1高斯函数.doc

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1、 第一讲:高斯函数 1 第一讲:高斯函数 高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容. 定义:x表示不超过实数x的最大整数.则y=x称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=x+(01),这里,x称为x的整数部分,而,即x-x称为x的小数部分,记x=x-x. 函数性质:高斯函数y=x的定义域是R,值域是Z;函数y=x的定义域是R,值域是0,1);函数y=x与y=x-x,即y=x的图像分别为:函数y=x是一个分段表达的不减的无界函数,即当x1x2时,有x1x2;y=x是一有界、周期为1的非单调函

2、数; 等式性质:n+x=n+x,x+n=x,其中xR,nZ;-x=;若nN+,xR,则=x,特别地,=,=(证明:由x-1xxxnxnxx+1=x) 不等性质:若xR,则x-1xxx+1;若x,yR,则x+yx+y,且x+yx+y,一般地,若xiR,则,特别地,nxnx,n;若x,yR+,则xyxy,特别地,一般地,若xiR+,则,特别地,xnxn,xn; 厄米特恒等式:若xR,nN6,则x+x+x+x+=nx; 证明:引入辅助函数f(x)=nx-(x+x+x+x+)f(x+)=nx+1-(x+x+x+x+)=nx+1-(x+x+x+x+1)=f(x)f(x)是一个以为周期的周期函数,而当x0

3、,时,直接计算知f(x)=0.故对任意xR,厄米特等式成立. 1.函数性质:例1:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x的函数f(x)=|x-x+a|存在最大值M(a),则正实数a的取值范是 (其中x表示不超过x的最大整数).解析:设x+a=n+,其中,nZ,01,则f(x)=|x-x+a|=|n+-a-n|=|-a|;当0a时,由-a-a|-a|f(x)无最大值;当a时,由-a-a0)有三个不同的实数根,则实数k的取值范围是 .3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处,其中x1=1

4、,y1=1,当k2时,xk=xk-1+1-5+5,yk=yk-1+-.其中,a表示实数a的整数部分,例如206=2,0.6=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 . 2.求值问题:例2:(1993年全国高中数学联赛试题)整数的末两位数是_.解析:由=(1031)2-10313+32-=(1031)2-10313+32-1=1031(1031-3)+8末两位数是08.练习2:1.(2006年上海市TI杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+2.6m-0.2+y+月份123456789101112对应的m值111212345678910-2c除以7的余数,

5、其中,c表示年的前两位数字(即世纪),y表示年的后两位数字,d表示日,m表示月对应的数字(见表).x表示不于x的最大整数.则2008年6月18日是星期 .2.(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以x表示不超过x的最大整数,试确定sin1+sin2+sin3+sin4+sin5的值. (2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则sin1+cos2+tan3+sin4+cos5+tan6= .3.(2005年上海市高中数学竞赛试题)设x表示不超过实数x的最大整数,求集合n|n=,1k2004,kN的元素个数. (2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a

6、n=+,则= . (2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设xn是关于x的方程nx3+2x-n=0的实数根,记an=(n+1)xn(n=2,3,)(x表示不超过x的最大整数).则(a2+a3+a2011)= . (2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)x表示不超过实数x的最大整数,比如3.14=3,0=0,-3.14=-4.数列满足an:an=3n-2,若bn=,则b1+b2+b2007= . 3.求和问题:例3:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则log21+log22+log23+ 第一讲:高斯函数 3 log22012= .解析:我们来

7、解决一般性问题:设aN+,且a2,求和loga1+loga2+loga3+logan.当atkat+1时,logak=t,t=0,1,2,且在区间at,at+1)中的正整数有(a-1)at个.并设amnam+1,n=am+b(bN+),则loga1+loga2+loga3+logan=(a-1)0a0+1a+2a2+(m-1)am-1+mb=(a-1)(m-1)-am-1+mb=a(m-1)-am-1+m(b+1) 回到本题:a=2,由2102012211m=10,由2012-210=2012-1024=988b=988和为(29-2)29+2+10989=18084.练习3:1.(2008年

