《数学实验》实验指导书.doc

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1、数学实验实验指导书龚 劬重庆大学数学实验教学示范中心重庆大学数学实验教学示范中心数学实验课程实验指导2目 录预备实验桥梁分析.3实验 1 MATLAB 软件入门.8实验 2 方程模型及其求解算法.24实验 3 收敛与混沌迭代.28实验 4 微分方程模型、求解及稳定性分析.31实验 5 插值方法.34实验 6 数据拟合及参数辨识方法.36实验 7 回归分析模型、求解及检验.39实验 8 连续系统与离散系统的计算机模拟.42实验 9 线性规划模型、求解及灵敏度分析.44实验 10 非线性规划与多目标规划模型及其求解.48实验 11 如何表示二元关系图的模型及矩阵表示.51实验 12 改进技术的最佳

2、实施问题综合实验.54实验 13 人口增长模型及其数量预测综合实验.56实验 14 River-bay 系统水污染问题_综合实验.58实验 15 炮弹发射角的确定综合实验.60实验 16 探究实验.61实验 17 开采沙子综合实验.62实验 18 海水中提取淡水综合实验.65实验 19 警惕氯仿污染综合实验.70实验 20 机动车尾气排放综合实验.81实验 21 计算机断层扫描图像综合实验.89数学实验课程实验指导3预备实验桥梁分析教教学学目目的的和和要要求求：通过桥梁分析问题，使学生：1. 了解线性代数在土木工程中的应用；2. 了解如何通过做一些使问题简化的假设，建立实际问题的数学模型；3.

3、 体会学好线性代数知识的重要性；4. 激发学习线性代数的兴趣。知知识识点点：线性方程组 向量分解必备技能：必备技能：1. 力的平衡分析；2. 向量分解；3. 求解线性方程组。主要内容主要内容1应用场景2问题分析3建立数学模型4实验任务数学实验课程实验指导41 1应用场景应用场景解方程组在许多领域都有应用。下面给出一个在土木工程中的应用例子，虽然加入了一些幽默元素，但类似的情形土木工程师会经常遇到。一位货运司机正驾着卡车为一个数学家聚会运送物资，但他的卡车超载了。途中，他遇到了一个古老的桁架桥。这座桥没有标明最大承重载荷。由于注意到桥下水中有鲨鱼，他想知道自己那超重的卡车能否安全过桥，这辆卡车大

4、约重 10 吨（20，000 磅） 。他拿出手机给你打电话，请你帮忙分析，并给出建议。图 1 中卡车正处于使桁架结构内力和压力最大的位置。2 2问题分析问题分析桁架结构很坚固，是由销连接的三角形构成的。因此，桁架结构不会弯曲（变成一个微笑的或者皱眉的形状） ，但是可以拉伸或压扁。两个相同的桁架对称地支撑着桥面，桥的两侧各一个（在图 1 中，看不见第二个桁架，它在第一个后面） 。每个桁架结构承载卡车重量的一半。卡车和货物总重是 20，000 磅，因此每个桁架结构承重 10，000 磅。假设卡车前面比较重，前轮承受 5720 磅的重量，后轮承受 4280 磅，如图 2 所示。在铰链 A 处，桥被固

5、定，当有人刹车时它不会掉进沟里。在铰链D 处，桥可以自由的滑动这样在热天它可以膨胀。图 1：一个危险的情况数学实验课程实验指导53. 3.建立数学模型建立数学模型为了判断该桥是否会断裂，可以用节点法。假设，当桥中桁架的任何组件断裂时，整座桥就会断裂。节点法是分析桁架每个节点的平衡条件。节点平衡要求该点所受到的所有内力和外力相互平衡，否则，桁架将会移动。如图3所示，有三个未知的外力,和，作用在桁架与地面接触的节点上。这三xAyAyD个外力与4280磅和5270磅的负载共同作用导致桁架组件的内力。桁架每个组件的内力可以通过对每个节点运用节点法来确定。图3是节点法在每个节点应用的示意图。注意各组件已

