第二章 二次函数.doc

《第二章 二次函数.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 二次函数.doc（7页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1第二章第二章 二次函数二次函数一、本章内容及教育价值一、本章内容及教育价值本章内容：本章内容： 1二次函数所描述的关系； 2结识抛物线 ； 3刹车距离与二次函数； 4二次函数 y = a x2 + b x + c 的图象； 5 用三种方式表示二次函数； 6何时获得最大利润； 7最大面积是多少； 8二次函数与一元二次方程； 9回顾与思考教育价值：教育价值：二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。伽利略 (Galileo Galilei)所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公 式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一二次函数也是某些单变量最优化问

2、题的数学模型，如本章所提及的求最大 利润、最大面积等实际问题二次函数曲线抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、 标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用， 如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数， 对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累 经验二、教学目标二、教学目标1使学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一 步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系； 2能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理地进 行思考和语言表达的能力，并

3、能根据具体问题，选取适当的方法表示变量 之间的二次函数关系； 3会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，并逐步 积累研究一般函数性质的经验； 4能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；25理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，求一元 二次方程的近似解； 6能利用二次函数解决实际问题和对变量的变化趋势进行预测三、设计思路三、设计思路对二次函数的学习，应该通过大量丰富的现实背景，通过学生感兴趣的、 广泛联系多学科的问题，使学生感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和 应用价值。对二次函数的学习，应该通过学生的探究性活动（经历数学化的过

4、 程），通过学生之间的合作与交流。因此本章安排了尽可能丰富的素材和大量 的学生活动，具体的做法如下：1通过分析实际问题，如探究橙子的数量与橙子树之间的关系、及用关系式 表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，使学生感受二次函数与生活 的密切联系； 2对二次函数性质的研究，采用的是利用图象的、直观的、非形式化的研究 方法，通过学生自己的探索活动（联系、对比、概括和反思等），达到对 抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解； 3对二次函数图象的研究，是从 y = x2开始，然后是 y =ax2、y =ax2+c、y =a（x-h）2+k、y =a x2 + b x + c 的从简单到复杂、特殊到

5、一般的过程； 4在对图象研究的过程中，也穿插实际应用问题，如函数图象与刹车距离、 两个吊桥最低点之间的距离等，把图象直观与实际意义相联系； 5用表格、关系式、图象的多种方法表示二次函数，使学生会用多种方式表 示函数、并体会函数的各种表示之间的联系和特点； 6设计大量的可以表示为二次函数、利用所学的二次函数知识可以解决的实 际问题，发展学生的数学应用能力； 7建立一元二次方程的求解问题与二次函数之间的联系，利用二次函数的图 象求一元二次方程的近似解四、具体内容分析及教学、评价建议四、具体内容分析及教学、评价建议第一节第一节 二次函数所描述的关系二次函数所描述的关系由种橙子的问题引出二次函数，体现

6、二次函数是对现实问题中一类变量 之间关系的描述；以问题串的形式，引导学生逐步得到橙子的总产量与橙子树 的关系表达式；给出橙子的总产量与橙子树的关系表达式；利用“想一想”，提 出进一步的最大产量的问题；用统计的方法得到关于最大产量的一种猜想，问 题的最后解决留在以后；在“做一做”的活动中，把两年后的本息和 y 与年利率 x 的关系表示为二次函数；在以上两例的基础上，给出二次函数的定义，并举 出以前所见到的一些二次函数关系式；通过“随堂练习”和习题，学生进一步明 确二次函数的概念和进一步体会二次函数所描述的关系3第二节第二节 结识抛物线结识抛物线 研究二次函数的图象，并通过图象，对二次函数的性质进

7、行研究；本节 首先研究 y=x2的图象；观察 y=x2的表达式，选点描图；讨论图象的形状、对 称性、与 x 轴的交点、增减性、最小值等在 y=x2的图象的基础上，研究 y=- x2的图象和本身的性质，注意图象之间的联系，以及图象与表达式之间的联系； 利用“读一读”，帮助学生体会二次函数的广泛应用；习题 2.2 中的第一题，使 学生体会抛物线在自然界的普遍存在性第三节第三节 刹车距离与二次函数刹车距离与二次函数 （研究二次项系数 a 对图象的影响和图象的上、下平移）提出汽车刹车距离与车速之间关系的问题，分别给出晴天、雨天的计算 公式，它们是二次函数；给出 s = v2的图象，由学生作出 s =