8、全国高中数学联赛湖北预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则log21+log22+log23+log2500= . (2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则lg1+lg2+lg3+lg2010= . (2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)x表示不超过x的最大整数,若log36+log37+log38+log3(n-1)+log3n=2009,试确定正整数n的值. (1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题)x表示不小于实数x的最小整数,则log21+log22+log21991= .2.(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设x表示不

9、超过x的最大整数,则+-+-+-+-的值是 . (2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若x表示不超过x的最大整数,求满足方程nlg2+nlg5=2012的自然数n的值.3.(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则= . (2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=+,其中k为满足2kx的最小整数,符号x表示不超过x的最大整数.x与m的差,即x-m称为正整数x的“亏损数”.(如x=100时,m=+=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x为_. 4.方程问题:例4:(1995年全国高中数学联赛

10、试题)用x表示不大于实数x的最大整数,方程lg2x-lgx-2=0的实根个数是_.解析:由xx,lg2x-lgx-2=0lg2x-2=lgxlgx-1lgx2lgx=-1,0,1,2;当lgx=-1时,lg2x=1lgx=-1;当lgx=0时,lg2x=2lgx=,无解;当lgx=1时,lg2x=3lgx=;当lgx=2时,lg2x=4lgx=2实根个数是3.练习4:1.(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设x表示不大于x的最大整数,集合A=x|x2-2x=3,B=x|2x8,则AB= . (2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A=x|x2-x=2和B=x|x|2,其中符号x表

11、示不大于x的最大整数,则AB= . (1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)tanx表示不超过tan的最大整数,则方程tanx=2cos2x的解为 . (2009年上海市高中数学竞赛试题)若a表示不超过实数a的最大整数,则方程tanx=2sin2x的解是 .2.(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当nxn+1(nN+)时,规定x=n.则不等式4x2-36x+451,设x=1+,y=lg2+lg3+lgn.则满足x=y的所有整数n构成的集合为 (a表示不超过实数a的最大整数). 6.方程应用:例6:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自

12、身成等比数列,则该数为_.解析:设该数为x,则(x-x)x=x2x=x(x0);由0x-x10x10x2x=1 第一讲:高斯函数 5 x=.练习6:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a是整数,0b4n+1;若m为偶数,则m2=4k4n+1knkn+1m24n+44n+3;若m为奇数,则m2=4k+14n+1knkn+1m24n+54n+3;综上m24n+3,即m;特别地,取m=+1,满足:m24n+1,则m+1=; 因(+)2=2n+1+22n+1+2n=4n+1+;且(+)2=2n+1+22n+1+2(n+1)=4n+3+1,下面的等式=一定能成立吗？ (1948年第8届普特南

13、数学奥林匹克试题)如果n为一正整数,试证:+=.2.(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r是实数,且满足条件r+r+r+=546.求100r. (1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程x+2x+4x+8x+16x+32x=12354没有实数解.3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为an=b+d的数列an:1,3,3,3,5,5,5,5,5,其中每一个正奇数m恰好连续出现m次.上述b、c、d是侍定的整数,求b+c+d的值. 8.不等问题:例8:(1981年美国数学奥林匹克试题)对正整数n和一切实数x.求证:nx+.解析:为方便,记an=+.用数学归纳法证明:当n=1时

14、,a1=x,nx=x原不等式成立;假设当k.2.(2005年国家集训队训试试题)求所有正整数m、n,使得不等式(m+n)+(m+n)m+m+n(+)对任意实数、都成立.3.(2005年国家集训队选拔考试试题)设n是任意给定的正整数,x是正实数.证明:n. 第一讲:高斯函数 1 第一讲:高斯函数 高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容. 定义:x表示不超过实数x的最大整数.则y=x称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=x+(01),这里,x称为x的整数部分,而,即x-x称为x的小数部分,