6、经被“割断”，假设内力方向如箭头所示。被“割断”的组件的所有力都按张力来标示，所谓张力就是作用在桁架组件的拉力。为了把卡车的重量从桥的中间转化为桥两端的支撑力，一些组件一定会被压缩，另一些一定会被拉伸。所以如果最终得出的力为负，则说明假设为张力是错误的，该力实际上应该是压力。在图3中具有负值的力的箭头应向内。图 2：其中一个构架的示意 图图3：节点法的应用数学实验课程实验指导6为了使桁架满足平衡条件，在每一节点处，x 轴方向和y轴方向的合力应分别为0。对应的数学表达式为 和。大小为4280 lb的力作用在B点和大小为5720 0xF 0yF lb的力作用在C点说明，卡车重量直接作用在节点处。让

7、我们来看一下如何根据节点法分析任一节点处的受力情况节点节点A A每个桁架用桁架两端节点处的字母表示，如图3，对支点A有四个力的作用, , xAyA, 和: ABFAEF表示作用在A点作用在x轴方向上的力，表示从A点指向B点的力。xAABF 表示力的方向为从A指向E。AEF注意，当分析A点时，将力分解在X和Y方向上。AEEAFF图4是对力的分析，演示了如何对力进行分解。在在Y方向上的分力：AEFAEF6 10AEyF在X轴方向的分力大小：AEF图 4：把看作直角三角形斜边AEF数学实验课程实验指导78 10AExF为了使A点保持平衡状态，该点处X轴方向和Y轴方向的合力分别为0。A点处Y轴方向的合

8、力：6010yAEAF接着你需要求出A点处X轴方向的合力。然后，通过在每一个支点处重复这样的过程，你可以建立一个方程组以求得各个桁架组件间未知的力。这个方程组有唯一解（因为未知数的个数和方程的个数相同）。4.4. 任务任务1）确定作用在桁架上的所有的内力和外力。2）为了评估桁架的安全性，你需要确定桁架的每个组件最多能承受多大的力而不毁坏。一位土木工程专业的学长通过快速计算，报告说每根杆能承受 9000 磅的拉力和 6500 磅的压力，问卡车是否能安全通过该桥梁。3）对于你的分析和得出的结论写一份技术报告。4）你还可以做一些其他探讨，进行拓展。数学实验课程实验指导8实验 1 MATLAB 软件入

9、门一、一、实验目的及意义实验目的及意义1 熟悉 MATLAB 软件的用户环境； 2 了解 MATLAB 软件的一般目的命令； 3 掌握 MATLAB 数组操作与运算函数； 4 掌握 MATLAB 软件的基本绘图命令； 5 掌握 MATLAB 语言的几种循环、条件和开关选择结构。 通过该实验的学习，使学生能灵活应用 MATLAB 软件解决一些简单问题，能借助 MATLAB 软件的绘图功能，对函数的特性进行探讨，广泛联想，大胆猜想，发现进而证实其中的规 律。二、实验内容二、实验内容1MATLAB 软件的数组操作及运算练习；2直接使用 MATLAB 软件进行作图练习；3用 MATLAB 语言编写命令

10、 M-文件和函数 M-文件。三、实验步骤三、实验步骤1. 在 E 盘建立一个自己的文件夹; 2开启软件平台MATLAB，将你建立的文件夹加入到 MATLAB 的搜索路径中。 3利用帮助了解函数 max, min, sum, mean, sort, length，rand, size 和 diag 的 功能和用法。 4开启 MATLAB 编辑窗口,键入你编写的 M 文件（命令文件或函数文件） ； 5保存文件（注意将文件存入你自己的文件夹）并运行； 6若出现错误，修改、运行直到输出正确结果； 7写出实验报告，并浅谈学习心得体会。四、实验任务四、实验任务根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出

11、实验报告（实验目的问题原 理算法与编程计算结果或图形心得体会）基础实验基础实验1设有分块矩阵，其中 E,R,O,S 分别为单位阵、随机阵、零阵和 22322333 SOREA对角阵，试通过数值计算验证。 22 S0RSREA2某零售店有 9 种商品的单件进价（元） 、售价（元）及一周的销量如表 1.1，问哪 种商品的利润最大，哪种商品的利润最小；按收入由小到大，列出所有商品及其收入；求数学实验课程实验指导9这一周该 10 种商品的总收入和总利润。 表 1.1货号1 2 3 4 5 6 7 8 9 单件进价7.15 8.25 3.20 10.30 6.68 12.03 16.85 17.51 9

