312两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2课时).ppt

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1、3.1.23.1.2两角和与差的两角和与差的 正弦、余弦、正切公式正弦、余弦、正切公式新课导入新课导入想一想：想一想：cos15?30sin45sin30cos45cos42621222322那那 呢？呢？cos75cos15cos(4530 )cos75 cos(3045 )?cos cos sin sin cos ( ）=cos cos sin sin sin()?sin()?cos()? 复习复习分析：注意到分析：注意到 ，结合两角差的余，结合两角差的余弦公式及诱导公式，弦公式及诱导公式，将上式中以将上式中以代代 得得 （）cos()cos() coscos()sinsin()cosco

2、ssinsin上述公式就是上述公式就是两角和的余弦公式两角和的余弦公式，记作，记作 。()c cos cossin sincos()cos()?思考：由思考：由 如何如何求求: 1、cos(+ +) = coscos sinsincos2 cos2sin2sincos2cossincoscossinsin二、公式的推导二、公式的推导sin()?用代-用代sin)sin()sincos()cossin() (sin)sincoscossin(sincoscossinsinsin()?两角和与差的正弦公式两角和与差的正弦公式简记：简记：()S简记：简记：()S 两角和的正切公式：sinsincos

3、cos+cos+cossinsincoscoscoscos-sin-sinsinsinsin(sin(+) )cos(cos(+) )coscos0当时，coscos分子分母同时除以tantan+tan+tantan(tan(+)=)=1-tan1-tantantantan()() 记：+ +T T上式中以上式中以代代 得得 tantan+tan+tantan(tan(+)=)=1-tan1-tantantantantan()tan()1tantan() tantan-tan-tan= =1+tan1+tantantantantan-tan-tantan(tan(-)=)=1+tan1+tan

4、tantan() 记- -T Tt ta an n t ta an nt ta an n( ( ) )= =1 1 t ta an n+ + +- -t ta an nt ta an nt ta an nt ta an n( ( ) )= =1 1t ta an n- - -+ + t ta an n注意： 1必须在定义域范围内使用上述公式。 2注意公式的结构，尤其是符号。即：tan，tan，tan()只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。如:已知tan =2,求 不能用 tan()2()T 两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式.1不查表求sin105、sin1

5、5、tan15例：sinsinsincos45cos60 sin4532122222624（1）105（6045）=60解：解：62sin4（2）15解：解： tan15= tan(4530)= 3133126 3323633313ooooooootan45 -tan30tan45 -tan301+tan45 tan301+tan45 tan303sin,sin(),54cos(),tan42()4a 已知是第四象限的角，例求：的值。,3解：由sin=-是第四象限的角，得522354cos1 sin1 (),5 sin3tancos4 所 以)sincoscossin444于 是 有sin(2

6、4237 2();252510 )coscossinsin444cos(24237 2();252510 tantantan14tan()41tan1tantan4314731()4cos 4cossin 4;(2)cos 20 cos70sin 20 sin 70 ;1tan15(3).tan153。利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1)sin7例 ：227221-c o s 4c o ss i n 41s i n (4)s i n 3 0;2。解：（1 ) 由公式得： s i n 7 227 227 22(2 ) co s 2 0 co s 7 0sin 2 0 sin 7 0co s

7、(2 07 0 )co s 9 00。1ta n 1 5ta n 4 5ta n 1 5(3 )ta n 1 5ta n 4 5ta n 1 5ta n ( 4 51 5 )ta n 6 03。1 -1 -练习课本练习课本P131 2、3、4、51、化简：、化简：(1)tan(1)tan(+)(1-tan)(1-tantantan) )tan(tan(-)+tan)+tan(2)(2)1-tan(1-tan(-)tan)tan2、求值：、求值：ooooooootan71 -tan26tan71 -tan26(1)(1)1+tan71 tan261+tan71 tan26o oo o1-3tan

8、751-3tan75(2)(2)3 +tan753 +tan75答案答案: (1)tan(1)tan+tan+tan(2)tan(2)tan答案答案: (1) 1(2) -1补 充 练 习求下列各式的值： (1)75tan175tan1(2) tan17 +tan28 +tan17 tan28 解：解：1 原式= 3120tan)7545tan(75tan45tan175tan45tan2 28tan17tan128tan17tan)2817tan(tan17+tan28=tan(17+28)(1tan17 tan28)=1 tan17tan28原式=1 tan17tan28+ tan17ta

