2019年高考理科数学北京卷含答案.docx

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1、数学试卷 第 1 页（共 22 页） 数学试卷 第 2 页（共 22 页） 绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷 数学（理）本试卷满分 150 分,考试时长 120 分钟.第一部分(选择题共 40 分)一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知复数，则( )2ziz zA.B.C.3 D.5352.执行如图所示的程序框图，输出的值为( )sA.1B.2C.3 D.43.已知直线 的参数方程为（ 为参数） ，则点到直线 的距离是( )l13 , 24xt yt t1,0lA.B.C.D.1 52 54 56

2、 54.已知椭圆（）( )22221xy ab0abA.B.C.D.222ab2234ab2ab34ab5.若，满足，且，则的最大值为( )xy| |1xy1y3xyA.B.1C.5D.776.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是1 21 25lg2EmmEkm1,2kEk （），天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为下列说法中,正确26.71.45的是( )A.B.10.1C.D.10.110lg10.110.1107.设点,，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的ABCAB AC|ABACBC ( )A.充分

3、而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线：就是其中之一C221 |xyx y （如图）.给出下列三个结论：曲线恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） ；C毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _ -在-此-卷-上-答-题-无-效- -数学试卷 第 3 页（共 22 页） 数学试卷 第 4 页（共 22 页）曲线上任意一点到原点的距离都不超过；C2曲线所围成的“心形”区域的面积小于 3.C其中，所有正确结论的序号是( )A.B.C.D.第二部分(非选择题 共 110 分)二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共

4、 30 分。9.函数的最小正周期是 . 2sin 2f xx10.设等差数列的前项和为，若，则 ，的 nannS23a 510S 5a nS最小值为 .11.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上 小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为 .12.已知 ，是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：lm；.lmml以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .13.设函数（为常数）.若为奇函数，则 ；若 xxf xeaea f x=a是 R 上的增函数，则的取值范围是 . f xa14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中

5、有草莓、京白梨、西瓜、桃， 价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒.为增加销量，李明对这四种水 果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付元每笔订单顾客网x上支付成功后，李明会得到支付款的 80%.当时，顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒，需要支付 元；10x 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 的最大值为 .x三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.(本小题 13 分)在中，.ABC3a 2bc1cos2B （）求，的值；bc（）求的值.sin BC16.(本小题 14

6、分)如图，在四棱锥中，平面，PABCDPAABCDADCDADBC，.为的中点，点在上，且.2PAADCD3BC EPDFPC1 3PF PC（）求证：平面；CDPAD数学试卷 第 5 页（共 22 页） 数学试卷 第 6 页（共 22 页） （元）（）求二面角的余弦值；FAEP（）设点在上，且.判断直线是否在平面内，说明理由.GPB2 3PG PBAGAEF17.(本小题 13 分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支 付方式之一.为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学 生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方

7、式都不使用的有 5 人，样本 中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式（0，1 000（1 000，2 000大于 2 000仅使用 A18 人9 人3 人仅使用 B10 人14 人1 人（）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的 概率；（）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以表示这 2 人中上X 个月支付金额大于 1 000 元的人数，求的分布列和数学期望；X（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2 000 元

8、根据抽查结果， 能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2 000 元的人数有变化？ 说明理由.18.(本小题 14 分)已知抛物线：经过点C22xpy 2, 1（）求抛物线的方程及其准线方程；C（）设为原点，过抛物线的焦点作斜率不为 0 的直线 交抛物线于两点，OClCM ，直线分别交直线，于点和点求证：以为直径的N1y OMONABAB圆经过轴上的两个定点.y-在-此-卷-上-答-题-无-效- -毕业学校_ 姓名_ 考生号_ _ _数学试卷 第 7 页（共 22 页） 数学试卷 第 8 页（共 22 页）19.(本小题 13 分)已知函数.321( )4f xxxx（）求曲线的斜

