高斯函数范本.doc

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1、1高斯函数高斯函数一、 定义对于任意，是不超过 x 的最大整数，称为 x 的整数部Rx x x分。y=称为定义在实数集上的函数，即取整函数，又称为高斯函数。 x由定义知，故，称为 x 的小数部分，记作。 xx 0 xx xx xy=称为 x 的小数部分函数。x如，； 23.233 . 2025. 0，。 3.03.27 . 03 . 225. 025. 075. 025. 0二、性质1、的定义域为 R，值域为 Z；的定义域为 R，值域为。 xy xy 1 , 02、 11xxxx3、y=x是不减函数，即若，则21xx 21xx4、x+n=n+x,x+n=x,其中 xR,nN.证明：因为 n+x

2、=n+x+x及 0x2 即可。212176212176若2，则4，221217621217621217 4，矛盾。21217 1321212132 所以2，则=2。212176 212176例 6、求的值。 1001.31211解：由kkkk111（1）由知kkkkk21111)1(21kkk)12(211)23(221. )34(231)100101(21001不等式两边分别相加得18) 1101(21001.31211（2）由知 121111kkkkk)1(211kkk则 )12(221)23(231)34(24111 )99100(21001上述不等式两边相加得191) 1100(210

3、01.31211综（1） （2）知: 191001.3121118所以=18。 1001.31211例 7、已知，求。21198712121kkss解：当时2nnnnnn1222nnnnn1222即 212nnnnn32121211212kkkkk所以 133135355157577179.219871987 198711987119872222212不等式两边分别相加得111987 19871.513113119871222即 2221987 19871.513113119871即 1987 19871.513111986 2所以 =1986。s练习练习：1、设,求。 （） 21.31211

4、 Rss22R2、设，求。 （） 2) 12(1.51311 nssn23、解方程在这里称为取整方程，也就是方程中含有取整函数或小数函数。在解这类方程时，主要是利用一个实数可以分解成整数部分和小数部分，在利用取整函数的定义，求出未知量的值。例 1、解方程（） xxx20x解：将代入原方程得 即 xxx xxx22 xx2因为 ，即，所以10 x220x 20 x 10或x因为，若，代入原方程得，这是不可能的。所0x 0x10 x0 xx以，从而，则。 1x21x23 211x例 2、解方程 03125xx分析：该题， 间具有一定的联系，我们只需求出，就能求出 。 xx xx解：因为，所以由方程

5、得， 1xxx xxx1 2531xx13所以，解得 xxxx253112531 731733xx所以，代入原方程得。 4x523x例 3、解方程 xxx24解：将代入原方程得 xxx，则 xxx25 5xx 因为，所以，知，得10 x 150x 50 x，相应的 4 , 3 , 2 , 1 , 0x 524,518,512,56, 056 5xxxx即为原方程的解。例 4、解方程 0514042xx解：因为，由方程知不是解 1xxx 0x所以 得 05140)(405140) 1(422xxxx 0)172)(32(0)112)(52( xxxx解得 ，知； ，知 25 23 x 2x 21

6、7 211 x 8 , 7 , 6x当时，当时， 2x2942x229x 6x18942x2189x当时，当时， 7x22942x2229x 8x26942x2269x即为原方程的解。例 5、解方程 33 xx解：因若，则0x 0 xx所以若，不可能等于 30x 03 xx所以，因为知所以0x xxx xxxxxx33又因为，知10 x332x14得 解得 02) 1(3) 1(22xxxxx21 x所以，所以，即为方程的解。 1x43x34x例 6、解方程（） xxx20x解：因为，则原方程为 10 x xx 2因为，知，0x10 x220x 1x从而，则，即为方程的解。21x23 212x

7、例 7、解方程5715 865 xx解：由知 xxx1865 57151865xxx整理得，即819041x109 9041 x那么 105463082x105054563015082x1013 856 3029x故知或，则 或0865 x1865 x05715x15715x解得 或即为方程的解。157x54x例 8、解方程 0782xx解法一：与例 4 相同 相应的 7 , 6 , 5 , 1x7 ,41,33, 1x解法二：由原方程得得 872xx解此不等式组得或知 8718722xxx31 x31 x，而当 ，故去掉此解。所 7 , 6 , 5 , 1x7 ,41,33, 3 , 1x3

8、x233以。7 ,41,33, 1x154、解不等式例 1、解方程 1 xxx解：因为，则 即 xxx 1xxxx 0) 1)(1(xx注意到，故。，知不等式的解集为 。1x 01x 1x 2x2xxA神断星期几神断星期几某天是星期几的公式cxxxxM 4001 1001 411这里 表示公元的年数， 是从这一年的元旦算到今天（包括这一天在xc内）的天数，求出后除以 7，其余数就表示那一天是星期几。M例、问中华人民共和国成立那一天是星期几？（1949.10.1）)7(mod21948119491x)7(mod448741 x)7(mod5191001 x)7(mod44001 x)7(mod1

