(江苏专用版 )2018-2019学年高中数学 4.1.2 极坐标系学案 苏教版选修4-4.pdf

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1、4 4。1.21.2极坐标系极坐标系1了解极坐标系2会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置3体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别基础初探1极坐标系（1)在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向 )，这样就建立了一个极坐标系其中 ,点O称为极点，射线Ox称为极轴（2）设M是平面上任一点，表示OM的长度,表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角那么,每一个有序实数对(，)确定一个点的位置称为点M的极径，称为点M的极角有序实数对（，）称为点M的极坐标约定0 时，极角可取任意角（3）如果（，)是点M的极坐标，那么 (，2

2、k）或(,（2k1）(kZ Z)都可以看成点M的极坐标2极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图 4.1。3 所示)，平面内任一点M的直角坐标（x，y）与极坐标(，)可以互化，公式是：错误错误! !或错误错误! !图 41。3通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时，取0,02。思考探究1建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是：（ 1)极点；(2）极轴；（3)长度单位;(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可2为什么点的极坐标不惟一?【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个,它们相差 2

3、 的整数倍，所以点(，)还可以写成(，2k）(kZ Z）；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系 ,所以点（，）的坐标还可以写成 (，2k)（kZ Z)3将直角坐标化为极坐标时如何确定和的值？y【提示】由xy求时，不取负值；由 tan （x0）确定时，根x222据点（x，y）所在的象限取得最小正角当x0 时，角才能由 tan错误错误! !按上述方法确定当x0 时,tan没有意义，这时又分三种情况：（1)当x0，y0 时，可取任何值；(2)当x0，y0 时，可取错误错误! !；（3)当x0，y0 时，可取错误错误! !。质疑手记预习完成后,请将你的疑问记录，并与“小伙伴们探讨交流：疑问

4、 1：_解惑:_疑问 2:_解惑：_疑问 3：_解惑：_极坐标系中点的坐标写出图 4.14 中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(0,02)图 4.1。4【自主解答】对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角 ,因此这些点的极坐标为A错误错误! !,B错误错误! !，C错误错误! !，D错误错误! !，E错误错误! !，F（3，)，G错误错误! !.再练一题1已知边长为a的正六边形ABCDEF，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标【导学号:98990003】【解】以正六边形中心O为极点，OC所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系由正六边形性质得：C(a,0),D（a,错误错误! !），E(

5、a，错误错误! !),F(a，），A(a，错误错误! !）,B（a，错误错误! !）或C（a，0），D（a，错误错误! !），E(a，错误错误! !）,F（a，)，A（a，错误错误! !)，B(a，错误错误! !).极坐标的对称性在极坐标系中，求与点M（3，错误错误! !)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标【自主解答】极坐标系中点M(，）关于极轴对称的点的极坐标为M（,2k)(kZ Z)，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k错误错误! !）（kZ Z)再练一题2在极坐标系中，点A的极坐标为错误错误! !(限定0，02）(1）点A关于极轴对称的点的极坐标是_；(2）点A关于极点对称的点的极坐

6、标是_（3）点A关于直线错误错误! !对称的点的极坐标是_【解析】通过作图如图可求解为【答案】(1)（3，错误错误! !）（2)(3，错误错误! !）(3)（3，错误错误! !)极坐标与直角坐标的互化（1）把点M的极坐标错误错误! !化成直角坐标;(2）把点P的直角坐标(错误错误! !，错误错误! !）化成极坐标（0，02）【自主解答】（1)x8cos错误错误! !4,y8sin错误错误! !4错误错误! !，因此，点M的直角坐标是（4,4 3）(2）错误错误! !2错误错误! !，tan错误错误! !错误错误! !,又因为点P在第四象限且 02，得错误错误! !。因此，点P的极坐标为（2错误

7、错误! !，错误错误! !)再练一题3（1）把点A的极坐标(2，错误错误! !)化成直角坐标；（2）把点P的直角坐标（1,错误错误! !)化成极坐标（0，02）【解】(1）x2cos错误错误! !错误错误! !，y2sin错误错误! !1，故点A的直角坐标为（错误错误! !，1）（2）错误错误! !2，tan错误错误! !错误错误! !.又因为点P在第四象限且 02,得错误错误! !.5因此点P的极坐标是（2,)3极坐标系的应用在极坐标系中，已知A错误错误! !，B错误错误! !,求A、B两点之间的距离【思路探究】将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解【自主解答】对于A(3，错误错误

8、! !)，x3cos(错误错误! !)错误错误! !；y3sin（错误错误! !)错误错误! !，A(错误错误! !，错误错误! !）对于B（1,错误错误! !），x1cos错误错误! !错误错误! !，y1sin错误错误! !错误错误! !，B（错误错误! !，错误错误! !)AB错误错误! !错误错误! !4，A、B两点之间的距离为 4。有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了再练一题4在极坐标系中，已知三点：A(4,0）

9、、B错误错误! !、C错误错误! !.（1）求直线AB与极轴所成的角;（2)若A、B、C三点在一条直线上，求的值【解】（1）点A的直角坐标为（4，0），点B的直角坐标为(0,4），直线AB在直角坐标系中的方程为xy4。故直线AB与x轴所成角为错误错误! !.(2）点C的直角坐标为错误错误! !，代入直线方程得错误错误! !错误错误! !4，解得错误错误! !4(错误错误! !1）真题链接赏析(教材第 17 页习题 4.1 第 6 题）将下列各点的极坐标化为直角坐标:错误错误! !，错误错误! !，错误错误! !,（5，）,错误错误! !，错误错误! !.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标（

10、1）A（3, 3）;（2）B(2，2 3)；（3)C(0，2)；(4)D(3,0)【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题【解】(1）由题意可知:错误错误! !2错误错误! !，tan错误错误! !，所以错误错误! !，所以点A的极坐标为(2错误错误! !,错误错误! !）(2)错误错误! !4，tan错误错误! !错误错误! !，又由于为第三象限角，故错误错误! !，所以B点的极坐标为（4，错误错误! !)（3)错误错误! !2。为错误错误! !，在y轴负半轴上，所以点C的极坐标为(2,错误错误! !)(4) 3 0 3，tan错误错误! !0，故0.所以D点的极坐标为（3,

11、0)221点P（2，2）的极坐标(0,2)为_【解析】由错误错误! !错误错误! !2错误错误! !，tan错误错误! !1,P点在第二象限内，错误错误! !，的极坐标为(2错误错误! !,错误错误! !)【答案】(2错误错误! !，错误错误! !)2在极坐标系中，与（，）关于极轴对称的点是_【导学号：98990004】【解析】极径为,极角为，关于极轴对称的角为负角,故所求的点为(，)【答案】（，)3将极坐标错误错误! !化为直角坐标为_【解析】xcos2cos错误错误! !0，ysin2sin错误错误! !2，故直角坐标为(0，2）【答案】(0,2)4已知A,B的极坐标分别是错误错误! !和

12、错误错误! !，则A和B之间的距离等于_【解析】由余弦定理得AB错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !错误错误! !。【答案】3 63 22我还有这些不足：(1)_（2)_我的课下提升方案：(1）_(2）_尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。This article is collected and compiled by my colleagues an

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