高斯函数与不定方程.doc

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1、竞赛中的高斯函数与不定方程一高斯函数数学竞赛试题中常常用高斯函数的知识，具体包含：一、 定义设，表示不超过的最大整数，则称为高斯函数。函数的定义域为，值域为二、 性质的应用范围很广，很多竞赛题要应用的性质。性质1。对任意都有，为的小数部分）性质2。对任意都有 性质3。对任意且；有性质4。 对任意和，都有 性质5。 对任意的，都有性质6。，则证：因为，则性质7。在的质性质7。对任意正整数和任意实数 有 证： 则其中与都是整数，则则 所以 因数分解中，质数的指数是：二 一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程 通常称之为二元一次不定方程。定理1：二元一次不定方程 为整数有

2、整数解的充分必要条件是 定理2：二元一次不定方程 为整数若 且 为其一组解，则其全部解为 （为整数）。三高次不定方程解高次不定方程难度大，且无定法。但对某些特别方程可通过特殊方法解。例1：解下列不定方程（1） （2） 解（1）由于 故该方程没有整数解。 （2）该方程化为 可以先解方程 由观察得 ，所以得通解 （为整数），故原方程的通解 （为整数）（求可以利用找出 适合 然后求出的特解）例2： 求不定方程 的全部解。解 先解 及 这两个二元一次不定方程的通解分别为 为整数 及 为整数。将 代入的表达式中就得原方程的通解。例3. 方程有多少个非负整数解（每个量都为非负整数）？分析：由题中条件知左边

3、变量中至多有3个为1，特别是由于的系数为2可知只能取0，1两种情况，从而得到相应的解决方法。解： 所以 下面分两种情况考虑（1） 则 且 取 ，则原方程等价于 且则用隔板法知该方程的解的个数为（2），则 因此中必有一个为1，其他的是0，这样的解有于是原方程组的非负解的个数为165+9=174（个）。例4： 求方程的整数解解 原方程可改写为 左边分解因式得 若原方程有整数解，则 与均为整数，由上式得 或 解得 或 例5：试求方程 的正整数解。解 若方程有正整数解，则 由于 ，且与有相同的奇偶性，故从 知原方程的正整数解必是且仅是下列方程组的正整数解 故解得原方程的正整数解为 或。例6： 解不定方

4、程 解 容易看出 ，若 中有一个为零，则方程有整数解事实上若或，此时结论显然。现在考虑 ，于是，则所以 或，代入方程得 此时的整数解为0，即结论成立。因此若 不定方程 还有其它的整数解，则均不为零且原方程变形为 （1） 如果 为奇数，则为偶数，故与中至少有一个是偶数，此时式左边是4的倍数而右边是2的倍数，故不可能是奇数。（2） 如果 为偶数，则为奇数，于是与均为奇数，从而同为偶数。此时 可表示为 ， （其中为奇数）原方程化为 若 或 中有一个最小的，如 ，则用 除（*）式各项得 则上式中一边是偶数，一边是奇数，显然无解。若 中没有最小也不全相等，则必有一个最大的，如，则用除式各项得 因 被4除

5、余2，而与 均为4的倍数，仍然不可能。故原方程的整数解是例7求方程的所有非负整数解解： 由 为偶数知，（1） 若此时 若则 由此 因此，这与矛盾若 直接计算得 当时，有，直接计算知不可能。所以当全部非负解仅为（2） 若，则因此，即 从而为奇数，故 则当时，有 因此有 则与上面矛盾。所以于是当时，当时，有 由此知，因此， 所以 ，这与 矛盾（因为等式右边只有2，3的因数）故此种情况的解为（3） 若，此时 因此 ，所以都为奇数，从而 ，（事实上）所以，原方程变为 （其中为奇数）由此知 从而解得 设 于是因为 又因为 （两个连续的奇数是互素）所以 于是 ， 若 则得则与（2）所讨论类似得出无解。若

6、则 此时得出解为 综上所述，所求的非负解为例8在正整数构成的等差数列1，3，5，中删除所有和55不互质的项后，把余下的各项按从小到大的顺序排成一个数列 显然那么等于多少？分析：考虑正整数列1，2，3，4，中每连续的110个数中与2，5，11都互质的数的个数一样多。则求出与2，5，11不互质的数后就可求出与其互质的数的个数。解：可以看作数列1，2，3，4，中删除所有能被2，5，11整除的项后把剩下的数按小到大排列而成的数列，于是余下的数与互质。而每连续110个数中与110互质的数的个数为（个） （欧拉函数）又，而正整数列中第7个与110互质的数是19，所以例9已知的三边长分别为a、b、c，且满足

7、abc=(1)是否存在边长均为整数的？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由(2)若a1，b1，c1，求出周长的最小值解 (1)不妨设整数abc，显然c2.若c5，这时由，可得，矛盾.故c只可能取2，3，4.当c=2时，有又ab2，故无解.当c=3时，即.又ab3，故或或解得或或.能构成三角形的只有a=8，b=7，c=3.当c=4时，同理解得a=9，b=4或a=6，b=5. 能构成三角形的只有a=6，b=5，c=4.故存在三边长均为整数的，其三边长分别为4，5，6或3，7，8.(2)由，可得，所以.又，则有，故的周长最小值为，当且仅当时，取得此最小值.例10.求解： 显然有 另外 所以（事实上

