2022版高考数学一轮复习核心素养测评四十五空间图形的基本关系与公理理北师大版.doc

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1、核心素养测评四十五 空间图形的根本关系与公理(25分钟50分)一、选择题(每题5分,共30分)1.在以下命题中,不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线【解析】选A.选项A是面面平行的性质定理,是由公理推证出来的,而公理是不需要证明的.2.直线a,b分别在两个不同的平面,内,那么“直线a和直线b相交是“平面和平面相交的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

2、件【解析】选A.假设直线a和直线b相交,设交点为P,因为a ,所以P,因为b,所以P,所以P是平面,的公共点,所以平面,相交.假设平面,相交,而直线a和直线b可能相交,可能异面,如图.所以“直线a和直线b相交是“平面和平面相交的充分不必要条件.3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点,假设CD=2AB,EFAB,那么EF与CD所成的角为()A.30B.45C.60D.90【解析】选A.取AD的中点H,连接FH,EH,在EFH中,EFH=90,HE=2HF,从而FEH=30,即EF与CD所成角为30.4.空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三

3、点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线【解析】选B.如图所示,A,C,D均不正确,只有B正确.5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,那么以下判断错误的选项是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行【解析】选D.连接B1C,B1D1,那么点M是B1C的中点,MN是B1CD1的中位线,所以MNB1D1,因为CC1B1D1,ACB1D1,BDB1D1,所以MNCC1,MNAC,MNBD.又因为A1B1与B1D1相交,所以MN与A1B1不平行.6.如下图为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有以下四个说法:

4、AFGC;BD与GC成异面直线且夹角为60;BDMN;BG与平面ABCD所成的角为45.其中正确的个数是 ()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.将平面展开图复原成正方体(如下图).对于,由图形知AF与GC异面垂直,故正确;对于,BD与GC显然成异面直线.连接EB,ED,那么BMGC,所以MBD即为异面直线BD与GC所成的角(或其补角).在等边BDM中,MBD=60,所以异面直线BD与GC所成的角为60,故正确;对于,BD与MN为异面垂直,故错误;对于,由题意得GD平面ABCD,所以GBD是BG与平面ABCD所成的角.但在RtBDG中,GBD不等于45,故错误.二、填空题(每题5分,共20分

5、)7.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,AOC=120,A1O1B1=60,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.那么异面直线B1C与AA1所成的角的大小是_.【解析】设点B1在下底面圆周的射影为B,连接BB1,那么BB1AA1,所以BB1C为直线B1C与AA1所成角(或补角),|BB1|=|AA1|=1,连接BC,BO,AOB=A1O1B1=,AOC=,所以BOC=,所以BOC为正三角形,所以|BC|=|BO|=1,tanBB1C=1,所以直线B1C与AA1所成角的大小为45.答案:458.假设三个平面两两相交,且三条交线互相平行,那么这三个平面把空间

6、分成_局部.【解析】沿三条交线为投射线,把三个平面分成的空间投射到一个平面内,如图,所以这三个平面把空间分成7局部.答案:79.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,那么异面直线A1M与DN所成的角的大小是_.【解析】如图,取CN的中点K,连接MK,那么MK为CDN的中位线,所以MKDN.所以A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.连接A1C1,AM.设正方体的棱长为4,那么A1K=,MK=DN=,A1M=6,所以A1M2+MK2=A1K2,所以A1MK=90.答案:9010.设a,b,c是空间中的三条直线,下面给出五个命题:假设ab,bc,那么ac;假

7、设ab,bc,那么ac;假设a与b相交,b与c相交,那么a与c相交;假设a平面,b平面,那么a,b一定是异面直线;假设a,b与c成等角,那么ab.上述命题中正确的命题是_(只填序号).【解析】由公理4知正确;当ab,bc时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故不正确;当a与b相交,b与c相交时,a与c可以相交、平行,也可以异面,故不正确;a,b,并不能说明a与b“不同在任何一个平面内,故不正确;当a,b与c成等角时,a与b可以相交、平行,也可以异面,故不正确.答案:(15分钟35分)1.(5分)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和a,且长为a的棱与长为的棱异面,那么a的取值范围是()A

8、.(0,)B.(0,)C.(1,)D.(1,)【解析】选A.如下图的四面体ABCD中,设AB=a,那么由题意可得CD=,其他棱的长都为1,故三角形ACD及三角形BCD都是以CD为斜边的等腰直角三角形,显然a0.取CD中点E,连接AE,BE,那么AECD,BECD且AE=BE=,显然A,B,E三点能构成三角形,应满足任意两边之和大于第三边,可得2a,解得0a.2.(5分)如图,在四面体ABCD中,截面PQMN是正方形,那么在以下命题中,错误的为()A.ACBDB.AC截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45【解析】选C.截面PQMN是正方形,可得QMPQ且PQMN,所以PQ

9、平面DAC,又PQ平面BAC且平面DAC与平面BAC的交线为AC,所以PQAC,同理QMBD,可得ACBD,故A正确;由PQAC,可得AC截面PQMN,故B正确;异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角为45,故D正确,C是错误的.【变式备选】如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,GH与EF平行;BD与MN为异面直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直.以上四个结论中,正确结论的序号是_.【解析】复原成正四面体A-DEF,其中H与N重合,A,B,C三点重合.易知GH与EF异面,BD与MN异面.连接GM,因为GMH为等边三角形,所

10、以GH与MN成60角,易证DEAF,又MNAF,所以MNDE.因此正确结论的序号是.答案:3.(5分)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,那么m,n所成角的正弦值为()A.B.C.D.【解析】选A.方法一:因为平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,所以mB1D1.因为平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,所以nCD1.所以B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等

11、于m,n所成的角.因为B1D1C为正三角形,所以B1D1C=60,所以m,n所成的角的正弦值为.方法二:由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即为平面,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为AEF是正三角形,所以EAF=60,故m,n所成角的正弦值为.4.(10分):空间四边形ABCD(如下图),E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且CG=BC,CH=DC.求证:(1)E,F,G,H四点共面.(2)三直线FH,EG,AC共点.【证明】(1)连接E

12、F,GH,因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EFBD.又因为CG=BC,CH=DC,所以GHBD,所以EFGH,所以E,F,G,H四点共面.(2)易知FH与直线AC不平行,但共面,所以设FHAC=M,所以M平面EFHG,M平面ABC.又因为平面EFHG平面ABC=EG,所以MEG,所以三直线FH,EG,AC共点.5.(10分)如下图,等腰直角三角形ABC中,A=90,BC=,DAAC,DAAB,假设DA=1,且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余弦值.【解析】如下图,取AC的中点F,连接EF,BF,在ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,所以EFCD,所以BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角.在RtEAB中,AB=AC=1,AE=AD=,所以BE=.在RtEAF中,AF=AC=,AE=,所以EF=.在RtBAF中,AB=1,AF=,所以BF=.在等腰三角形EBF中,cosFEB=.所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.