12、.30 单件售价11.10 15.00 6.00 16.25 9.90 18.25 20.80 24.15 15.50 销量568 1205 753 580 395 2104 1538 810 6943. 近景图近景图 将x的取值范围局限于较小的区间内可以画出函数的近景图,用于显示函数的局部特性。局部放大局部放大 在绘图时,把x的范围逐渐缩小,可把函数的细节部分展现的很清楚.特别是观察极限问题时,这种方法比较便利.远景图远景图 函数的远景图,是把 x 的范围取得比较大,使我们能够在大范围内观察函数图像.当研究 x 趋向于时,这种方法给我们带来方便. 1）绘制幂函数30631,xyxyxyxy在

13、区间0,2上的图形。观察图像,列表记录观察现象。观 察 现 象图像经过的关键点函数图形的增减性抛物线的开口方向参数 p（指数幂）的影响2）比较函数 33)(,)(,)(xxhxxxgxxf在 x0 时函数的性态。观察到什么现象？从观察到的现象，反映了什么结论。3）比较函数33)(,)(,)(xxhxxxgxxf在 x时函数的性态。4）在日常生活中我们有这样的经验：与幂函数相比，指数函数是急脾气，对数函数是慢性子。这就是说，当 x时，再小的指数函数也比幂函数变化快，再大的对数函数也比幂函数变化慢。当 x时,比较 10xy 与 xy1 . 1的大小.当 x时,比较 001. 0xy 与 xylg1

14、000的大小.5）在同一个坐标下作出y1=ex,y2=1+x,y3=1+x+(1/2)x2,y4= 1+x+(1/2)x2+(1/6)x3这四 条曲线的图形，要求在图上加各种标注，观察到什么现象？发现有什么规律？4用 subplot 分别在不同的坐标系下作出下列四条曲线，为每幅图形加上标题，1）概率曲线 ；2xey2）四叶玫瑰线 =sin2；数学实验课程实验指导103）叶形线 ;13,13323ttyttx4）曳物线 。22 111lnyyyx5作出下列曲面的 3 维图形，1）；)sin(22yxz2）环面： 。 ,sin,sin)cos1 (,cos)cos1 (uzvuyvux)2 , 0

15、()2 , 0(vu3）分别作出单位球面在参数为两种不同取值范围的图形,注意坐标轴的单位长度要相等。提示：附加命令 rotate3d 可实现 3 维图形旋转。a) ;cos sin , sin sin , cos ,xuv yuv zv (0,1.6 )(0, )uvb) cos sin , sin sin , cos ,xuv yuv zv (0,2 ) (0.5 , )u v 4）z =y2 绕 z 轴的旋转面图形5) y = -2z,00） ； 2）每个工人技术相同，且修理时间相互独立并服从同一负指数分布， 平均修理时间为 1/u（u0） ； 3）工人对故障机器的修理与其他机器连续运转是

16、否正常无关，修复 后的机器其寿命分布与新的一样。 4）机器停止运转每单位时间的损失费为C1元，工人单位时间的产值 为C2元。 若机器的等待时间为E，工人总的空闲时间为F，则系统总的损失费为S=C1*E+C2*F。 试求当机器数m固定时，为使系统的总损失费最小，应配备多少工人为最优？假设已知 m = 86，1/v = 500 小时，1/u = 34 小时，C1=3.46 元/小时, C2=3.2 元/小时。数学实验课程实验指导48实验 9 线性规划模型、求解及灵敏度分析一、实验目的及意义一、实验目的及意义1 学习最优化技术和基本原理，了解最优化问题的分类； 2 掌握线性规划的建模技巧和求解方法；

17、 3 学习灵敏度分析问题的思维方法； 4 熟悉 MATLAB 软件求解线性规划模型的基本命令； 5 通过范例学习，熟悉建立线性规划模型的基本要素和求解方法。通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设 和建立优化模型，并且使学生学会使用 MATLAB 软件进行线性规划模型求解的基本命令，并 进行灵敏度分析。解决现实生活中的最优化问题是本科生学习阶段中一门重要的课程，因 此，本实验对学生的学习尤为重要。二、实验内容二、实验内容1最优化问题的提出，提出不同的假设可以建立不同的最优化模型； 2建立线性规划模型的基本要素和步骤； 3使用 MATLAB 命令对线性规划模型进

18、行计算与灵敏度分析； 4利用优化数值解与图形解对最优化特征作定性与定量分析；三、实验步骤三、实验步骤1开启 MATLAB 软件平台，开启 MATLAB 编辑窗口； 2根据问题，建立的线性规划模型，并编写求解规划模型的 M 文件； 3保存文件并运行； 4观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果； 5根据观察到的结果和体会，写出实验报告。四、实验要求与任务四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模 型算法与编程计算结果分析、检验和结论）基础实验基础实验1 1求解下述线性规划问题求解下述线性规划问题min 321x6x4x5s.t.