8、v2的图象，从中 体会两图象之间的关系，体会二次项系数对这个实际问题的影响；作 y=2x2的 图象，分析它与 y=x2的图象的关系及本身的性质；讨论 y=2x2 +1 的图象，分 析它与 y=2x2的图象的关系及本身的性质；讨论 y=3x2 -1 的图象，分析它与 y=3x2的图象的关系及本身的性质第四节第四节 二次函数二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象的图象 （一研究图象的左右、及上下平移）作 y=3（x-1）2 的图象，分析它与 y=3x2的图象的关系及本身的性质；作 y=3（x-1）2 +2 的图象，分析它与 y=3（x-1）2的图象的关系及本身的性质； 讨论 y=3x2、 y=3

9、（x+1）2 ， y=3（x+1）2 +4 等图象的关系及本身的性质， 体会函数图象的平移；对 y=a（x-h）2 +k 形式的二次函数图象的性质进行小 结（二研究函数的对称轴和顶点坐标公式）以桥梁钢缆的表达式，给出二次函数的一般形式 y=ax2 +bx+c，并通过讨 论得出由配方法将 y=ax2 +bx+c 的形式化为 y=a（x-h）2 +k 的形式，由此引出 推导一个求抛物线的对称轴和顶点坐标公式的必要性；推导二次函数的对称轴 和顶点坐标公式；运用二次函数的对称轴和顶点坐标公式第五节第五节 用三种方式表示二次函数用三种方式表示二次函数分别用表达式、表格、图象表示长方形的面积 y 与它的一

10、边长 x 之间的关 系；结合背景，讨论函数性质（取值范围等），注意不同表达方式的不同作用4和它们之间的联系；分别用表达式、表格、图象表示两数积 y 与其中一数 x 之 间的关系；讨论函数性质，注意不同表达方式的不同作用和它们之间的联系； 讨论三种表达方式的各自特点和它们之间的联系 通过本节内容的学习，可以帮助学生体会；可以用多种方式表示函数；不 同的表示有不同的特点；不同的表示之间具有联系习题“试一试”的内容是探索规律（规律可以用二次函数形式表示出来）， 问题具有层次性。建议教师鼓励学生进行探索。根据情况，可以作为一次课题 学习活动第六节第六节 何时获得最大利润何时获得最大利润解决 T 恤衫的

11、单价问题，考虑到学生对于问题的理解，将问题分为若干 步。学生最终可以得到，当销售单价是 8.75 元时，可以获得最大利润，最大 利润是 7312.5 元；解决本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题；继续通过随 堂练习和习题解决问题第七节第七节 最大面积是多少最大面积是多少解决三角形内部的“长方形的最大面积”问题，考虑到学生对于问题的理 解，将问题分为三步，其中第三步是以“议一议”的形式呈现；解决“窗户的最 大透光面积”问题；小结解决实际问题的思路、过程通过这两节课的学习， 学生可以体会二次函数是一类最优化问题的数学模型、学习用二次函数的知识 解决实际问题、小结解决实际问题的思路、过程，并进一步感

12、受数学的应用价 值第八节第八节 二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程 第一课时：以计算“竖直上抛物体的落地时间”引出二次函数与一元二次方程的关系；讨论二次函数的图象与 x 轴交点的情况，以及它们和相应的一元二次方程的 根的关系；利用“想一想”，拓展图象与 x 轴的交点到与任一条水平直线的交点； 通过“随堂练习”和“习题”帮助学生进一步理解二次函数与一元二次方程的关系； 注意引导学生体会本问题中方程的根的实际意义 第二课时：提出问题：利用二次函数图象估计方程的根，注意本书只取到十分位；讨 论并求出方程 x2+2x-10=0 的近似解；用一元二次方程的求根公式进行验证； 利用图象法求出方程

13、 x2+2x-10=3 的近似解；利用图象法求出方程-2x2+2x-10=3 的近似解；5课题学习：拱桥设计课题学习：拱桥设计某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥，桥下是一条宽 100 米的河流，河面距所要架设的公路桥的高度是 50 米，根据各方面的条件 分析，专家认为抛物线型拱桥是最好的选择按照专家的建议，设计一座横跨 峡谷的公路桥 教学目标：教学目标： 1经历分析和用所学知识数学地表示桥拱的过程，发展应用数学解决问题的 能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值； 2经历查阅资料或访问专家获得和分析信息、制作设计图或制作模型、以及 撰写研究报告的过程，获得科学研究的体验、培

14、养科学精神； 3能够利用二次函数的知识对桥拱的形状进行分析和表示； 4能够在解决问题的过程中与人合作和进行交流，并在交流的过程中对自己 的观点进行有条理地论述设计思路：设计思路：本课题学习是为了使学生经历研究性学习的过程，体会数学在建筑上的 应用，并把所学二次函数的知识运用到桥梁设计上学生在进行桥梁设计的过 程中，要经历查阅资料、访问专家、进行计算与设计、撰写研究报告、交流与 改进等过程，从而发展科学态度和人文精神几点说明1 观察家乡附近的桥梁、查找资料、访问专家如资料：拱桥是桥梁家族 中的重要一员拱桥以其跨越能力大、造型优美灵活、可雄伟壮观、可小 巧玲珑，不仅在中国，而且在世界上均为建筑历史