9、率为 1 的切线方程；( )yf x（）当时，求证：； 2,4x 6( )xf xx（）设，记在区间上的最大值( ) |( )()|()F xf xxaaR( )F x 2,4为当最小时，求的值. M a M aa20.(本小题 13 分)已知数列，从中选取第项、第项、第项（） ，若 na1i2imi12miii，则称新数列为的长度为的递增子列规 12miiiaaa 12miiiaaa， nam定：数列的任意一项都是的长度为 1 的递增子列. na na（）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；（）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增 nap

10、0maq子列的末项的最小值为.若，求证：； 0napq 00mnaa（）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为 na na的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰s21s s21s 有个（） ，求数列的通项公式.12s1,2,s na2019 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷数学（理）答案解析第一部分一、选择题1 【答案】D【解析】，故选 D2zi2,225zi z zii【考点】共轭复数，复数的运算2 【答案】B【解析】执行程序框图，；2 11,23 12ks 242,2322ks，跳出循环，输出的故选 B243,2322ks2s 数学试卷 第 9 页（共

11、 22 页） 数学试卷 第 10 页（共 22 页） 【考点】程序框图3 【答案】D【解析】由题意得，直线 的普通方程为，则点到直线的l4320xy 1,04320xy距离故选 D 22|4 1302|6=543d 【考点】直线的参数方程和普通方程的互化、点到直线的距离公式4 【答案】B【解析】由题意得，又，1 2c a221 4c a222abc2221 4ab a223 4b a故选 B2243ba【考点】椭圆的方程与几何性质5 【答案】C【解析】令，画出约束条件即或表示的平面3zxy| |1, 1,xy y 1, 0,xy x y -11, 0, 1xy x y 区域，如图中阴影部分所示

12、，作出直线，并平移，数形结合可知，当平移后直3yx 线过点时，取得最大值，故选 C2, 1C3zxymax3215z 【考点】线性规划问题6 【答案】A【解析】由题意可设太阳的星等为，太阳的亮度为，天狼星的星等为，天狼星的2m2E1m亮度为，则由，得，1E1 21 25lg2EmmE12526.7+1.45lg2EE125lg=25.252E E，故选 A12lg10.1E E 10.12110E E【考点】对数的运算7 【答案】C【解析】若，则，点|ABACBC 22|ABACBC 222+2|ABACAB ACBC ，不共线，线段，构成一个三角形，设内角，ABCABBCACABCA，对应的

13、边分别为 ， ， ，则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知，BCabc，即，222+2|ABACAB ACBC 22222cos2coscbbcAcbbcA，又，三点不共线，故与的夹角为锐角反之，易得当cos0AABCAB AC 与的夹角为锐角时，“与的夹角为锐角”是“AB AC |ABACBC AB AC 数学试卷 第 11 页（共 22 页） 数学试卷 第 12 页（共 22 页）”的充分必要条件，故选 C|ABACBC 【考点】平面向量的相关知识，余弦定理的应用8 【答案】C【解析】曲线的方程可看成关于 的一元二次方程，221 |xyx y y22|10yx yx 由题图可知该方程必有两

14、个不相等的实根，满足条22=| |410xx24 3x 件的整数 可取，0，1当时，或 1，曲线经过的整点有，x11x 0y C1,0，当时，或 1，曲线经过的整点有，；当时，1,10x 1y C0, 1 0,11x 或 1，曲线经过的整点有，故曲线恰好经过 6 个整点，正0y C 1,0 1,1C确；，当且仅当22 221 |1+2xyxyx y 222xy22+2xy ，即或时取等号，则曲线上的点到原点的距离为，故正确；| |xy1,1xy 1,1xy 2顺次连接，所围成的区域如图中1,01,1 0,1 1,1 1,00, 11,0阴影部分所示，其面积为 3，显然曲线所围成的“心形”区域的

