47开放探究型问题1135.pdf

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1、http:/-1-开放探究型问题 一、填空题 1、（2011 年北京四中模拟 28）两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是 答案：略 二、解答题 1在等边ABC的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为ABC外一点，且60MDN,120BDC,BD=DC.探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN的周长 Q 与等边ABC的周长 L 的关系 图 1 图 2 图 3（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量关系是 ；此时LQ ；（II）如图 2，点 M、N 边 A

2、B、AC 上，且当 DMDN 时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=（用x、L 表示）PT 与 MN 交于点3Q，3Q点的坐标是（a ，3122a ）解：（I）如图 1，BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN 此时 32LQ （II）猜想：结论仍然成立 证明：如图，延长 AC 至 E，使 CE=BM，连接 DE CDBD,且120BDC30DCBDBC 又ABC是等边三角形，http:/-2-90MBDNCD 在MBD与ECD中：DCBDECDMBDCEBM MBDECD

3、(SAS)DM=DE,CDEBDM 60MDNBDCEDN 在MDN与EDN中：DNDNEDNMDNDEDM MDNEDN(SAS)MN=NE=NC+BM AMN的周长 Q=AM+AN+MN =AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC =2AB 而等边ABC的周长 L=3AB 3232ABABLQ.（III）如图 3，当 M、N 分别在 AB、CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=2x+L32 （用x、L 表示）组 三、解答题 1（2011 天一实验学校 二模）已知：如图，直线l：13yxb，经过点 M(0,41)，一组抛物线的顶点112233(1)(2)(3

4、)()nnByByByB ny，（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1,0）,A2（x2,0）,A3（x3,0）,An+1（xn+1,0）（n为正整数），设101xdd（）（1）求b的值；（2）求经过点112ABA、的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”http:/-3-y O M x n l 1 2 3 1B 2B 3B nB 1A2A3A4AnA1nA 探究：当01dd（）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值

5、答案：M(0,)41在直线 y=31x+b 上，b=41 由得 y=31x+41,B1(1,y1)在直线 l 上，当 x=1 时，y1=311+41=127 B1(1,127)又A1(d,0)A2(2-d,0)设 y=a(x-d)(x-2+d),把 B1(1,127)代入得：a=-2)1(127d 过A1、B1、A2三点的抛物线解析式为 y=-2)1(127d(x-d)(x-2+d)(或写出顶点式为 y=-2)1(127d(x-1)2+127)存在美丽抛物线。由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必定是以抛物线为顶点为直角顶点的等腰直角三角形，此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，又0d

6、1,等腰直角三角形斜边的长小于 2，等腰直角三角形斜边上的高必小于 1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1。当 x=1 时，y1=311+41=1271;当 x=2 时，y2=312+41=12111 美丽抛物线的顶点只有 B1B2.http:/-4-第 2 题 若 B1为顶点，由 B1(1,127)，则 d=1-127=125 若 B2为顶点，由 B2(2,1211)，则 d=1-1)12112(=1211 综上所述，d 的值为125或1211时，存在美丽抛物线。（2011 年杭州市西湖区模拟）（本题 12 分）矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为(6,0)A、(0,

7、3)C，直线34yx与BC边相交于点D.(1)若抛物线2(0)yaxbx a经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；(2)若以点A为圆心的A与直线OD相切，试求A的半径；(3)设(1)中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，在对称轴上是否存在点Q，以Q、O、M为顶点的三角形与OCD相似，若存在,试求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，试说明理由.答案：（1）解 xyy433 得 D 点的坐标为 D（4，3）抛物线bxaxy2经过 D（4，3）、A（6，0），可得xxy49832 （2）CD=4，OC=3，OD=53432.sinCDO=53，过 A 作 AHOD 于 H，则 AH=OAsinDOA=

8、653=518=3.6，当直线 OD 与A 相切时，r=3.6.8 分（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点 Q1，则点 Q1符合条件.CBOA，Q1OM=ODC，RtQ1OM RtCDO.对称轴x=32ab，Q1点的坐标为 Q1（3，0）.http:/-5-又过 O 作 OD 的垂线交抛物线的对称轴于点 Q2，则点 Q2也符合条件.对称轴平行于y轴，Q2MO=DOC，RtQ2MORtDOC.在 RtQ2Q1O 和 RtDCO 中，Q1O=CO=3，Q2=ODC，RtQ2Q1ORtDCO，CD=Q1Q2=4，Q2位于第四象限，Q2（3，-4）.因此，符合条件的点有两个，分别是 Q1（3，0），Q2