15、最悠久、建设数量最多 的主要桥型之一 据不完全统计，中国已建单跨 100m 以上的拱桥 115 座，远高于其它类型的桥梁，拱桥是中国公路桥梁的主导桥梁拱桥根据 拱轴线的不同，一般可分为圆弧拱桥、抛物线拱桥和悬链线拱桥。拱轴线 的选择主要根据的是力学上的分析，另外还有桥的跨度、施工条件等方面 因素的考虑2画设计图并表注数据；如有条件，可以制作模型；在全班的交流会上，展 示所收集到的图片、桥梁轶事、设计图、模型等，并报告设计思路、设计 过程、桥梁的表达式等；听取同学、教师或专家的意见，并回答他们的问 题；改进设计，加入个人的评语或心得，把使自己满意的设计结果放入成 长记录袋。 教学建议 1拱桥设计

16、问题是原始问题，和通常所习惯的数学问题不同，已知条件并不 由题目直接给出，而要学生根据设计需要自行确定，因此最好让学生自己 说一说理由 2让学生经历从调研、设计到汇报、改进、评价的全过程，获得科学研究的6体验，并对学生的活动给予帮助和建议 3可以让学生以小组合作的方式完成，并鼓励各小组之间的交流课题学习：设计遮阳蓬你能设计一个遮阳蓬，使得这个装置能够阻挡夏天炎热的太阳光射入室内， 又能使冬天温暖的阳光最大限度地射入室内吗？教学目标 1经历把实际问题数学化，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决 问题的过程，发展数学应用的能力，并体会数学与生活的密切联系和数学 的应用价值； 2经历查阅资料或

17、实地测量获得所需数据、动手制作模型和撰写研究报告的 过程，获得科学研究的体验、培养科学精神； 3能够综合运用数学、地理或其它学科的知识解决生活中的问题，发展社会 责任感；设计思路本课题学习是为了学生能够综合运用所学知识，如三角函数、圆、抛物 线等数学知识及地理知识等解决实际问题，体会到数学是一门具有广泛联系的 学科，数学是一门十分有用的学科在解决问题的过程中，学生要经历查阅资料、收集和分析信息、实地测 量、提出设想、画图、动手制作模型等过程，在此过程中，学生将获得科学研 究的体验，以及发扬与同伴合作和克服困难的精神，使他们的自信心得到发 展 本课题学习也是为了使学生经历将实际问题数学化，即将实

18、际问题简单 化、用所学数学知识表示实际问题、进行数学计算或数学推理、得到数学结论、 回到实际进行检验的数学建模过程。数学建模是解决问题的过程，也是重要的 学习数学、体会数学思想方法的过程几点说明 一制定解决问题的方案在这个问题中，有哪些条件需要由我们自己去寻找？有哪些条件我们可以 简化？如何用数学的方式表示遮阳蓬的位置和大小？我们将如何分工与合作？我们以何种形式报告我们的研究结果？我们是否 可以为家里设计一个遮阳蓬？ 二查资料（需要知道太阳在北纬不同纬度及不同季节的入射角） 三假设（将问题简单化，用字母进行表示） 1地处北纬 400地区，窗户的方向朝南； 2选夏至和冬至的太阳入射角（，）作为代

19、表；73窗户的高度用 w 表示。 四分析（寻找变量之间的关系） 五建立数学表达式及求解 六将结果推广到一般形式（数学模型） 七动手实践活动你能否为需要遮阳装置的房间真正制作一个遮阳蓬？你能否对周围建筑 物的遮阳装置提出改进建议？你能否利用模型制作展示你的设计？教学建议 1实际应用问题和通常所习惯的数学问题不同，实际应用问题的条件往往不 是直接给出的，要引导学生自己分析哪些量是已知的，哪些量是未知的， 以及可以进行怎样的假设，如假设窗户的朝向等； 2在建立量与量之间的关系时，注意要引导学生将复杂问题简单化，即舍弃 一些次重要的因素，抓住主要的矛盾，作出合理的假设，并在此基础上寻 求最合理的答案，如以冬至和夏至的日照角度为准来考虑和解决遮阳蓬的 设计问题等。通过解决实际问题的数学活动，学生要逐渐地习惯这种先把 问题理想化，然后建立数学模型的过程； 3鼓励学生自己通过查阅资料或进行实地测量获得数据，为解决问题提供必 需的条件； 4鼓励学生把所得到的结果推广到一般化，或将问题进一步延伸与拓展