19、20xxx32142x4x2x3321数学实验课程实验指导4930x2x321321x0,x0,x0应用实验应用实验2.2. 两种面包产品的产量配比问题两种面包产品的产量配比问题 田园食品公司生产的面包很出名。他们生产两种面包：一种是叫“唐师”的白面包， 另一种是叫“宋赐”的大黑面包。每个唐师面包的利润是 0.05 元，宋赐面包是 0.08 元。 两种面包的月生产成本是固定的 4000 元，不管生产多少面包。 该公司的面包生产厂分为两个部：分别是烤制和调配。 烤制部有 10 座大烤炉，每座烤炉的容量是每天出 140 台，每台可容纳 10 个唐师面包 或 5 个更大的宋赐面包。可以在一台上同时放

20、两种面包，只需注意宋赐面包所占的空间是 唐师面包的两倍。 调配部每天可以调配最多 8000 个唐师面包和 5000 个宋赐面包。有两个自动调配器分 别用于两种面包的调配而不至于发生冲突。 田园公司决定找出这两种面包产品的最佳产量配比，即确定两种面包的日产量，使得 在公司面包厂的现有生产条件下利润最高。3.3. 航空公司的机舱设计及机票销售航空公司的机舱设计及机票销售 在五个城市 A、B、C、D、E 之间，有唯一一家航空公司提供四个航班服务，这四个航 班的“出发地目的地”分别为 AC、BC、CD、CE，可搭载旅客的最大数量分别为 100 人、 115 人、120 人、110 人，机票的价格分头等

21、舱和经济舱两类。经过市场调查，公司销售部 得到了每天旅客的相关信息，见下表。该公司应该在每条航线上分别分配多少张头等舱和 经济舱的机票？头等舱经济舱出发地-目的地需求（人）价格（元）需求（人）价格（元）AC311905290 AD(经 C 转机)2224441193 AE(经 C 转机)1026160199BC2517033110 BD(经 C 转机)2026031150 BE(经 C 转机)828041165CD341405980CE13186151034.4. 运输问题运输问题Toronto 1Detroit 2Chicago 3Buffalo 4New York 5Phila. 6St.

22、 louis 7SourceTransshipment PointDestination数学实验课程实验指导50从 Toronto 和 Detroit 两市分别有两批货物途径 Chicago 和 Buffalo 最终到达 New York、Phila.和 St.louis 市.之间的路线表述如图所示，其中 Toronto 和 Detroit 分别有 600 和 500 的货物需要运出,New York、Phila. 和 St.louis 的货物需求分别是 450、350 和 300. 每一段上的运输单价如表 1 和表 2。问：如何进行运输安排使整个的运输费用最少？ 试建立问题的数学模型并求出最

23、优解。表 1 第一段的运输单价ToFromChicagoBuffaloSupplyTorontoDetroit$4$ 5$ 7$ 7600500表 2 第二段的运输单价ToFromNew YorkPhila.St.louisChicagoBuffaloDemand$3$ 1450$ 2$ 3350$ 2$ 43005.5. 投资策略投资策略 某部门现有资金 10 万元，五年内有以下投资项目可供选择： 项目 A：从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利 15%； 项目 B：第三年初投资，第五年末收回本金且获利 25%，最大投资额为 4 万元； 项目 C：第二年初投资，第五年末收回本金且获

24、利 40%，最大投资额为 3 万元； 项目 D：每年初投资，年末收回本金且获利 6%； 问如何确定投资策略使第五年末本息总额达最大？综合实验综合实验6.6. 奶制品加工奶制品加工一奶制品加工厂用牛奶生产 A1, A2两种初级奶制品，它们可以直接出售，也可以分别深加工成 B1, B2两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成 2 公斤 A1和 3 公斤A2,每桶牛奶的买入价为 10 元，加工费为 5 元，加工时间为 15 小时。每公斤 A1可深加工成 0.8 公斤 B1，加工费为 4 元，加工时间为 12 小时；每公斤 A2可深加工成 0.7 公斤 B2，加工费为 3 元，加工时间为 10