9、n28=1 例3、ABC中， 求证 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.证明：,tantan1tantanBABA tanA+tanB=tanA、tanB、tanC都有意义，ABC中没有直角， tan(A+B)=tan(180C)tanAtanBtan(180C)= tanC+tanAtanBtanC，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.tan(A+B)tanAtanBtan(A+B)tanAtanB1.例例3 3 求证：求证： . .si n(2)si n2cos()si nsi nabbabaa+-+= 求下列各式的值：求下列各式的值：（1 1）co

10、s75cos75； （2 )sin202 )sin20cos50cos50-sin70-sin70cos40cos40；（3 3） ； （4 4）tan17tan17tan28tan28+tan17+tan17tan28tan281ta n 1 51ta n 1 5+-oo课堂练习与提升课堂练习与提升13cossin,22xx已知函数f(x)=（1）求f(x)的最小正周期及最大值；（2）求f(x)的单调递增区间。解：（1）、由已知(2)( )cos,2,342,2;3334,233xf xzkkkkkxkkk 、令z=,由的单调递增区间为2 由2x+解得2因此，f(x)的单调递增区间为2.co

11、ssinsin33xxf(x)=coscos(),3x( )2 ;f xT则的最小正周期为最大值为1.引例引例31sincos22(1)把把下列各式化为一个角的三角函数形式下列各式化为一个角的三角函数形式sincos(2)sincosxbx(3)asincosxbxa化化 为一个角的三角函数形式为一个角的三角函数形式sincosxbxa222222sincosbabxxababa令令2222cossinabbaba22sincoscos sinxabx22sinabx22cosabx xcosbxsina)xsin(ba 22.sinbab,cosbaa 2222其其中中:统一函数名化简化简

12、131cossin2223sincos32 sincos42cos6xxxxxxxxsin6x2sin6x2sin4x2 2cos3x构造角构造角练习练习把把下列各式化为一个角的三角函数形式下列各式化为一个角的三角函数形式sincos(1) 231sincos22(2)sincos44xx26(3)44练习课本练习课本P132 6、7sin)sin(cos)cos()2();60cos()60cos() 1 (:化简(1)cos(2)cos111sin,cos(),(0,),7142cos 已知且求的值:()分析1cos2.)tan(,)tan(,)tan(的的值值求求、已已知知练练44145

13、42 练习练习50,cos()cos()2121.2xyxx5、已知，求函数的值域cos()cos()12212cos()sin()12122sincos()cossin()4124122 sin()4122 sin()6yxxxxxxxx解：x1 ,216sin32,662, 0 xxx2,226sin2xy 练习练习10.小结小结( C( - ) )( C( + ) )cos( - )= cos cos +sin sin cos( + )= cos cos -sin sin ( S( + ) )( S( - ) )sin( + )= sin cos +cos sin sin( - )= s

14、in cos -cos sin tantantan()1 tantantantan1tantan)tan( T( + ) )( T( - ) )两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式sinsincoscos)cos(sin)sincoscossin(sin)sincoscossin( )cos(sinsincoscost ta an n t ta an nt ta an n( ( ) )= =1 1t ta an n- - -+ +t ta an nt ta an n t ta an nt ta an n( () )= =1 1 t ta an n+ + +- -t

15、ta an n同名积，符号反。同名积，符号反。异名积，符号同。异名积，符号同。+余弦：余弦： 同名积同名积 符号反符号反 正切：正切： 符号上同符号上同 下不同下不同正弦：正弦： 异名积异名积 符号同符号同五五. .小结小结tantan+tan+tantan(tan(+)=)=1-tan1-tantantantantan-tan-tantan(tan(-)=)=1+tan1+tantantan变形：变形：tantan+tan+tan= tan(= tan(+)(1-tan)(1-tantantan) )tantan-tan-tan= tan(= tan(-)(1+tan)(1+tantantan) )tantantantan(1tan(1tantantan)=)=tan()tan()sin)sincoscossin(sin)sincoscossin(作业：作业：课本课本P137 510P146 1、2、4、 7