12解三角形应用举例.ppt

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1、3解三角形的实际应用举例解三角形的实际应用举例sinsinsinabcABC正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等,即CcBbAasinsinsin正弦定理的推论： ABDC .ObacsinsinsinabcABC=2R (R为ABC外接圆半径）证明：如图，圆O为ABC的外接圆， BD为直径, 则 A=D,2 ;sinsinsin90aaBDRAD2 ,2 ;sinsinbcRRBC同理，sinsinsinabcABC=2R(R为ABC外接圆半径）余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍, 即2222cosbcac

2、aB同理可证2222coscababC2222cosabcbcA2222cosbcacaB2222coscababC延伸变形222c o s2bcaAb c222c o s2acbBb c222c o s2abcCa b中，在ABC推推 论论:为直角；，则若Ccba222为锐角；，则若Ccba222为钝角；，则若Ccba222(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。(2)解决实际应用问题的步骤实际问题数学问题（画出图形）解三角形问题数学结论分析转化检验例1 自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图所示）.已知车箱最大仰角为60(指

3、车厢AC与水平线夹角),油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m,计算BC的长度(结果精确到0.01m).0600260.,0266,40. 1,95. 10求第三边的长夹角的两边已知AACABABCm95. 1m40. 1分析解：由余弦定理，得BC2=3.571 BC1.89(m) 答：顶杆BC约长1.89mAB2+AC2-2ABACcosA0266cos40. 195. 1240. 195. 10220600260m95. 1m40. 1例2.如图，两点C，D与烟囱底部在同一水平直线上,在点C1，D1利用高1.5m的测角仪器, 测得烟

4、囱的仰角分别是 450和 600, 间的距离是12m.求烟囱的高AB (结果精确到0.01m). DCBA A1C1D1B1AA1C1DDC45601.5m12mBA1求m12.1145601.5m12m解 在BC1D1中, BD1C1=180O -60O=120O, C1BD1=60O -45O=15O,由正弦定理,得1111111sinsinC DBCC BDBDC1111111sin12sin120sinsin15C DBDCBCC BD(18 26)( )m从而11218319.732( )2ABBCm因此1119.732 1.521.23( )ABABAAm例3：如图是曲柄连杆机构的

5、示意图,当曲柄CB绕点C旋转时,通过连杆AB的传递,活塞作直线往复运动.当曲柄在CB0位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A处.设连杆AB长为l mm,曲柄CB长为r mm,lr.(1)当曲柄自CB0按顺时针方向旋转角为时,其中0O360O,求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A);(2)当l =340mm, r =85mm,=80O时,求A0A的长(结果精确到1mm). 分析分析 如图,不难得到,活塞移动的距离为: A0A=A0C-AC,易知A0C=AB+BC=l+ r,所以,只要求出AC的长即可.在ABC中,已知两边和其中一边的对角,可以通过正弦定理或余弦定理求出AC的长

6、.A0AB0CB80O解解.(1)设AC=x,若=0O,则A0A =2rmm;若0O180O,在ABC中，由余弦定理,得2222cosABACBCACBCC即2222( cos )()0 xrxlr解得2221cos( cos )xrrlr222( cossin)()rlrmm2222cos( cos )0(,)xrrlr不合题意 舍去00A AA CACABBCAC222(cossin)()lrrlrmm 若180O360O,则根据对称性,将上式中的改成360O-即可,也有2220(cossin)()A Alrrlrmm (2)当l =340mm, r =85mm,=80O时,2220340

7、8585cos8034085 sin 80A A81()mm例4 如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20km处和54km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8s后监测点A,20s后监测点C相继收到这一信号.在当时气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5km/h.(1)设A到P的距离为xkm,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km). 4 2dm,17dm,45 .ABADBAC分析分析 (1)PA,PB,PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间

8、建立起来.(2)作PDa,垂足为D,要求PD的长,只需要求出PA的长和cosAPD,即cosPAB的值.由题意,PA-PB,PC-PB都是定值,因此,只需分别在PAB和PAC中,求出cosPAB, cosPAC的表达式,建立方程即可.ABCDPa解解.(1)依题意,PA-PB=1.58=12(km), PC-PB=1.520=30(km). 因此PB=(x-12)km, PC=(18+x)km.在PAB中, AB=20km,222cos2PAABPBPABPA AB22220(12)220 xxx3325xx同理72cos3xPACx由于coscosPABPAC即3327253xxxx解得13

9、2()7xkm(2)作PDa,垂足为D,在RtPDA中,coscosPDPAAPDPAPAB3325xxx132332717.71()5km1.我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看。A AC CB B1010海里海里60607575:60 ,75 ,45:10sin60sin4510sin605 6()sin45ABCBCBC解由正弦定理得海里2. 由船A测得它的南30东的海面上有一灯塔，船以每小时30海里的速度向正东南方向航行半小时后，于B处看到这灯塔正在船的正西方向，问这时船和灯塔相距多少海里？分析画出示意图如下：已知：AB、CAB、ACB，求BC？解：如图，CAB453015ACB18060120，AB30sin 30=15sinsinABCABBCACB15 sin15sin12062sin154 5 6( 31)4.48()2BC海里作业作业P19 1,2,3,4,5,6,71,2,3,4,5,6,7