2011年北京市高考数学试卷(理科).pdf

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1、第 1页（共 21页）2011 年北京市高考数学试卷（理科）年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分）1 （5 分） （2011北京）已知集合 Px|x21，Ma若 PMP，则 a 的取值范围是（）A （，1B1，+）C1，1D （，11，+）2 （5 分） （2011北京）复数（）AiBiCD3 （5 分） （2011北京）在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是（）ABC （1，0）D （1，）4 （5 分） （2011北京）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（）A3BCD25 （5 分） （2011北

2、京）如图，AD，AE，BC 分别与圆 O 切于点 D，E，F，延长 AF 与圆 O交于另一点 G给出下列三个结论：AD+AEAB+BC+CA；AFAGADAEAFBADG其中正确结论的序号是（）第 2页（共 21页）ABCD6 （5 分） （2011北京）根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C 为常数） 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是（）A75，25B75，16C60，25D60，167 （5 分） （2011北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A8BC

3、10D8 （5 分） （2011北京）设 A（0，0） ，B（4，0） ，C（t+4，4） ，D（t，4） （tR） 记 N（t）为平行四边形 ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 N（t）的值域为（）A9，10，11B9，10，12C9，11，12D10，11，12二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分）分）9 （5 分） （2011北京）在ABC 中若 b5，tanA2，则 sinA；a10 （5 分） （2011北京）已知向量 （，1） ， （0，1） ， （k，） 若与 共线，则 k11（

4、5 分）（2011北京） 在等比数列an中， a1， a44， 则公比 q； |a1|+|a2|+|an|12 （5 分） （2011北京）用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的第 3页（共 21页）四位数共有个 （用数字作答）13 （5 分） （2011北京）已知函数若关于 x 的方程 f（x）k 有两个不同的实根，则数 k 的取值范围是14 （5 分） （2011北京）曲线 C 是平面内与两个定点 F1（1，0）和 F2（1，0）的距离的积等于常数 a2（a1）的点的轨迹给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上

5、，则F1PF2的面积不大于a2其中，所有正确结论的序号是三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 80 分）分）15 （13 分） （2011北京）已知 f（x）4cosxsin（x+）1（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间，上的最大值和最小值16 （14 分） （2011北京）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB2，BAD60（）求证：BD平面 PAC；（）若 PAAB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；（）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长17 （13 分） （2011北京）以下茎叶图记录了甲、

6、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示（）如果 X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（）如果 X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数第 4页（共 21页）Y 的分布列和数学期望（注：方差，其中 为 x1，x2，xn的平均数）18 （13 分） （2011北京）已知函数（）求 f（x）的单调区间；（）若对于任意的 x（0，+） ，都有 f（x），求 k 的取值范围19 （14 分） （2011北京）已知椭圆过点（m，0）作圆 x2+y21 的切线 I交椭圆 G 于 A，B 两点（）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；（）将|A

7、B|表示为 m 的函数，并求|AB|的最大值20 （13 分） （2011北京）若数列 Ana1，a2，an（n2）满足|ak+1ak|1（k1，2， ，n1） ，数列 An为 E 数列，记 S（An）a1+a2+an（）写出一个满足 a1as0，且 S（As）0 的 E 数列 An；（）若 a112，n2000，证明：E 数列 An是递增数列的充要条件是 an2011；（）对任意给定的整数 n（n2） ，是否存在首项为 0 的 E 数列 An，使得 S（An）0？如果存在，写出一个满足条件的 E 数列 An；如果不存在，说明理由第 5页（共 21页）2011 年北京市高考数学试卷（理科）年北

8、京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（共一、选择题（共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分）分）1 （5 分） （2011北京）已知集合 Px|x21，Ma若 PMP，则 a 的取值范围是（）A （，1B1，+）C1，1D （，11，+）【分析】通过解不等式化简集合 P；利用 PMPMP；求出 a 的范围【解答】解：Px|x21，Px|1x1PMPMPaP1a1故选：C【点评】本题考查不等式的解法、考查集合的包含关系：根据条件 PMPMP 是解题关键2 （5 分） （2011北京）复数（）AiBiCD【分析】将分子、分母同乘以 12i

9、，再按多项式的乘法法则展开，将 i2用1 代替即可【解答】解：i故选：A【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数；再按多项式的乘法法则展开即可3 （5 分） （2011北京）在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是（）ABC （1，0）D （1，）【分析】 先在极坐标方程2sin的两边同乘以， 再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用cosx，siny，2x2+y2，进行代换即得直角坐标系，再利用直角坐标方程第 6页（共 21页）求解即可【解答】解：将方程2sin两边都乘以 p 得：22sin，化成直角坐标方程为x2+y2+2y0圆心的坐标（0，1） 圆心的极坐标故选：

