l,可得而P(O,1),Q(1,O),设 M(%,y),N(X2,%)，因为 PM =4 M Q,P N =%NQ，可得(%，y 1)=4(1 一内，一,),(2，y2-l)=A2(i-x2,-y2),从而玉=4(1 一尤 J，2=4(1 一)，于是4=之4 =匚X2 称所以耳1+1石1=1丁c-x2=i不+M -C2,由，2 7+-=1 ,3 91 2 4 整理得 4丁 6 x 9 =0，可得%+工 2=，xx2 ,y=x+l所以;+；,+工-2=土也-2 V4 4 玉%工2 3(3)显然直线/的斜率

30、火存在且不为零，设直线/的方程为 y=k(x-m)(机 0),M(X 1,X),N(X2,%)，可得 P(0,-痴)，Q(m,0),由 =可得(内，yt+k m)=m-xe-yi),所以西=4(?一西)，从而4=一，同理4=,m xx m x2又/1+/2=-3,王马一22(%+)+3=0 ，X2 V T-=1联立彳 1 2 4,得(1 +3%2比2-6 公,次+3公”?2-1 2=0,y=k(x-m)则 =36 -4(1+3公)(3公M-1 2)=1 2(1 2公+4-/病)0 ,6k2m 3 公加 2-1 2且王 +=-，用巧 =-1-+3k2 1-+3公、G/口 342机2 -1

31、 2-6k2m c o 八 3m2-1 2 八 ,八 ,不、代入得-2 m-+3m-=0 =-=0 ,.m=2,(满足)1 +3公 1 +3公 1 +3公故直线/的方程为y =k(x-2),所以直线/恒过定点(2)0).【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：工、参数法：参数解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量(通常为变量%)：利用条件找到上过定点的曲线厂(x,y)=0之间的关系，得到关于人与x,y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或

32、动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.24.(20 20上海青浦区高三一模)已知动点“到直线x+2=0的距离比到点E(l,0)的距离大1.(1)求动点M所在的曲线。的方程；(2)已知点尸(1,2),A B是曲线C上的两个动点，如果直线2 4的斜率与直线总的斜率互为相反数，证明直线A 3的斜率为定值，并求出这个定值；(3)已知点P(l,2),A 8是曲线C上的两个动点，如果直线的斜率与直线P3的斜率之和为2,证明：直线过定点.【答案】(1)：/=4%；(2)证明见解析，定值一 1；

33、(3)证明见解析.【分析】(1)根据题意转化为动点M到直线x=-l的距离和到点尸(L 0)的距离相等，结合抛物线的定义,即可求得曲线。的方程;(2-k 4 2%(2)由儿：2=Z(x1)和3:y-2=-k(x-l),分别联立方程组，求得A V 和k k 7(2+k Y-4-2%B J-,结合斜率公式，即可求解；k-k J(2-k)2 4-2 k(3)由：lPA:y-2 =k(x-l),lpl l:y-2=-k(x-l),分别联立方程组A v,7和K kB k2-k)求得阳Bk(k-2)k2-2 k +2求得直线/的方程，即可求解.【详解】(1)已知动点M到直线x+2=0的

34、距离比到点尸(1,0)的距离大1，等价于动点、到直线x=T的距离和到点尸(1,0)的距离相等,I I I抛物线的定义可得曲线C的轨迹时以尸(1,0)为焦点，以直线x=l为准线的方程,且p =2,所以曲线C的方程为 2 =4x.(2)设直线E 4的斜率为A,因为直线PA的斜率与直线PB的斜率互为相反数，所以直线PB的斜率为一人，则Q：y-2=Z(x-l),lP B:y-2=-k(x-i)联立方程组彳y 2 2=k x-Y)，整理得口92一4)一4女+8 =0,、y x即外+(2左一4)(y 2)=0,可得A恪丁)，三竺K K 7y-2=-k(x-Y)联立方程组二，整理得由+4y-4

35、-8 =0,=4 x/z 2、即 6+(2k+4)(y 2)=0,可得8 仁,412k一4一22 4-22k k(2+左(2-攵)：-P P-一1,即直线A B的斜率为定值 L(3)设直线Q 4的斜率为左，所以直线总的斜率为2%，则/%：y _2=Z(xl),1/_2=_%(尤_1)两类方程组y-2=k(x-l)V=4x整理得62一4)，一 4左+8 =0,z,2 即伏y +(2Z-4)(y 2)=0,可得A 匕),三丝,K K 7联立方程组，2=(2 一 )一 1),可得(2-4)9 一 4+4%=(),l y=4 x即（2 左）y 2打（），-2）=0,可得 Bk2、(2-炉2k2

36、k/2k 4 2%所以&82-k kk2(2-Z)2k(k-2)k2-2k +2 _ ,2k k（k 2）所以几3一口二后二而万k2、X-7(2-a整理得广也2x+1)所以直线A B恒过（一 L O）.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略:工、参数法：参数解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量上）；利用条件找到&过定点的曲线/（x,y）=0之间的关系，得到关于左与尤,y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标;2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再