9、（3，-4）.（2011 灌南县新集中学一模）如图，已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90，ADAB3，BC4，动点 P 从 B 点出发，沿线段 BC 向点 C 作匀速运动；动点 Q 从点D 出发，沿线段 DA 向点 A 作匀速运动过 Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M，交 BC于点 NP、Q 两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当 Q 点运动到 A 点，P、Q两点同时停止运动设点 Q 运动的时间为 t 秒（1）求 NC、MC 的长（用含 t 的代数式表示）；（2）当 t 为何值时，四边形 PCDQ 构成平行四边形？（3）是否存在某一时刻 t，使射线 QN 恰好将A

10、BC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t 为何值时，PMC 为等腰三角形？答案：解：（1）由题意知，四边形 ABNQ 为矩形，BNAQ3t NCBCBN4(3t)1t 在 RtABC 中，AC 2AB 2BC 23 24 225，AC5 在 RtMNC 中，cosMCNMCNCACBC54 MC45(1t)（2）QDPC，当 QDPC 时，四边形 PCDQ 构成平行四边形 t4t，t2 当 t2 时，四边形 PCDQ 构成平行四边形（3）若射线 QN 将ABC 的周长平分，则有 MCNCAMBNAB 即45(1t)1t21(345)解得 t3

11、5而 MN43NC43(1t)A B C D Q M N P http:/-6-SMNC 21NCMN21(1t)43(1t)83(1t)2 当 t35时，SMNC 83(135)238 而21SABC 2121433，SMNC 21SABC 不存在某一时刻 t，使射线 QN 恰好将ABC 的面积和周长同时平分（4）若PMC 为等腰三角形，则：当 MPMC 时（如图 1），则有：NPNC 即 PC2NC，4t2(1t)解得 t32 当 CMCP 时（如图 2），则有：45(1t)4t 解得 t911 当 PMPC 时（如图 3），则有：在 RtMNP 中，PM 2MN 2PN 2 又 MN43

12、NC43(1t)PNNCPC(1t)(4t)2t3 43(1t)2(2t3)2(4t)2解得 t157103，t21（不合题意，舍去）综上所述，当 t32或 t911或 t57103时，PMC 为等腰三角形 A B C D Q M N P 图 1 A B C D Q M N P 图 2 A B C D Q M N P 图 3 http:/-7-.（2011 浙江杭州育才初中模拟）天天伴我学数学一道作业题。如图 1：请你想办法求出五角星中ABCDE 的值。由于刚涉及到几何证明，很多学生不知道如何求出其结果。下面是习题讲解时，老师和学生对话的情景：老师向学生抛出问题：观察图像，各个角的度数能分别求

13、出他们的度数吗，能的话怎么求，不能的话怎么办？学生通过观察回答：很明显每个角都不规则，求不出各个角的度数。有个学生小声的说了句：要是能把这五个角放到一块就好了？老师回答：有想法，就去试试看。很快就有学生发现利用三角形外角性质将C 和E；B 和D 分别用外角1 和2 表示。于是得到ABCDE=12A 180。根据以上信息，亲爱的同学们，你能求出图 2 中ABCDEFG 的值吗？请给予证明。(原创)、（北京四中 2011 中考模拟 13）已知：如图，O1和O2相交于 A、B 两点，动点 P在O2上，且在1 外，直线 PA、PB 分别交O1于 C、D.问：O1的弦 CD 的长是否随点 P 的运动而发

14、生变化？如果发生变化，请你确定 CD 最长和最短时 P 的位置，如果不发生变化，请你给出证明；答案：解：当点 P 运动时，CD 的长保持不变，A、B 是O1与O2的交点，弦 AB 与点 P 的位置关系无关，连结 AD，ADP 在O1中所对的弦为 AB，所以ADP 为定值，P在O2中所对的弦为 AB，所以P 为定值.CAD=ADP+P，CAD 为定值，在O1中CAD 对弦 CD，CD 的长与点 P 的位置无关.ACEBD图1GF21DQBCEA图 2GFO2ABO1PDChttp:/-8-、（北京四中 2011 中考模拟 14）探究题:将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的

15、直角顶点 P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q。设 A、P 两点间的距离为 X，探究：（1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你得到的结论。（2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出函数自变量的取值范围；（3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出响应的 X 的值；如果不可能，请说明理由。答案：(1):过点 P 作 MNBC,分别交 AB

16、与点 M,交 CD 于 N,则有AMP 和CNP 都是等腰三角形,可证QNPPMB,得 PQ=PB.(2)图(2)由 AP=x 得 AM=PM=NQ=22x,CQ=CN-NQ=BM-AM=1-2x,y=21(BC+CQ)=21x2-2x+1(0 x22)（3）三角形 PCQ 为等腰三角形.点 P 与点 A 重合时，点 Q 与点 D 重合,这时 PQ=QC,三角形 PCQ 为等腰三角形.点 Q 在 DC 的延长线上时且 CP=CQ 时，三角形 PCQ 为等腰三角形。求得 x=1.7、（2011 年黄冈浠水模拟 1）如图 1，已知抛物线的顶点为(21)A，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B（1）