25、 小时；初级奶制品 A1, A2的售价分别为每公斤 10 元和 9 元，高级奶制品 B1, B2的售价分别为每公斤 30 元和 20 元，工厂现有的加工能力每周总共 2000数学实验课程实验指导51小时，根据市场状况，高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的 20%至 40%。试在供需平衡条件下为该厂制订（一周的）生产计划，使利润最大，并进一步讨论如下问题：1）拨一笔资金用于技术革新，据估计可实现下列革新中的某一项：总加工能力提高10%，各项加工费用均减少 10%。初级奶制品 A1，A2的产量提高 10%；高级奶制品 B1，B2的产量提高 10%。问应将资金用于哪一项革新，这笔资金的上限（对于一

26、周而言）应为多少？2）该厂的技术人员又提出一项技术革新，将原来的每桶牛奶可加工成 2 公斤 A1和 3公斤 A2，变为每桶牛奶可加工成 4 公斤 A1或者 6 公斤 A2。设原题目给的其它条件都不变，问应否采用这项革新，若采用，生产计划如何。数学实验课程实验指导52实验 10 非线性规划与多目标规划模型及其求解一、实验目的及意义一、实验目的及意义1 学习非线性规划模型的标准形式和建模方法； 2 掌握建立非线性规划模型的基本要素和求解方法； 3 熟悉 MATLAB 软件求解非线性规划模型的基本命令； 4 通过范例学习，了解建立非线性规划模型的全过程，与线性规划比较其难点何在。通过该实验的学习，使

27、学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设 和建立优化模型，并且使学生学会使用 MATLAB 软件进行非线性规划模型求解的基本命令， 并进行灵敏度分析。解决现实生活中的最优化问题是本科生学习阶段中一门重要的课程， 因此，本实验对学生的学习尤为重要。二、实验内容二、实验内容1建立非线性规划模型的基本要素和步骤； 2熟悉使用 MATLAB 命令对非线性规划模型进行计算与灵敏度分析； 3学会计算无约束优化问题和有约束优化问题的技巧。三、实验步骤三、实验步骤1开启 MATLAB 软件平台，开启 MATLAB 编辑窗口； 2根据问题，建立非线性规划模型，并编写求解规划模型的 M 文件； 3保

28、存文件并运行； 4观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果； 5根据观察到的结果和体会，写出实验报告。四、实验要求与任务四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模 型算法与编程计算结果分析、检验和结论）基础实验基础实验1 1 求解无约束优化求解无约束优化1) 画出该曲面图形, 直观地判断该函数的最优解; 2) 使用 fminunc 命令求解, 能否求到全局最优解?22 12120.2 0.5()0.5(cos(2) cos(2) 12min( ,)2022.713. .55,1,2xxxxif x xeestxi 数学实验课程实

29、验指导532.2. 求解非线性规划求解非线性规划, ,试判定你所求到的解是否是最优试判定你所求到的解是否是最优? ?应用实验应用实验3.3.贷款方案贷款方案 某服装连锁店老板希望开办三家新商店:一家在北京,一家在上海.开办这些商店分别 需要 170 万,250 万, 100 万元.为对此计划融资,该老板与三家银行进行了联系. 见表 6.1 三家银行对各个项目的贷款利率 北京店上海店重庆店 银行 16.1%5%6.5% 银行 26.2%5.2%6.2% 银行 36.5%5.5%5.8%根据商店的位置和对相关风险的评估,每家银行都决定至多提供 8 年期总值为 300 万 元的贷款,但对不同商店项目

30、的利率各不相同(见表 6.1).请制定从这些银行进行贷款的方 案,以使每个商店都能得到所需的资金,并使总支出最小.4.4. 组合投资问题组合投资问题设有 8 种投资选择:5 支股票,2 种债券,黄金. 投资者收集到这些投资项目的年收益率 的历史数据 (见表 6.1), 投资者应如何分配他的投资资金,即需要确定这 8 种投资的最佳 投资分配比例. 表 6.1 8 种投资项目的年收益率历史数据项目 年份债券 1 债券 2 股票 1 股票 2 股票 3 股票 4 股票 5 黄金19731.075 0.942 0.852 0.815 0.698 1.023 0.851 1.67719741.084 1