10、B【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置4 （5 分） （2011北京）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（）A3BCD2【分析】i0，满足条件 i4，执行循环体，依此类推，当 i4，s2，此时不满足条件i4，退出循环体，从而得到所求【解答】解：i0，满足条件 i4，执行循环体，i1，s满足条件 i4，执行循环体，i2，s满足条件 i4，执行循环体，i3，s3满足条件 i4，执行循环体，i4，s2不满足条件 i4，退出循环体，此时 s2故选：D第 7页（共 21页）【

11、点评】根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题5 （5 分） （2011北京）如图，AD，AE，BC 分别与圆 O 切于点 D，E，F，延长 AF 与圆 O交于另一点 G给出下列三个结论：AD+AEAB+BC+CA；AFAGADAEAFBADG其中正确结论的序号是（）ABCD【分析】根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，得到第一个说法是

12、正确的，根据切割线定理知道第二个说法是正确的，根据切割线定理知，两个三角形ADFADG，得到第三个说法错误【解答】解：根据从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，有 CECF，BFBD，AD+AEAB+BC+CA，故正确，ADAE，AE2AFAG，AFAGADAE，故正确，根据切割线定理知ADFADG故不正确，综上所述两个说法是正确的，故选：A【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查圆的切线长定理，考查圆的切割线定理，考查切割线构成的两个相似的三角形，本题是一个综合题目6 （5 分） （2011北京）根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间（单位：分钟）第 8页（共 21页）为（A，C

13、为常数） 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组装第A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是（）A75，25B75，16C60，25D60，16【分析】首先，xA 的函数值可由表达式直接得出，再根据 x4 与 xA 的函数值不相等，说明求 f（4）要用 xA 对应的表达式，将方程组联解，可以求出 C、A 的值【解答】解：由题意可得：f（A）15，所以 c15而 f（4）30，可得出30故4，可得 A16从而 c1560故选：D【点评】分段函数是函数的一种常见类型，解决的关键是寻找不同自变量所对应的范围，在相应区间内运用表达式加以解决7 （5 分） （2011北京）某四面

14、体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）A8BC10D【分析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值【解答】 解： 三视图复原的几何体是一个三棱锥， 如图， 四个面的面积分别为： 8， 6，10，显然面积的最大值，10第 9页（共 21页）故选：C【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型8 （5 分） （2011北京）设 A（0，0） ，B（4，0） ，C（t+4，4） ，D（t，4） （tR） 记 N（t）为平行四边形 ABCD 内部（

15、不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数 N（t）的值域为（）A9，10，11B9，10，12C9，11，12D10，11，12【分析】分别由 t0，1，2 求出 N（t） ，排除错误选项 A，B，D，从而得到正确选项【解答】解：当 t0 时，ABCD 的四个顶点是 A（0，0） ，B（4，0） ，C（4，4） ，D（0，4） ，符合条件的点有（1，1） ， （1，2） ， （1，3） ， （2，1） ， （2，2） ， （2，3） ， （3，1） ， （3，2） ，（3，3） ，共九个，N（t）9，故选项 D 不正确当 t1 时，ABCD 的四个顶点是 A（0，0）

16、 ，B（4，0） ，C（5，4） ，D（1，4） ，同理知 N（t）12，故选项 A 不正确当 t2 时，ABCD 的四个顶点是 A（0，0） ，B（4，0） ，C（6，4） ，D（2，4） ，同理知 N（t）11，故选项 B 不正确故选：C【点评】本题考查集合的性质和应用，解题时要注意排除法的合理运用本题中取整点第 10页（共 21页）是个难点，常用的方法是，先定横（或纵）坐标，在定纵（横）坐标，以确定点的个数，如果从图形上看，就是看直线 xr（r 是整数）上有几个整点在四边形内二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分）分）9 （5 分） （

17、2011北京）在ABC 中若 b5，tanA2，则 sinA；a2【分析】由 tanA 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出 cosA 的平方，然后由 A 的范围，再利用同角三角函数的基本关系求出 sinA 的值，然后再利用正弦定理，由 sinA，sinB 及 b 的值即可求出 a 的值【解答】解：由 tanA2，得到 cos2A，由 A（0，） ，得到 sinA，根据正弦定理得：，得到 a2故答案为：；2【点评】此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系以及正弦定理化简求值，是一道中档题10 （5 分） （2011北京）已知向量 （，1） ， （0，1） ， （k，） 若与 共线，则 k