17、求抛物线的解析式；（2）若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以OCDB，四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；（3）连接OAAB，如图 2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得OBP与OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由 http:/-9-答案：（1）由题意可设抛物线的解析式为2(2)1ya x抛物线过原点，20(02)1a 14a 抛物线的解析式为21(2)14yx，即214yxx （2）如图 1，当四边形OCDB是平行四边形时，CDOB 由21(2)104x，得10 x，24x，(4 0)B，4OB D点的横坐标为6将6x 代入21(2)14yx，得21

18、(62)134y ，(63)D，；根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点D，使得四边形ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为(23)，当四边形OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为(21)，（8 分）（3）如图 2，由抛物线的对称性可知：AOAB，AOBABO 若BOP与AOB相似，必须有POBBOABPO 设OP交抛物线的对称轴于A点，显然(21)A，直线OP的解析式为12yx 由21124xxx，得10 x，26x(63)P，过P作PEx轴，在RtBEP中，2BE，3PE，2223134PB PBOBBOPBPO PBO与BAO不相似，同理可说明在对称轴左边的

19、抛物线上也不存在符合条件的P点 所以在该抛物线上不存在点P，使得OBP与OAB相似 y x A B O y x A B O 图 1 图 2 y x A B O 图 1 C D y x A B O 图 2 E P A http:/-10-8、（2011 年黄冈浠水模拟 2）如图二次函数的图象经过点 D(0，397)，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴上截得线段 AB 长为 6.(1)利用二次函数的对称性直接写出点 A、B 的坐标为：A(,)、B(,)；(2)求二次函数的解析式；(3)该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；(4)在抛物线上是否存在点 Q，

20、使QAB 与ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 答案：(1)对称轴为直线 x=4，图象在 x 轴上截得的线段长为 6，A(1,0)、B(7,0 );(2)设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k，顶点 C 的横坐标为 4，且过点(0，397)y=a(x-4)2+k ka16397 又对称轴为直线 x=4，图象在 x 轴上截得的线段长为 6，A(1，0)，B(7，0)0=9a+k ，由解得 a=93，k=3，二次函数的解析式为：y=93(x-4)23或y=93x29316x+9375 分(3)解法一：点 A、B 关于直线 x=4 对称，PA=PB，PA+PD=

21、PB+PDDB，当点 P 在线段 DB 上时 PA+PD 取得最小值，DB 与对称轴的交点即为所求点 P，设直线 x=4 与 x 轴交于点 M，PMOD，BPM=BDO，又PBM=DBO，BPMBDO，BOBMDOPM，3373397PM，C D O B A y x http:/-11-点 P 的坐标为(4，33)8 分 解法二：利用待定系数法求一次函数解析式，即直线 DB 为 y=x93+937(4)由知点 C(4，3)，又AM=3，在 RtAMC 中，cotACM=33，ACM=60o，AC=BC，ACB=120o 当点 Q 在 x 轴上方时，过 Q 作 QNx 轴于 N，如果 AB=BQ

22、，由ABCABQ 有BQ=6，ABQ=120o，则QBN=60o，QN=33，BN=3，ON=10，此时点 Q(10，33)，如果 AB=AQ，由对称性知 Q(-2，33)当点 Q 在 x 轴下方时，QAB 就是ACB，此时点 Q 的坐标是(4，3)，经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点 Q，使QABABC，点 Q 的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3)14 分 9、（2011 年杭州模拟 17）在平面直角坐标系中，抛物线经过 O（0，0）、A（4，0）、B（3，2 33）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以 OA 的中点 M 为圆心，O

23、M 长为半径作M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点 P，过点 P 作M 的切线 l，且 l 与 x 轴的夹角为 30，若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）（2010昆明中考第 25 题）2 答案：（1）设抛物线的解析式为：http:/-12-2(0)yaxbxc a 由题意得：016402 3933 cabcabc 解得：2 38 3,099abc 抛物线的解析式为：22 38 399yxx （2）存在 （2）抛物线22 38 399yxx的顶点坐标是8 3(2,)9，作抛物线和M（如图），设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与M相

24、切于点C 连接MC，过C作CD x 轴于D MC=OM=2,CBM=30,CMBC BCM=90，BMC=60，BM=2CM=4,B(-2,0)在RtCDM中，DCM=CDM-CMD=30 DM=1,CD=22CMDM=3 C(1,3)设切线 l 的解析式为:(0)ykxb k=+，点B、C在 l 上，可得：l http:/-13-320kbkb 解得：323,33kb 切线BC的解析式为：32 333yx 点P为抛物线与切线的交点 由22 38 39932 333yxxyx 解得：111232xy 2268 33xy 点P的坐标为：113(,)22P，28 3(6,)3P 4分 抛物线22