9、274 c)7(mod614542M所以中华人民共和国成立那一天是星期六。第八讲第八讲 高斯函数高斯函数一、一、知识概要知识概要1， 定义：定义：设，用表示不超过的最大整数。则称为高斯函数，也叫取整函数。xR xx yx显然，的定义域是 R，值域是 Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即 yx，因此，这里，为的整数部分，而为 01xxaa xx 1x xx xxx的小数部分。x2 2，性质，性质161，函数是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有； yx12xx 12xx2，其中； nxnxnZ3，； 11xxxx 4，若，则其中； xyn,xna ynb0,1a b5，对于一切实

10、数有；, x y xyxy6，若，则；0,0xy xyxy7， 1xxx 8，若，则；当时，；nN xx nn 1n xx 9，若整数适合（是整数，） ，则；, a babqr0, ,bq r0rbaqb 10，是正实数，是正整数，则在不超过的正整数中，的倍数共有个；xnxnx n 11，设为任一素数，在中含的最高乘方次数记为，则有：p!np !p n。 1 2!mm mnnnp npnpppp证明：由于是素数，所有中所含的方次数等于的各个因数所含的方次数之总p!np!n1,2,np和。由性质 10 可知，在中，有个的倍数，有个的倍数，有个1,2,nn p p2n p 2p3n p 的倍数，当

11、时，所以命题成立。3p1mmpnp120mmnn pp高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分） 、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。二、二、解题示例解题示例例例 1 1，若实数使得r192091546100100100rrr（不是整数时）x（是整数时）x17，求。100r解：等式左边共 73 项，且因都小于 1，则每一项为或，注意到192091,100 100100 r 1r ，故必有。进一步有：，所以原式左

12、边从第 1 项至73 754673 8 7r 73 735546 第 38 项其值为 7，自第 39 项以后各项值为 8。即：56577;8.0.568,0.5787.437.44100100rrrrr 例例 2 2，计算：的值。100123 101nn 解：由题意得：对于任意的，23 10123231,2,100 ,23101101101nnnnZ说明：100123 10123 1012323231;22.22 501100101101101101101nnnnnn本例采用了分组凑整的思想。例例 3 3，对自然数及一切实数，求证： nx。 （厄尔密特等式） 121nxxxxnxnnn证明：对

13、任意的自然数，构造函数，则：n 121nf xnxxxxxnnn，所以，函数 112111nfxnxxxxxf xnnnn 为周期函数，其周期，因此，原命题只需证在区间内成立即可。而 f x1Tn 0f x 10,n 这一结论显然是成立的。例例 4 4、对任意的，证。nN1414243nnnnn证明：首先证明。令，则。41143nn 411xn241xn当时，于是，那么2xm mZ22441xmn21mn；2244443xmnn18当时，即，那么21xmmZ2244141xmmn 2mmn21mmn。所以命题成立，也就是：22414543xmmnn 。41414243411nnnnn 故：。4

14、14243nnn又：22121221241nnnnnnnn 221212212143nnnnnnnn 41143nnnn 1414243nnnnn注：本例的证明采用了“两边夹”法则。例例 5 5，解方程。56157 85xx解：令 ，则，带入原方程整理得：，由高斯函数157 5xn nZ57 15nx1039 40nn的定义有，解得：，则。10390140nn113 3010n0,1nn若，则；若，则。0n 7 15x 1n 4 5x 注：本例中方程为型的，通常运用高斯函数的定义和性质并结合换元法求解。 uv例例 6 6，解方程。11 42xx解：由高斯函数的性质，得：，即，令，在111142

15、xx 17x 1111,42xxyy同一坐标系中画出二者的图象：分析两者在区间内的图象，1,7显然，当时， 而，方程不成立；当1,1x 104x112x 时， ；当时， ；当 时， 1,3x11042xx3,5x11142xx5,7x19而，方程不成立。114x122x综上所述，原方程的解是：。15xx注：本例为型方程。首先由，求出的取值区间。但此条件为原方程成立 uv11uv x的充分但不必要条件，故还须利用和的图象进行分析才能得到正确结果。 uf x vg x例例 7 7，解方程。 333xx解：对于次数较高的含的方程，分区间讨论不失为一种有效的方法。 x若，则原方程不成立；1x 3331

16、210.xxxxx 若，则。原方程不成立；10x 33333131 1xxxx 若，则原方程不成立； 01x 33333033.xxxx若，则原方程即为；解得：；12x 33331.xxx334x 34 3x 若，则原方程不成立；2x 3333324.xxxxxxx所以，原方程的解为：。34 3x x例例 8 8，证明：若是大于 2 的质数，则被整除。p1252ppp证明：本例采用“构造法” 。由二项式定理知：对于任意的是一个整数，又因为 , 2525pppZ， 于是有： 1251,252525pppp ,其中是质数。因为1 12244212252225252 5pppppp pppCCC A

17、AAAA Ap都能被质数整除，所以原命题成立。 1212,4,1!k pp pppkCkpkp三、三、巩固练习巩固练习201，计算的值。 （76304）5020305 503nn 2，求函数的值域。 12.5010012.5xf xxx A0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 3，求方程的实数解。2721 34xx123312723,222xxx 4，求方程的整数解。10011!2!10!xxx584x 5，是互质的正整数，求证：。, a b1112 2baabaa bbb （利用）1br araabb6、在 1 至 1996 中有多少个整数，使得不是既约分数？（86）m27 4m m 7，试证明：对任意实数，等式成立。 （利用）x 1 02 2kk kxx 122aaa