15、记x=x-x. 函数性质:高斯函数y=x的定义域是R,值域是Z;函数y=x的定义域是R,值域是0,1);函数y=x与y=x-x与y=x的图像分别为:函数y=x是一个分段表达的不减的无界函数,即当x1x2时,有x1x2;y=x是一有界、周期为1的非单调函数; 等式性质:n+x=n+x,x+n=x,其中xR,nZ;-x=;若nN+,xR,则=x,特别地,=,=(证明:由x-1xxxnxnxx+1=x) 不等性质:若xR,则x-1xxx+1;若x,yR,则x+yx+y,且x+yx+y,一般地,若xiR,则,特别地,nxnx,n;若x,yR+,则xyxy,特别地,一般地,若xiR+,则,特别地,xnx

16、n,xn; 厄米特恒等式:若xR,nN6,则x+x+x+x+=nx; 证明:引入辅助函数f(x)=nx-(x+x+x+x+)f(x+)=nx+1-(x+x+x+x+)=nx+1-(x+x+x+x+1)=f(x)f(x)是一个以为周期的周期函数,而当x0,时,直接计算知f(x)=0.故对任意xR,厄米特等式成立. 1.函数性质:例1:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x的函数f(x)=|x-x+a|存在最大值M(a),则正实数a的取值范是 (其中x表示不超过x的最大整数).解析:设x+a=n+,其中,nZ,01,则f(x)=|x-x+a|=|n+-a-n|=|-a|;当0a时,由-

17、a-a|-a|f(x)无最大值;当a时,由-a-a1-a,因|1-a|-a|f(x)有最大值.故a的取值范是,+).练习1: 2 第一讲:高斯函数 1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=-,且m表示不超过m的最大整数,则f(x)+f(-x)的值域是 .解:因f(x)+f(-x)=(-)+(-)=+-1=0f(-x)=-f(x);设f(x)=k+,其中,kZ,00)有三个不同的实数根,则实数k的取值范围是 .解:令g(x)=kx+k,由图知g(2)1,g(3)1k.3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k棵树

18、种植在点Pk(xk,yk)处,其中x1=1,y1=1,当k2时,xk=xk-1+1-5+5,yk=yk-1+-.其中,a表示实数a的整数部分,例如206=2,0.6=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 .解:令f(k)=-,则f(k+5)=-=1+-1+=-=f(k),故f(k)是周期为5的函数;计算可知:f(2)=0,f(3)=0,f(4)=0,f(5)=0,f(6)=1;由xk=xk-1+1-5f(k)xk-xk-1=1-5f(k)x2008=x1+(x2-x1)+(x3-x2)+(x2008-x2007)=x1+2007-5f(2)+f(3)+f(2008)=x1+2007-54

19、001(f(2)+f(3)+f(6)+f(2)+f(3)=3;同理可得y2008=402.所以,2008棵树的种植点为(3,402). 2.求值问题:例2:(1993年全国高中数学联赛试题)整数的末两位数是_.解析:由=(1031)2-10313+32-=(1031)2-10313+32-1=1031(1031-3)+8末两位数是08.练习2:1.(2006年上海市TI杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+2.6m-0.2+y+ +-2c除以7的余数,其中,c表示年的前两位数字(即世纪),y表示年的后两位数字,d表示日,m表示月对应的数字月份1234567

20、89101112对应的m值111212345678910 (见表).x表示不于x的最大整数.则2008年6月18日是星期 .解:因c=20,y=8,d=18,m=4d+2.6m-0.2+y+-2c=18+10.2+8+2+5-40=33(mod7)2008年6月18日是星期三.2.(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以x表示不超过x的最大整数,试确定sin1+sin2+sin3+sin4+sin5的值.解:因为01,2、3,4,5、62sin1、sin2、sin3(0,1),sin4、sin5(-1,0)sin1= 第一讲:高斯函数 3 sin2=sin3=0,sin4=sin5

21、=-1sin1+sin2+sin3+sin4+sin5=-2. (2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则sin1+cos2+tan3+sin4+cos5+tan6= .解:因为01,2,3,4,52,62sin1(0,1),cos2(1,0),tan3(1,0),sin4(1,0),cos5(0,1),tan6(1,0)sin1+cos 2+tan 3+sin 4+cos5+tan 6 =0+(-1)+(-1)+(-1)+0+(-1)=-4.3.(2005年上海市高中数学竞赛试题)设x表示不超过实数x的最大整数,求集合n|n=,1k2004,kN的元素个数.解:

22、当1,即k44时,=0;当12,即45k63时,=1;当23,即64k77时,=2;当34,即78k89时,=3;当45,即90k100时,=4;当56,即100k109时,=5;当67,即110k118时,=6;当78,即119k126时,=7;,集合n|n=,1k2004,kN的元素个数=1503. (2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设an=+,则= .解:由kk+an+nn+10,且当n2时,f()=n()3+2-n=(-n2+n+1)0xn(,1)n(n+1)xnn+1an=(n+1)xn=n(a2+a3+a2011)=2013. (2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)x表

23、示不超过实数x的最大整数,比如3.14=3,0=0,-3.14=-4.数列满足an:an=3n-2,若bn=,则b1+b2+b2007= .解:由bn=b5k+r=3k+=3k+(r=0,1,2,3,4)b5k=3k-1,b5k+1=b5k+2=3k,b5k+3=3k+1,b5k+4=3k+2b5k-4+b5k-3+b5k-2+b5k-1+b5k=15k-10b1+b2+b2007=(b1+b2+b5)+(b4015-4+b4015-3+b4015-2+b4015-1+b4015)+(b4015+1+b4015+2)=15-10401+(3401+3401)=(15201-4)401=1207

24、411. 3.求和问题:例3:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则log21+log22+log23+log22012= .解析:我们来解决一般性问题:设aN+,且a2,求和loga1+loga2+loga3+logan.当atkat+1时,logak=t,t=0,1,2,且在区间at,at+1)中的正整数有(a-1)at个.并设amnam+1,n=am+b(bN+),则 loga1+loga2+loga3+logan=(a-1)0a0+1a+2a2+(m-1)am-1+mb=(a-1)(m-1)-am-1+ 4 第一讲:高斯函数 +mb=a(m-1)-am

25、-1+m(b+1) 回到本题:a=2,由2102012211m=10,由2012-210=2012-1024=988b=988和为(29-2)29+2+10989=18084.练习3:1.(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则log21+log22+log23+log2500= .解:当2tk2t+1时,log2k=t,t=0,1,2,且在区间2t,2t+1)中的正整数有2t个.设f(x)=log2x,注意到29=512,所以,log21+log22+log23+log2500=f(1)+=0+121+222+323+424+525+626+727+8(28-

26、11)=3498. (2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则lg1+lg2+lg3+lg2010= .解:因为1k9lgk=0;10k99lgk=1;100k999lgk=2;1000k2010lgk=3;所以,lg1+ lg2+lg3+lg2010=601+9002+10113=4923. (2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)x表示不超过x的最大整数,若log36+log37+log38+log3(n-1)+log3n=2009,试确定正整数n的值.解:由log36=log37=log38=1log36+log37+log38=3;log39=l

27、og310=log326=2log39+log310+log326=36;log327=log328=log380=3log327+log328+log380=162;log381=log382=log3242=4log381+log382+log3242=648;3+36+162+648=849;log3243=log3244=log3728=5log3243+log3244+log3728=2430n=474. (1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题)x表示不小于实数x的最小整数,则log21+log22+log21991= .解:当log2n为整数时,log2n=log2n(n=

28、20,21,210);当log2n为整数时,log2n=log2n+1;所以,log21+log22+log21991=log21+log22+log21991+1991-11;由a=2,1024=2101991211m=10,由1991-210=967b=967log21+log22+log21991+1991-11=29-229+2+10968+1991-11=19854.2.(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设x表示不超过x的最大整数,则+-+-+-+-的值是 .解:当为整数时,+-=0(k=12,22,19892),当不是整数时,设=n+(01),则=n,-=-n-=-(n+1)+(1-)=-(n+1)+-=-1+-+-+-+-=-19891990+1989=-19892. (2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若x表示不超过x的最大整数,求满足方程nlg2+nlg5=2012的自然数n的值.解:因为nlg2和nlg5是无理数,那么可以表示nlg2=m+a其中m=nlg2,a=nlg20,而nlg5=n-nlg2=n-m-a=(n-m-1)+(1-a)nlg5=n-m-1n