47开放探究型问题.doc

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1、1 开放探究型问题开放探究型问题一、选择题1、 （2012 年中考数学新编及改编题试卷）图(1)、图(2)、图(3)分别表示甲、乙、丙三人由A 地到 B 地的路线图。已知； 甲的路线为：ACB。乙的路线为：ADEFB，其中 E 为AB的中点。丙的路线为：AGHKB，其中 H 在AB上，且 AHHB。若符号表示直线前进 ，则根据图(1)、图(2)、图(3)的数据，则三人行进路线长度的大小关系为（ ）(A) 甲=乙=丙 (B) 甲1 时，请写出一个反映 Sn1,Sn,Sn+1之间关系的等式（不必证明）解：（1） 正确画出分割线 CD （如图，过点 C 作 CDAB，垂足为 D，CD 即是满足要求的

2、 分割线，若画成直线不扣分） 理由： B = B，CDB=ACB=90BCD ACB （2） DEF 经 N 阶分割所得的小三角形的个数为n41 S = n4100011 当 n =3 时,S3 = 31000 S15.62 当 n = 4 时， S4 = 41000 S3.91 当 n= 4 时,3 S4 4 S2 = S1n S1n，S1n= 4 S, S= 4 S1n9、 （2012 年中考数学新编及改编题试卷）用一条直线可将等腰梯形分成两部分，用这两部分能拼成一个新的图形。请你在原等腰梯形上画出直线，并对这条直线进行必要的说明，然后在框内画出要求的新图形（1）将等腰梯形分割后拼成矩形（

3、2）将等腰梯形分割后拼成平行四边形（非矩形）（3）将等腰梯形分割后拼成三角形答案：（1）将等腰梯形分割后拼成矩形（2）将等腰梯形分割后拼成平行四边形（非矩形）CDABCDABCDABCDAB12 （3）将等腰梯形分割后拼成三角形答案不唯一答案不唯一10、（2012 年北京市顺义区一诊考试）问题背景问题背景 （1）如图 1，ABC 中，DEBC 分别交 AB，AC 于 D，E 两点，过点 D 作 DFAC 交 BC 于点 F请按 图示数据填空： 四边形 DFCE 的面积S ， DBF 的面积1S ，ADE 的面积2S 探究发现探究发现 （2）在（1）中，若BFa，FCb，D与 BC 间的距离为h

4、直接写出2S （用含 S、1S的代数式表示） 拓展迁移拓展迁移 （3）如图 2，DEFG 的四个顶点在ABC 的三 边上，若ADG、DBE、GFC 的面积分别为 4、8、1，试利用（2）中的结论求DEFG 的面积， 直接写出结果 解：（1）四边形 DFCE 的面积S 6 ， DBF 的面积1S 6 ，ADE 的面积2S 3 2 （2）2S 214S S（用含 S、1S的代数式表示） 中#国教育出&版*网（3）DEFG 的面积为 12 11、(2012 年北京市延庆县一诊考试)如图 1，已知：已知：等边ABC，点 D 是边 BC 上一CDABCDAB13 ECABD点（点 D 不与点 B、点 C

5、 重合） ，求证：BD+DC AD下面的证法供你参考：把ACD绕点 A 瞬时间针旋转60得到ABE，连接 ED，则有ABEACD,DC=EBAD=AE,60DAEADE是等边三角形AD=DE在DBE中，BD+EB DE即：BD+DCAD实践探索：（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：如图 2，点 D 是等腰直角三角形ABC 边上的点（点 D 不与 B、C 重合） ，求证：BD+DC2AD12（1）证明：把ACD绕点 A 瞬时针旋转90得到ABE，连接 ED，-1 分则有ABEACD,DC=EBAD=AE,90DAEADE是等腰直角三角形 DE=2AD -2 分在DBE中，BD+EB D

6、E即：BD+DC2AD - 3 分CABD 图图 2CABD图图 1CDAB图图 314 AED三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 三 CAD=BAE EAD= 三 A三 AFDE三 F三三 EAF=2,DF=12DE=12BE+BD()三 RtAFD三 三 DF=ADsin2三 三12BE+BD()=ADsin2（2）BD+DC2AD -4 分（3）猜想 1：BD+DC2AD证明：把ACD绕点 A 顺时针旋转，得到ABE则有ABEACD, DC=EB，ACD=ABE -5 分BAC+BDC=180 ABD+ACD=180 ABD+ABE=180 即：E、B、D 三点共线-6 分AD=