15、面积要大于 3，故C不正确故选 C【考点】曲线的方程与几何性质，基本不等式等知识第二部分二、填空题9 【答案】 2【解析】，的最小正周期 21cos4sin 22xf xx f x2 42T【考点】倍角公式，三角函数的性质10 【答案】010【解析】设等差数列的公差为，即可得 nad253,10,aS 113,51010,adad 14,1,ad ，当或时，取得最5140aad2 111922nn nSnadnn4n 5n nS小值，最小值为10【考点】等差数列的通项公式，前 项和公式n11 【答案】40【解析】如图所示的正方体的棱长为 4，去掉四棱柱1111ABCDA BC D（其底面是一个

16、上底为 2，下底为 4，高为 2 的直角梯形）所得的几1111MQD ANPC B何体为题中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为3142424402 【考点】几何体的三视图，几何体的体积12 【答案】若，则.lmlm【解析】若，则，显然正确；若，则， 与llmmlmmll相交但不垂直都可以，故不正确；若，则 垂直内所有直lml线，在内必存在于平行的直线，所以可推出，故正确mlm【提示】答案不唯一【考点】空间中直线与直线、直线与平面的平行和垂直关系的判定13 【答案】1(,0【解析】为奇函数， f x fxf x xxxxeaeeae 数学试卷 第 13 页（共 22 页） 数学试卷 第 1

17、4 页（共 22 页） ，；单调递增，1+10xxa ea e1a f x，故 的取值范围是 2 0x xx xeafxeaee20xea 0aa(,0【考点】函数的奇偶性，单调性14 【答案】13015【解析】顾客一次购买草莓和西瓜各 1 盒共需（元） ，又，所以优60+80=140140 120惠 10 元，顾客实际需要付款 130 元设顾客一次购买的水果总价为元，由题意已知，当时，当m0120m0x 时，得对任意恒成立，又，120m80%70%mxm 8mx120m158m所以 的最大值为 15x【考点】不等式的求解三、解答题（共 6 小题，共 80 分）15 【答案】解：（）由余弦定理

18、，得2222cosbacacB.22213232bcc 因为，2bc所以.2221(2)3232ccc 解得.5c 所以.7b （）由得.1cos2B 3sin2B 由正弦定理得.5 3sinsin14cCBb在中，是钝角，ABCB所以为锐角.C所以.211cos1sin14CC所以.4 3sin()sincoscossin7BCBCBC【考点】正弦定理，余弦定理，两角差的正弦公式16 【答案】解：（）因为平面，PAABCD所以PACD又因为，所以平面ADCDCDPAD（）过作的垂线交于点AADBCM因为平面，所以，PAABCDPA AMPAAD如图建立空间直角坐标系，则，Axyz0,0,0A

19、2, 1,0B2,2,0C0,2,0D0,0,2P因为为的中点，所以EPD0,1,1E所以(0,1,1),(2,2, 2),(0,0,2)AEPCAP 数学试卷 第 15 页（共 22 页） 数学试卷 第 16 页（共 22 页）所以.12 222 2 4,33 333 3 3PFPCAFAPPF 设平面的法向量为，则AEF, ,x y zn即0,0,AEAF nn0,2240.333yzxyz令，则1z 1,1yx 于是=(1,1,1)n又因为平面的法向量为，所以.PAD1,0,0p3cos,|3 n pn pn p由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为FAEP3 3（）直线在平面内AGAEF

20、因为点在上，且，GPB2,(2, 1, 2)3PGPBPB 所以.242442 2,333333 3PGPBAGAPPG 由（）知，平面的法向量.AEF=(1,1,1)n所以.4220333AG n所以直线在平面内.AGAEF【考点】直线与平面垂直的证明，二面角余弦值的求解，线面位置关系的判断17 【答案】解：（）由题意知，样本中仅使用A的学生有人，仅使用B的189330学生有人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人1014125 故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有人1003025540所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为.400.4100（）

21、的所有可能值为0，1，2X记事件为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”C，事件为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于D1000元”由题设知，事件，相互独立，且.CD93141( )0.4,()0.63025P CP D所以，(2)()( ) ()0.24P XP CDP C P D(1)()P XP CDCD() ()() ()P C P DP C P D0.410.610.40.6（）（），0.52数学试卷 第 17 页（共 22 页） 数学试卷 第 18 页（共 22 页） .(0)()() ()0.24P XP CDP