25、38 399yxx的对称轴是直线2x 此抛物线、M都与直线2x成轴对称图形 于是作切线 l 关于直线2x的对称直线 l(如图)得到B、C关于直线2x的对称点B1、C1 l满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线2x的对称点：393(,)22P，48 3(2,)3P 即为所求的点.4分（本题其它解法参照此标准给分）10.（2011 湖北省崇阳县城关中学模拟）如图，在第一象限内作射线 OC，与 x 轴的夹角为30o，在射线 OC 上取一点 A，过点 A 作 AHx 轴于点 H在抛物线 y=x2（x0）上取点 P，在 y 轴上取点 Q，使得以 P，O，Q 为顶点的三角形与AOH 全等，则符合条

26、件的点 A 的坐标是 .答案：(33，31)(332，32)(3，3)(23，2)http:/-14-11.（2011 年广东省澄海实验学校模拟）把两个全等的直角三角板 ABC 和 EFG 叠放在一起，且使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合，其中B=F=30，斜边 AB 和 EF 的长均为 4。（1）当 EGAC 于点 K，GFBC 于点 H 时，如图 23-1，求 GH:GK 的值.(2)现将三角板 EFG 由图 1 所示的位置绕 O 点沿逆时针方向旋转,旋转角满足条件:030,如图 2,EG 交 AC 于点 K,GF 交 BC 于点 H,GH:GK 的值

27、是否改变?证明你的结论.（1）解：GEAC 于 K，GFBC 于 H,AKG=GHB=90 ACB=90 GKBC(1 分)AGK=B=30(2 分)G 与 AB 的中点 O 重合 AG=GB AKGGHB(3 分)KG=HB(4 分)在 RtGHB 中，tanB=33HBGH(5 分)G（O）K H F E C B A G（O）E F H K C B A 第 2 题图 1 G（O）K H F E C B A 第 2 题图 1 第 2 题图 2 http:/-15-33GKGH(6 分)(2)GH：GK 的值不改变。(7 分)证明：过点 G 作 GPAC 于点 P，GQBC 于点 Q，C=90

28、 四边形 PCQG 是矩形(8 分)PGK+KGO=90 EGF=90 HGQ+KGQ=90 PGK=HGQ(9 分)GPK=GQH=90 PGKQGH(10 分)GPGQGKGH 由(1)可得：33GKGH(11 分)33GKGH(12 分)12（2011 年深圳二模）在ABC 中，ACBC，ACB90，D、E 是直线 AB 上两点 DCE45（）当 CEAB 时，点 D 与点 A 重合，显然 DE2AD2BE2（不必证明）（）如图，当点 D 不与点 A 重合时，求证：DE2AD2BE2（）当点 D 在 BA 的延长线上时，（）中的结论是否成立？画出图形，说明理由 解：（）证明：过点 A 作

29、 AF AB，使 AFAB，连接 DF ABC 是等腰直角三角形 ACAB CABB45，FAC45 CAFCBE3 分 第 2 题图 G（O）E F H K C B A Q P http:/-16-PNMCBAOyxCFCE ACFBCE ACB90，DCE45 ACDBCE45 ACDACF45 即DCF45 DCFDCE 又 CDCD CDFCDE DFDE AD2AF2DF2 AD2BE2DE27 分（）结论仍然成立 如图证法同（）12 分 13、（2011 深圳市模四）（2011 深圳市模四）（9 分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点 A、B 的坐标分别为（6，0

30、），（6，8）。动点 M、N 分别从 O、B 同时出发，以每秒 1 个单位的速度运动。其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动。过点 N 作 NPBC，交 AC 于 P，连结 MP。已知动点运动了 x 秒。（1）P 点的坐标为（，）；（用含 x 的代数式表示）（2）试求 MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值。（3）请你探索：当 x 为何值时，MPA 是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果。解：（）（6x,34x）;(2)设MPA 的面积为 S，在MPA 中，MA=6x，MA 边上的高为34x，其中，0 x6.S=21（6x）34x=32(x2+6x)=32(x3)2+6。S 的最大值为 6,此时 x=3.(3)延长交 x 轴于，则有 若 x.3x=6,x=2;第 3 题答案图 http:/-17-若，则62x，=34x，6x 在t 中，222(6x)2=(62x)2+(34x)2x=43108 若，35x，6x 35x=6x x=49 综上所述，x=2，或 x=43108，或 x=49。