7、AE, 在ADE中AE+ADDE 即 BD+DC2AD -7 分或者猜想 2：-7 分13 如图 1、P 是锐角ABC 所在平面上一点如果APB=BPC=CPA=120，则点 P 就叫做ABC 费马点（1） 、当ABC 是边长为 4 的等边三角形时，费马点 P 到 BC 边的距离为 。EBACD15 BABC三 1ABCD PP1P2P3（2） 、若点 P 是ABC 的费马点ABC=60，PA=2，PC=3，则 PB 的值为 。（3） 、如图 2，在锐角ABC 外侧作等边ACB连接 BB （图 1）求证：BB过ABC 的费马点 P。 答案：(1)332（3 分）(2)6 （6 分）（3）证明：

8、在 BB上取点 P，使BPC=1200 连接 AP，再在 PB上截取 PE=PC，连结 CE. BPC=1200，EPC=600， 三角形 PCE 为正三角形。 PC=CE，PCE=600，CEB=1200 三角形 ACB为正三角形，AC=BC, ACB=600 PCA+ACE=ACE+ECB=600，PCA=ECB， CEBACP， APC=BCE=1200，PA=EB， APB=APC=BPC=1200， P 为三角形 ABC 的费马点。 BB过三角形 ABC 的费马点 P. （10 分） 14、(本小题 10 分) 阅读下列材料：阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD中，8

9、cmAD ，6cmAB 现有一动点P按下列方式在矩形内运动：它从A点出发，沿着与 AB 边夹角为45的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P点碰到BC边，沿着与BC边夹角为45的方向作直线运动，当P点碰到CD边，再沿着与CD边夹角为45的方向作直线运动，如图 1 所示问P点第一次与 D 点重合前与边相碰几次，P点第一次与 D 点重合时所经过的路径的总长是多少三 2B1A1EP3P2P1PDCBA16 小贝的思考是这样开始的：如图 2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形11ABCD由轴对称的知识，

10、发现232P PP E，11PAPE请你参考小贝的思路解决下列问题：请你参考小贝的思路解决下列问题： （1）P点第一次与 D 点重合前与边相碰_次；P点从A点出发到第一次与 D 点 重合时所经过路径的总长是_cm； （2）进一步探究：改变矩形ABCD中ADAB、的长，且满足ADAB动点P从A点 出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形 ABCD相邻的两边上若P点第一次与B点重合前与边相碰 7 次，则:AB AD的值为 _试画示意图说明。15、 （2012 年江西南昌十五校联考） (1)观察发现如题 27(a)图，若点 A，B 在直线同侧，在直线上找一点 P，使

11、 AP+BP 的值最小 做法如下：作点 B 关于直线的对称点B，连接AB，与直线的交点就是所求的点 P再如题 27(b)图，在等边三角形 ABC 中，AB=2，点 E 是 AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为 题 27(a)图 题 27(b)图 (2)实践运用如题 27(c)图，已知O 的直径 CD 为 4，弧 AD 所对圆心角的度数为 60，点 B 是弧AD 的中点，请你在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP 的

12、值最小，并求 BP+AP 的最小值题 27(c)图 题 27(d)图(3)拓展延伸 如题 27(d)图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P，使APB=APD保留17 作图痕迹，不必写出作法 答案：解：（1）3；2 分（2）如上图 3 分 作点 B 关于 CD 的对称点 E，则点 E 正好在圆周上，连接 AE 交 CD 与一点 P，则 AP+BP 最短。连接 OA、OB、OE， AOD=60，B 是弧 AD 的中点，AOB=DOB=30， B 关于 CD 的对称点 E，DOE=DOB=30，AOE=90，又OA=OE=2，OAE 为等腰直角三角形，AE=2 2.6 分 （3）找 B 关于 AC 对称点 E，连 DE 延长交 AC 于 P 即可，如下图8 分