22、C P D所以的分布列为XX012P0.240.520.24故的数学期望X 0 0.24 1 0.522 0.24 1E X （）记事件为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于E2000元”假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得3 3011( )C4060P E 答案示例1：可以认为有变化.理由如下：比较小，概率比较小的事件一般不容易发生一旦发生，就有理由认为本月的支付金 P E 额大于2000元的人数发生了变化所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有

23、可能发生的，所以无法确定E P E有没有变化【考点】随机变量的分布列，数学期望18 【答案】解：（）由抛物线经过点，得.2:2C xpy (2,1)2p 所以抛物线的方程为，其准线方程为.C24xy 1y （）抛物线的焦点为.C(0,1)F设直线 的方程为.l1(0)ykxk由得.21,4ykxxy 2440xkx设，则.1122,M x yN x y124x x 直线的方程为.OM11yyxx令，得点 A 的横坐标.1y 11Axxy 同理得点 B 的横坐标.22Bxxy 设点，则，(0, )Dn1212, 1, 1xxDAnDBnyy 21212(1)x xDA DBny y 212 22

24、 12(1)44x xnxx21216(1)nx x.24(1)n 令，即，则或.0DA DB 24(1)0n 1n 3n 综上，以为直径的圆经过 轴上的定点和.ABy(0,1)(0,3)数学试卷 第 19 页（共 22 页） 数学试卷 第 20 页（共 22 页）【考点】抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系19 【答案】解：（）由得321( )4f xxxx23( )214fxxx令，即，得或( )1fx232114xx 0x 8 3x 又，(0)0f88( )327f所以曲线的斜率为 1 的切线方程是与，( )yf xyx88 273yx即与yx64 27yx（）令( )( ), 2,4g

25、 xf xx x 由得321( )4g xxx23( )24g xxx令得或( )0g x 0x 8 3x 的情况如下：( ), ( )g x g xx2( 2,0)08(0, )3838( ,4)34( )g x( )g x6A0A64 27A0所以的最小值为，最大值为 0( )g x6故，即6( )0g x 6( )xf xx（）由（）知，当时，；3a( )(0) |(0)|3MFgaaa 当时，；3a( )( 2) |( 2)| 63MFgaaa当时，.3a ( )3M a 综上，当最小时，.( )M a3a 【考点】利用导数求切线方程，判断函数的单调性，函数的极值20 【答案】解：（）

26、1，3，5，6 （答案不唯一）（）设长度为 末项为的一个递增子列为q0na 1210, qrrrna aaa 由，得pq10pqrrnaaa 因为的长度为的递增子列末项的最小值为， nap 0ma又是的长度为的递增子列，12, prrra aa nap所以0pmraa所以00mnaa（）由题设知，所有正奇数都是中的项 na先证明：若是中的项，则必排在之前（为正整数）2m na2m21mm假设排在之后2m21m数学试卷 第 21 页（共 22 页） 数学试卷 第 22 页（共 22 页） 设是数列的长度为末项为的递增子列，则121,21 mpppaaam nam21m是数列的长度为末项为的递增子

27、列.与已知矛121,21,2 mpppaaamm na1m2m盾再证明：所有正偶数都是中的项 na假设存在正偶数不是中的项，设不在中的最小的正偶数为 na na2m因为排在之前（，2，），所以和不可能在的同一个递2k21k 1k 1m2k21k na增子列中.又中不超过的数为1，2，所以的长度为 na21m22m21m21m na且末项为的递增子列个数至多为1m21m1(1)2222 1 122mmm 个与已知矛盾最后证明：排在之后（为整数）2m23m2m假设存在（），使得排在之前，则的长度为且末项为2m2m2m23m na1m的递增子列的个数小于与已知矛盾21m2m综上，数列只可能为2，1，4，3，. na23m2m21m经验证，数列2，1，4，3，符合条件23m2m21m所以1,1,nnnann为奇数，为偶数.【考点】新定义数列