18、1【分析】 利用向量的坐标运算求出的坐标； 利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出 k 的值【解答】解：与 共线，解得 k1故答案为 1【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等第 11页（共 21页）11（5 分）（2011北京） 在等比数列an中， a1， a44， 则公比 q2； |a1|+|a2|+|an|【分析】先利用等比数列的通项公式求得公比；|an|是以 a1为首项，|q|为公比，进而利用等比数列的求和公式求解【解答】解：q2，|a1|+|a2|+|an|故答案为：2，【点评】本题主要考查了等比数列的性质考查了对等比数列的通项公式和

19、求和公式的灵活运用12 （5 分） （2011北京）用数字 2，3 组成四位数，且数字 2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有14个 （用数字作答）【分析】本题是一个分类计数问题，首先确定数字中 2 和 3 的个数，当数字中有 1 个 2，3 个 3 时，当数字中有 2 个 2，2 个 3 时，当数字中有 3 个 2，1 个 3 时，写出每种情况的结果数，最后相加【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，首先确定数字中 2 和 3 的个数，当数字中有 1 个 2，3 个 3 时，共有 C414 种结果，当数字中有 2 个 2，2 个 3 时，共有 C426 种结果，当数字中有 3 个 2，

20、1 个 3 时，共有有 C414 种结果，根据分类加法原理知共有 4+6+414 种结果，故答案为：14【点评】本题考查分类计数原理，是一个数字问题，这种问题一般容易出错，注意分类时要做到不重不漏，本题是一个基础题，也是一个易错题，易错点在数字中重复出现的数字不好处理13 （5 分） （2011北京）已知函数若关于 x 的方程 f（x）k 有第 12页（共 21页）两个不同的实根，则数 k 的取值范围是（0，1）【分析】要求程 f（x）k 有两个不同的实根是数 k 的取值范围，根据方程的根与对应函数零点的关系，我们可以转化为求函数 yf（x）与函数 yk 交点的个数，我们画出函数的图象，数形结

21、合即可求出答案【解答】解：函数的图象如下图所示：由函数图象可得当 k（0，1）时方程 f（x）k 有两个不同的实根，故答案为： （0，1）【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零点的关系，将方程问题转化为函数问题是解答的关键14 （5 分） （2011北京）曲线 C 是平面内与两个定点 F1（1，0）和 F2（1，0）的距离的积等于常数 a2（a1）的点的轨迹给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则F1PF2的面积不大于a2其中，所有正确结论的序号是【分析】由题意曲线 C 是平面内与两个定点 F1（

22、1，0）和 F2（1，0）的距离的积等于常数 a2（a1） ，利用直接法，设动点坐标为（x，y） ，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断第 13页（共 21页）【解答】解：对于，由题意设动点坐标为（x，y） ，则利用题意及两点间的距离公式的得：（x+1）2+y2（x1）2+y2a4（1）将原点代入验证，此方程不过原点，所以错；对于， 把方程中的 x 被x 代换， y 被y 代换， 方程不变， 故此曲线关于原点对称 正确；对 于 ， 由 题 意 知 点P在 曲 线C上 ， 则 F1PF2的 面 积a2sinF1PF2，a2，所以正确故答案为：【点评】此题重点考查了利用直接法求出动点

23、的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性及利用解析式选择换元法求出值域三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，满分小题，满分 80 分）分）15 （13 分） （2011北京）已知 f（x）4cosxsin（x+）1（）求 f（x）的最小正周期；（）求 f（x）在区间，上的最大值和最小值【分析】 （）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期（）利用 x 的范围确定 2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值【解答】解： （），4cosx（）1sin2x+2cos2x1sin2x+cos2x2sin（2x+） ，所以函数

24、的最小正周期为；（）x，第 14页（共 21页）2x+，当 2x+，即 x时，f（x）取最大值 2，当 2x+时，即 x时，f（x）取得最小值1【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值解题的关键是对函数解析式的化简整理16 （14 分） （2011北京）如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，AB2，BAD60（）求证：BD平面 PAC；（）若 PAAB，求 PB 与 AC 所成角的余弦值；（）当平面 PBC 与平面 PDC 垂直时，求 PA 的长【分析】 （I）由已知条件可得 ACBD，PABD，根据直线与平面垂直的判定定理可证（II