8、我们知道，或者 ）例11，求证： 等式）证明：设 则左边右边要证明原问题就是要证明其中将区间等分为个小区间，考察其中一个设，即 所以 另一方面 显然只有 时，才有，满足这样的共有（个）所以结论成立。例12. 求满足下列关系式组的正整数解组的个数分析：此问题是二次不定方程，且有约束条件，因此要进行适当的转化求解。解 令，由条件知，方程化为，即 （1）因，故，从而设因此（1）化为 （2） 下分为奇偶讨论，（）当为奇数时，由（2）知为奇数令，代入（2）得 （3）（3）式明显无整数解故当为奇数时，原方程无正整数解 （）当为偶数时，设，由方程（2）知也为偶数从而可设，代入（2）化简得 （4）由（4）式有

9、，故，从而可设，则（4）可化为， （5）因为整数，故 又，因此 ，得， 因此，对给定的，解的个数恰是满足条件的的正因数的个数因不是完全平方数，从而为的正因数的个数的一半即 由题设条件，而25以内有质数9个：2，3，5，7，11，13，17，19，23将25以内的数分为以下八组：，从而易知，(，所以（利用前面所讲的约数个数计算公式）， (，将以上数相加，共131个因此解的个数共131 例13证明方程组没有整数解。证明：（1） 将两式相加两边都加1得 （*）对比费马小定理，我们对上式关于19作模可知，故 对任意，有从而 因此可知（*）式左边满足 但是所以（*）式左、右不相等，从而原方程组没有整数解

10、。（2）也可以利用13作模类似可证结论。（1）试求所有的正整数，使得方程 有正整数解 （2）证明：对上述每个，方程有无穷多个这样的正整数解使得中任意两数之积皆可表示为两个正整数的平方和。解：（1）先证明一个引理：引理1：不存在不全为零的整数 使得，其中是某个偶数。事实上，假设不然，设是使达到最小的不全为零的整数组，注意到是某个偶数，故中必有偶数，从而 由于整数的平方关于模4的余数为0或1，故只能都为偶数。设，其中是整数，将代如方程得 但与假设是达到最小的不全为零的整数组，矛盾。即引理得证。回到原题。固定，设是使得达到最小的正整数，不妨设原方程可写为 设该关于的方程另一根为，则有 ， ，由于均为

11、正整数，所以也为正整数，由条件知，得。则， 即从而 由于时，时。结合引理知或3。（2）先考虑定义数列如下：引理2： 特别地 特别地 。证明： 定义：，则所以。类似可以证明由引理2中知 是方程时的解，显然有无穷多组，且 ，即满足（2）的要求。对于，由于有无穷多个这样的正整数解使得此时即是方程时的解，同样满足（2）的要求。试求满足： ，且 的所有三元整数组解：由于任何奇数的平方被4除余1，偶数的平方是4的倍数， 即 又 故由 知 中必有两个偶数，一个奇数。 设为：（为正整数），则原方程化为：又 现讨论：（1） 若，则，于是均为3的倍数，设为则得 ，于是 设 ， 则，显然 ，则则 可取3，7，12，

12、16，21 代入分别可得，计算可知 ，16（4，5），（2，5）这时的原方程的解为：（23，24，30）和（12，30，31）。（2）若 不整除3，由于任何3个连续的数中必有一个能被3整除，则是3的倍数。故 ，因此 只能取2，5，8，11，14，17，20。分别计算得原方程的解为（9，18，40），（9，30，32），（4，15，42），（15，22，36），（4，30，33）。综上所述，得原方程的所有解。例：（2012年竞赛题）设集合，试证明（1） 对每个，及 ，若 ，则一定不是的倍数；（2） 对每个，（表示在中的补集），且，必存在，使得 是的倍数。证明：对任意，设，则，如果是任意一个小于的

13、正整数，则，由于 中一个为奇数它不含素因子2，另一个为偶数，它含的素因子2的幂的次数最多为，则一定不为的倍数；对任意一个，且，设 ，其中为非负整数，为大于1的奇数，则，令 ，,即 ，由于 则该不定方程有整数解，且为 为方程的特解）把最小的正整数解记为（），则，故 适合一定不为的倍数。例（2011年竞赛题）证明：对任意整数，存在一个次多项式 具有如下性质1.均为正整数；2.对任意正整数及任意个互不相同的正整数，均有证明：令，显然是一个首项系数为1的正整数系数多项式，即满足条件1，下证满足2事实上，对任意整数，由于，故连续的个整数中必有一个为4的倍数，从而 ，因此，对任意个互不相同的正整数有但是对任意正整数，有 ，则一定有从而结论得证。例（2011年竞赛题）设（）是给定的正实数， 对任意正实数，满足（）的三元数组的个数记为，证明证明：对给定的（）满足且的三元数组的个数记为。注意到，若固定，则最多只有一个使得成立，因为，则有种取法，故；同样，若固定，则最多只有一个使得成立，因为，则有种取法，故从而 因此，当为偶数时，设 则有当为奇数，设 则从而结论得证。