31、.020 0.735 0.716 0.662 1.002 0.768 1.72219751.061 1.056 1.371 1.385 1.318 1.123 1.354 0.76019761.052 1.175 1.236 1.266 1.280 1.156 1.025 0.96019771.055 1.002 0.926 0.974 1.093 1.030 1.181 1.20019781.077 0.982 1.064 1.093 1.146 1.012 1.326 1.29519791.109 0.978 1.184 1.256 1.307 1.023 1.048 2.21219801

32、.127 0.947 1.323 1.337 1.367 1.031 1.226 1.29619811.156 1.003 0.949 0.963 0.990 1.073 0.977 0.68842 123 72 1222 13 71230.201max10 . .67500.419010 036,05,0125x x xzstx xx xxxx数学实验课程实验指导5419821.117 1.465 1.215 1.187 1.213 1.311 0.981 1.08419831.092 0.985 1.224 1.235 1.217 1.080 1.237 0.87219841.103 1.

33、159 1.061 1.030 0.903 1.150 1.074 0.82519851.080 1.366 1.316 1.326 1.333 1.213 1.562 1.00619861.063 1.309 1.186 1.161 1.086 1.156 1.694 1.21619871.061 0.925 1.052 1.023 0.959 1.023 1.246 1.24419881.071 1.086 1.165 1.179 1.165 1.076 1.283 0.86119891.087 1.212 1.316 1.292 1.204 1.142 1.105 0.97719901.

34、080 1.054 0.968 0.938 0.830 1.083 0.766 0.92219911.057 1.193 1.304 1.342 1.594 1.161 1.121 0.95819921.036 1.079 1.076 1.090 1.174 1.076 0.878 0.92619931.031 1.217 1.100 1.113 1.162 1.110 1.326 1.14619941.045 0.889 1.012 0.999 0.968 0.965 1.078 0.990数学实验课程实验指导55实验 11 如何表示二元关系图的模型及矩阵表示一、一、 实验目的及意义实验目的

35、及意义1 学习如何建立图的模型； 2 了解图的存储结构； 3 掌握图的表示与矩阵表示之间的转化； 4 初步认识算法及其复杂性, 树立算法有效性的观点。 通过该实验的学习，使学生了解图论是描述和解决离散问题的有利工具，知道什么样 的实际问题可以建立图论模型，熟悉处理离散问题的要领和方法是本科生重要的必备知识， 具有十分重要的意义。二、实验内容二、实验内容1. 用图来直观形象地表示具有二元关系的群体； 2. 图的数字化方法；三、实验步骤三、实验步骤1开启 MATLAB 软件平台，开启 MATLAB 编辑窗口； 2根据问题，建立计算机模拟的数学模型，并写出算法步骤和编写 M 文件； 3保存文件并运行

36、； 4观察运行结果(数值或图形)，并不断地改变参数设置观察运行结果； 5根据观察到的结果和体会，写出实验报告。四、实验要求与任务四、实验要求与任务根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的问题数学模 型算法与编程计算结果分析、检验和结论）基础实验基础实验1 1传输网络的可达度传输网络的可达度 可达度对于交通网络或通信网络来说非常重要，它是人员、货物或信息流动能力的直 接表征，一个发达而有效的传输系统可达度较高。可达度定义为一个点到达其它点或能由 其它点到达的能力的一种度量。你认为，如何具体地规定一个点甚至一个图的可达度比较 合理呢？数学实验课程实验指导56(a) (b)(c)

37、 (d) 图 11.1假设有 5 个站点，我们以图 11.1 所示的方式把它们连接起来，可按下述方法来比较它 们的可达性。 1） 求出图 11.1 中四个图的邻接矩阵 A 的幂矩阵 A2，A3, A4, A 的 i 行 j 列元素正好是图 中顶点 i 到顶点 j 的长度为 1 的路径数，Ak (k=2, 3, 4)的 i 行 j 列元素呢？； 2） 图的直径 d 为相距最远的两顶点之间的距离，总可达矩阵为 dkkAT1计算图 11.1 的总可达矩阵，其元素的意义是什么？ 3） 如何求出图 11.1 中四个图的距离矩阵 D, D=(dij)nn , dij为顶点 i 到顶点 j 的最短路 径的长