25、）结合已知条件，设 AC 与 BD 的交点为 O，则 OBOC，故考虑分别以 OB，OC 为x 轴、y 轴，以过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 PB 与 AC 所 成 的 角 为 ， 则， 代 入 公 式可求（ III ） 分 别 求 平 面 PBC 的 法 向 量， 平 面 PDC 的 法 向 量由平面 PBC平面 PDC 可得从而可求 t 即 PA【解答】解： （I）证明：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ACBD，又因为 PA平面 ABCD，所以 PABD，PAACA所以 BD平面 PAC第 15页（共 21页）（II）设 ACBDO，因为BAD

26、60，PAAB2，所以 BO1，AOOC，以 O 为坐标原点，分别以 OB，OC 为 x 轴、y 轴，以过 O 且垂直于平面 ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则P（0，2） ，A（0，0） ，B（1，0，0） ，C（0，0）所以（1，2） ，设 PB 与 AC 所成的角为，则 cos|（III）由（II）知，设，则设平面 PBC 的法向量 （x，y，z）则0，所以令，平面 PBC 的法向量所以，同理平面 PDC 的法向量，因为平面 PBC平面 PDC，所以0，即6+0，解得 t，所以 PA【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的

27、方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力17 （13 分） （2011北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示（）如果 X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（）如果 X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望第 16页（共 21页）（注：方差，其中 为 x1，x2，xn的平均数）【分析】 （）根据所给的数据，把所有数据相加再除以 4 写出这组数据的平均数，再利用所给的方差的公式，做出这组数据的方差（）根据

28、所给的变量写出随机变量可能的取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列，做出期望值【解答】解： （）当 X8，乙组同学植树棵数是 8，8，9，10，平均数是，方差为+；（）当 X9 时，甲组同学的植树棵数是 9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是 9，8，9，10，分别从甲和乙两组中随机取一名同学，共有 4416 种结果，这两名同学植树的总棵数 Y 可能是 17，18，19，20，21，事件 Y17，表示甲组选出的同学植树 9 棵，乙组选出的同学植树 8 棵，P（Y17）P（Y18）P（Y19）P（Y20），P（Y21）Y1718192021P0.1250.250.250.250.1

29、25随机变量的期望是 EY19第 17页（共 21页）【点评】本题考查一组数据的平均数和方差，考查离散型随机变量的分布列和期望值，考查等可能事件的概率，本题是一个概率与统计的综合题目18 （13 分） （2011北京）已知函数（）求 f（x）的单调区间；（）若对于任意的 x（0，+） ，都有 f（x），求 k 的取值范围【分析】 （I）求导，令导数等于零，解方程，跟据 f（x） ，f（x）随 x 的变化情况即可求出函数的单调区间；（）根据若对于任意的 x（0，+） ，都有 f（x），利用导数求函数 f（x）在区间（0，+）的最大值，即可求出 k 的取值范围【解答】解： （），令 f（x）0，得

30、 xk当 k0 时，f（x）f（x）随 x 的变化情况如下：x（，k）k（k，k）k（k，+）f（x）+00+f（x）递增4k2e1递减0递增所以，f（x）的单调递增区间是（，k） ，和（k，+） ，单调递减区间是（k，k） ；当 k0 时，f（x）f（x）随 x 的变化情况如下：x（，k）k（k，k）k（k，+）f（x）0+0f（x）递减0递增4k2e1递减所以，f（x）的单调递减区间是（，k） ，和（k，+） ，单调递增区间是（k，k） ；（）当 k0 时，有 f（k+1），不合题意，当 k0 时，由（I）知 f（x）在（0，+）上的最大值是 f（k），第 18页（共 21页）任意的 x（

31、0，+） ，f（x），f（k），解得，故对于任意的 x（0，+） ，都有 f（x），k 的取值范围是【点评】此题是个难题考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程 f（x）0 根大小进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，特别是（II）的设置，有关恒成立问题一般转化为求函数 的最值问题，体现了转化的思想，增加了题目的难度19 （14 分） （2011北京）已知椭圆过点（m，0）作圆 x2+y21 的切线 I交椭圆 G 于 A，B 两点（）求椭圆 G 的焦点坐标和离心率；（）将|AB|表示为 m 的函数，并求|AB|的最大值【分析】 （I）由题意及椭圆和圆的标准方程，利用椭圆离心率的