37、证明该定点与变量无关.25.（20 20徐汇区上海中学高三期中）设“X）是定义在（0,+e）上的函数，且/（x）0,对任意a 0,b 0,若经过点（。，/）、仅,一/e）的直线与x轴的交点是（c,0）,则称c为。、人关于函数“X）的平均数，记为/（。力）.（1）若 x）=l（x 0）,求”/（。力）的表达式：（2）若=求出所有满足条件的/（X）的解析式；（3）若对任意 a（）,b 0,且标 b,都有成立，求证：f（a+b）f（a）+f（b）.【答案】（1）“/（。,。）=等：（2）于（x）=k&（x0.人为常数且女0）；（3）证明见解析.【分析】（1）利用（。/）、（。,一 1）、（c,0

38、）三点共线，结合斜率公式可求得c的表达式，即为所求；利用点（aj（。）、伍,一/e）、（J茄,0）1点共线，结合斜率公式可得出/段=（患，进而可得出函数力的解析式;(b-a)f(a)%)+/伍)（3）利用点斜式可求得经过点（a J（a）、9,一/（与）的直线方程，可求得c =由 0）,由于点 A（aJ（a）、B（b于）、C（c,O）三点共线，即点A（a,l）、8（一1）、C（c,O）三点共线，由斜率公式可得三=合=因此，M于（2）c=Mf（a,h）=a b ,由已知，（a,/（a）,（一/（/?）、（J石,0）三点共线,0-/（a）0+/（M-（a）.f（b）由斜率公式可得忑七=诉，

39、即五（存心广回右_加），整理可得半1 =工劭，4 a 4 b对任意的正实数。、。且加b,/把=/科成立，yJa 7 bf（x）即对任意的x0，今为常数,yJX由于/（x）0,可设（=左（其中左为常数且上0）,所以，f（x）=k 4 x（x（）,左为常数且左0）；记点 A（o（。）、3伍,-/0）、C（c,o）,直线AB的方程为y -/（a）=。）+j（X-6 T）（X O），直线AB与x轴的交点是（c,0），可得_/（4）=）+”_ 办a-b(b-a)f(a)所以，E r、/(a)+/(b)2a b对任意a0,b 0,fl.a1 6都有c =A ff(a,/?)0 ,则 a b(

40、a-b)0,a设a b,则/所以，函数y =在（0,+8）上为增函数,a b x所以生普竽可丹等同理可得）当富姓(a +少(a +。)由不等式的基本性质可得/（a）+/（8）因此，对任意。0,b 0,且。都有a +b2a b/(a)+/(。).a +b【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义问题，解本题的关键在于利用三点共线结合斜率公式求出c 关于。、b的表达式，在求解本题的第（3）问，要充分结合条件当推导出函数y 在a +b x（0,+8）上为增函数，进而结合函数的单调性与不等式的基本性质来证明结论.2 22 6 .（2 02 0上海卷）椭圆工+匕=1,过右焦点F

41、作直线/交椭圆于P、Q两点，P在第二象限已知4 3Q（q，%），Q（x 2，y。）都在椭圆上，且 +y 2=（），尸。尸。，则直线/的方程为【答案】x+y-l =0r2 V22 7 .（2 02 0上海卷）双曲线G:不-R =l，圆2 少2 =钠（）在第一象限交点为A,A（xA,yA）,2 2*y曲线口=中|/x2+y2=4 +b2,x xA(1)若七,=A/6,求 b；(2)若b =逐，G与x轴交点记为不F 2,P是曲线上一点，且在第一象限，并满足|P耳|=8,求/RPFQb2 b(3)过点5(0,2 +)且斜率为-的直线/交曲线于M、N两点，用b的代数式表示O M-O N,并求

42、2 2出O M,O N的取值范围。【答案】(1)2；(2)-；(3)(6 +2 5,+o o)；1 6【解析】(1)若/=逐，因为点A为曲线G与曲线的交点，-2V_21=i 4 b2，解得F ，.=2xA2+y2=4 +b2 b 2(2)方法一：由题意易得小鸟为曲线的两焦点，由双曲线定义知：|尸居|=|Pf；|-2 a,|P耳|=8,2 a =4,周=4又.忸国=6在A P6心中由余弦定理可得:c o s AFyP F2=附+归段2-|E KJ i2.|P|.|P 周-1 6方法二：,：b =也,可得，2 2工-匕=14 5 ，解得P(4,厉)，(尤+3)2 +/=6

43、 4P F、=(-7,-V 1 5).P F2=(-1,-7 1 5)COS(/PDC0 PD5r)=PF、P2F2 =1(3)设直线/：了 =-|彳+3 所以直线/是圆的切线，切点为M2?所以 OM=1，并设，OM：y=X,b b所以得 x=y =2,即 M S,2),!5忖+4|2 帜+4 厂可得原点0到直线1的距离d=1,=/=护+41 b2 +4V1+T,与圆f +y2=4+/联立可得_?+*%2=4+，注意到直线/与双曲线得斜率为负得渐近线平行，所以只有当力2时，直线1才能与曲线r有两个交点，（2 22-匕=1 M由,4 h2，得=.2，2 ）区-+=4+/r所以有4 7 解得 2+2石，或 6+2V所以OM ON e(6+2石,+Ooj

展开阅读全文