38、度。每个顶点的易到达性指标为它到其余各点的距离总和的倒数，试求出每个 图的最易到达顶点，即易到达性指标最大的顶点。应用实验应用实验2交通网络的可达性评估交通网络的可达性评估 某城市计划新修建一条环线，市政部门想知道它对现有交通网络的影响以及对城市经济活动的影响。城市的交通网络如图 11.2 所示，每个点的人口分别为：a 5000，b 15000，c 25500，d 11100，e 9500，f 7000，g 4500，h 17500，i 18300，j 8700，k 3000。假设聘请你作为顾问来评估该城市交通网可达性的变化情况。12345123451234512345数学实验课程实验指导57

39、图 11.2你的任务是： 1） 计算现有交通网络（不包括点线）的可达性矩阵，给出最易到达的地点； 2） 如果增加这条环线，计算该交通网络（包括点线）的可达性矩阵，并给出最易到达的 地点； 3） 在可达性方面有什么改进，哪些地点的可达性增长最大。 已知商业活动较大程度地依赖于可达性级别，在该城市范围的商业活动会如何？换言之， 如果环线建好，城市的商业活动地点可能会有哪些？3 3田径赛的时间安排田径赛的时间安排假设某校的田径选拔赛共设六个项目的比赛，即跳高，跳远，标枪，铅球，100 米和 200 米短跑，规定每个选手至多参加三个项目的比赛。现有七名选手报名，选手所选项目 如表 11.1 所示。现在

40、要求设计一个比赛日程安排表，使得在尽可能短的时间内完成比赛。表 11.1 参赛选手比赛项目表姓 名项目 1项目 2项目 3赵 宁跳 高跳 远铅 球钱 虎跳 远100 米孙 正跳 高200 米李 江200 米标 枪铅 球杨 众跳 远铅 球跳高刘 平铅 球跳 高200 米王 跃标 枪跳 远100 米abchikgdejf数学实验课程实验指导58实验 12 改进技术的最佳实施问题综合实验一、实验目的及意义一、实验目的及意义1 学习由实际问题去建立数学模型的全过程； 2 训练综合应用经营管理、函数拟合和非线性规划的知识分析和解决实际问题； 3 熟练应用 matlab 软件的优化工具箱、函数拟合等功能，

41、设计 matlab 程序来求解其 中的数学模型； 4 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力； 5 培养团结协作的精神。 通过多人合作完成该实验，学习如何分工合作，学习如何从模糊而不太精确的信息中， 经查阅资料、分析和讨论，弄清受制约的因素，与其他方面之间的关系，各种可行方案， 特别要弄清要达到的目标，以及公司现阶段的总体经营目标和策略。学习在做出对任务及 其目标的精确陈述的基础上，建立数学模型，确定求解方法求出结果，对模型及结果进行 检验。这对于培养团队精神，提高学生综合处理问题的能力是很有意义的。二、二、实验内容实验内容1 数学建模的基本要素和步骤； 2 函数拟合与优化技术的灵活应用；

42、3 熟悉使用 MATLAB 语言的编程要领；三、实验步骤三、实验步骤1归纳提炼问题，给出简练而精确的问题重述； 2根据问题的条件和要求作出合理假设； 3建立函数拟合与优化模型； 4编写 M 文件,保存文件并运行观察运行结果(数值或图形)，并进行误差分析和灵敏 度分析； 5分析模型的优缺点，提出改进思路，进一步还可实现对模型的改进思路； 6写出论文。四、实验要求与任务四、实验要求与任务学生 23 人自由组合解决下述问题，写出论文，论文应包括：1）摘要（300 字左 右） ；2）问题的重述 3）模型假设及符号说明；4）问题的分析及模型的设计（可设计多个 模型） ；5）求解方法、结果的分析和检验；6）模型的优缺点及改进方向；7）作为附录附 上必要的计算机程序。改进技术的最佳实施问题改进技术的最佳实施问题维那高技术研究所是开发军用光学仪器的机构。它所属的公司也生产民用照相机，该 研究所开发了一种新的军用数字技术被允许商用。公司对新老两种类型的相机拥有专利，数学实验课程实验指导59老型号为 W100，新型号为 W200X。公司计划将它现有的工厂升级，以便能生产 W200X 型的 相机。 公司现在拥有三个生产企业，都生产普通的 W100 型相机。这些企业需要一定费用才 能升级（技术革新和工人培训） 。工人数和升级费用如下： 工厂 工人数 升级费Gotham