32、定义和点到直线的距离公式即可求解；（II）由题意即 m 得取值范围分 m1 时，m1 及当 m1 三大类求出|AB|的长度，利用直线方程与椭圆方程进行联立，利用根与系数的关系得到 k 与 m 之间关系等式，利用直线与圆相切的条件即可【解答】解： （I）由题意得 a2，b1，所以 c椭圆 G 的焦点坐标离心率 e（II）由题意知：|m|1，当 m1 时，切线 l 的方程为 x1，点 A（1，）点 B（1，） 此时|AB|；当 m1 时，同理可得|AB|；当|m|1 时， 设切线 l 的方程为： yk （xm） ， 由 （1+4k2） x28k2mx+4k2m240，设 A（x1，y1） ，B（x

33、2，y2）则 x1+x2又由 l 与圆 x2+y21 相切圆心到直线 l 的距离等于圆的半径即1m2第 19页（共 21页），所以|AB|， 由于当 m1 时， |AB|，当 m1 时，|AB|，此时 m（，11，+）又|AB|2（当且仅当 m时，|AB|2） ，所以，|AB|的最大值为 2故|AB|的最大值为 2【点评】此题重点考查了椭圆及圆的标准方程，还考查了点到直线的距离公式，对于第二问，重点考查了利用 m 的范围分裂进行讨论，联立直线与椭圆的方程利用整体代换的思想建立 m 与 k 的关系等式，还考查两点间的距离公式及又 m 的范围解出|AB|的最值20 （13 分） （2011北京）若

34、数列 Ana1，a2，an（n2）满足|ak+1ak|1（k1，2， ，n1） ，数列 An为 E 数列，记 S（An）a1+a2+an（）写出一个满足 a1as0，且 S（As）0 的 E 数列 An；（）若 a112，n2000，证明：E 数列 An是递增数列的充要条件是 an2011；（）对任意给定的整数 n（n2） ，是否存在首项为 0 的 E 数列 An，使得 S（An）0？如果存在，写出一个满足条件的 E 数列 An；如果不存在，说明理由【分析】 （）根据题意，a21，a41，再根据|ak+1ak|1 给出 a5的值，可以得出符合题的 E 数列 A5；（）从必要性入手，由单调性可以

35、去掉绝对值符号，可得是 An公差为 1 的等差数列，再证充分性，由绝对值的性质得出不等式，再利用同向不等式的累加，可得 ak+1ak10，An是递增数列；（）根据定义构造数列，再用等差数列求和公式求出 S（An） ，最后通过讨论得出符合条件的 S（An） 【解答】解： （）0，1，0，1，0 是一个满足条件的 E 数列 A5（）必要性：因为 E 数列 An是递增数列第 20页（共 21页）所以 ak+1ak1（k1，2，1999）所以 An是首项为 12，公差为 1 的等差数列所以 a200012+（20001）12011充分性：由于 a2000a19991a1999a19981a2a11，所

36、以 a2000a11999，即 a2000a1+1999又因为 a112，a20002011所以 a2000a1+1999故 ak+1ak10（k1，2，1999） ，即 An是递增数列综上所述，结论成立（）设 ckak+1ak（k1，2，n1） ，则 ck1因为 a2a1+c1a3a1+c1+c2ana1+c1+c2+cn1所以 S（An）na1+（n1）c1+（n2）c2+（n3）c3+cn1（n1）+（n2）+1（1c1） （n1）+（1c2） （n2）+（1cn1）因为 ck1，所以 1ck为偶数（k1，2，n1） ）所以（1c1） （n1）+（1c2） （n2）+（1cn1）为偶数所

37、以要使 S（An）0，必须使为偶数即 4 整除 n（n1） ，亦即 n4m 或 n4m+1（mN*）当 n4m（mN*）时，E 数列 An的项满足 a4k+1a4k10，a4k21，a4k1（k1，2，n1） ）此时，有 a10 且 S（An）0 成立当 n4m+1 （mN*） 时， E 数列 An的项满足 a4k+1a4k10a4k21a4k1 （k1， 2， ，n1） ）第 21页（共 21页）a4m+10 时，亦有 a10 且 S（An）0 成立当 n4m+2 或 n4m+3（mN*） （mN*）时，n（n1）不能被 4 整除，此时不存在数列数列 An，使得 a10 且 S（An）0 成立【点评】本题以数列为载体，考查了不等式的运用技巧，属于难题，第三小问注意去绝对值，分类讨论思想的运用声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/6/21 10:59:05 ；用户： 18799180383 ；邮箱：18799180383 ；学号： 21498020