赵静数学实验实验指导书2015.doc

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1、数学建模与数学实验实验指导书（3+1）实验一：matlab编程学时：2学时实验目的：熟悉matlab编程，掌握用matlab进行函数拟合的方法。实验内容：1. 写一个函数rs=f(s)，对传进去的字符串变量s，删除其中的小写字母，然后将原来的大写字母变为小写字母，得到rs返回。例如s=”aBcdE,Fg?”，则rs=”be,f?”。提示：可利用find函数和空矩阵。2. f(x)的定义如下： 写一个函数文件f(x)实现该函数，要求参数x可以是向量。3. 求100,999之间能被23整除的数的个数。提示：可利用find和length函数。4. 一个自然数是素数，且它的各位数字位置经过任意对换之后

2、仍为素数，则成为绝对素数。例如113是绝对素数。试求所有三位的绝对素数。5. 根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型（Logistic模型）中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。美国人口统计数据年 份1790180018101820183018401850人口(106)3.95.37.29.612.917.123.2年 份1860187018801890190019101920人口(106)31.438.650.262.976.092.0106.5年 份193019401950196019701980人口(106)123.2

3、131.7150.7179.3204.0226.5提示：l 选择的一般形式是： if expression commands end 如果在表达式(expression)里的所有元素为真，就执行if和end语句之的命令串commands.l 允许一组命令以固定的和预定的次数重复的形式是： for x=array commands end在for和end语句之间的命令串commands按数组（array）中的每一列执行一次. 在每一次迭代中，x被指定为数组的下一列，即在第n次循环中，x=array(：，n)l 一些常用函数：n sum(a) ：对数组a求和；若a为一矩阵，对a的每一列求和（得到一

4、行向量）；sum(a,2)对每一行求和。n max(a),min(a)的用法和sum一样。n find(a)：找到a中不为0的元素的下标；find(a=2)：找到a中等于2的元素的下标n length(a)：数组a的长度n 字符串连接：s=s1, s2,num2str(1234)l 函数如下定义：function 返回值=函数名（自变量名）文件名.m必须和函数名一样，如果不一样，函数以文件名为主。l 人口模型：n 指数增长模型：n Logistic模型：n 可参考拟合函数：a=lsqcurvefit(example_curvefit_fun,a0,x,y);实验二：Lingo求解线性规划问题学

5、时：4学时实验目的：掌握用Lingo求解线性规划问题的方法，能够阅读Lingo结果报告。实验内容：（选做两题以上）1、求解书本上P130的习题1：某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表1所示，按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税，此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程序越高）；3）所购证券的平均到期年限不超过5年。表 1证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A市政294.3B代办机构2155.4C政府1

6、45.0D政府134.4E市政524.5（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？列出线性规划模型，然后用Lindo求解，根据结果报告得出解决方案。2、建立模型并求解P130页第3题。（建立线性规划模型的技巧：问什么假设什么，如何雇用即雇用多少全时服务员以12:00-1:00为午餐, 雇用多少全时服务员以1:00-2:00为午餐，雇佣多少从9:00、10:00、11:00、12:00、1:

7、00开始工作的半时服务员）。3、指派问题：6个人计划做6项工作，其效益如下表（”-”表示某人无法完成某项工作），求一种指派方式，使得每个人完成一项工作，并使得总收益最大。所建模型最好具有推广性。人工作1工作2工作3工作4工作5工作61201516547217153312863912181630134128112719145-7102110326-611134、有限制的运输问题：6个发点6个收点，其供应量、接收量和运费如下表1（”-”表示某个发电无法向某个收点运输货物），如果某个发点向某个收点运输货物，则运输量不得低于15个单位。求运输方案，使得总费用最小。所建模型最好具有推广性。收点1收点2收

8、点3收点4收点5收点6供应量发点120151654720发点2171533128630发点39121816301350发点41281127191440发点5-71021103230发点6-6111330接受量305040303020提示：l 第1题可参考书上4.1节。模型可以如下建立：设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为x1,x2,x3,x4,x5 万元.max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5x2+x3+x4=400x1+x2+x3+x4+x5=1000(2x1+2x2+x3+x4+5x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)=1.4(9x1+

9、15x2+4x3+3x4+2x5)/(x1+x2+x3+x4+x5)”与“=”功能相同。2. 变量与系数间相乘必须用”*”号，每行用”;”结束。3. 变量以字母开头，不能超过8个字符。4. 变量名不区分大小写（包括关键字）。5. 目标函数用min=3*x1+2*x2或max=3*x1+2*x2的格式表示。6. “!”后为注释。7. 变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4种：bin(x) 限制x为0或1bnd(L,x,U) 限制LxUfree(x) 取消对变量x的默认下界为0的限制，即x可以取任意实数gin(x) 限制x为整数其他可见“Lingo教程.doc”l 书上85页的Lindo代

10、码可改为如下Lingo代码：max=72*x1+64*x2;x1+x250;12*x1+8*x2480;3*x1=350;x1=100;2*x1+x2=600;然后点击工具条上的按钮 即可。l 例： 使用LINGO软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如下表。单位 销地运价产地B1B2B3B4B5B6B7B8产量A16267425960A24953858255A35219743351A47673927143A52395726541A65522814352销量3537223241324338可建立如下模型：使用LINGO软件，编制程序如下：model:!6发点8收点运输问题;s

11、ets: warehouses/wh1.wh6/: capacity; vendors/v1.v8/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume;endsets!目标函数; min=sum(links: cost*volume);!需求约束; for(vendors(J): sum(warehouses(I): volume(I,J)=demand(J);!产量约束; for(warehouses(I): sum(vendors(J): volume(I,J)=capacity(I);!这里是数据;data: capacity=60 55

12、51 43 41 52; demand=35 37 22 32 41 32 43 38; cost=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3;enddataend实验三：matlab数值计算学时：2学时实验目的：1. 掌握用matlab进行插值、拟合、方程求解等数值计算的方法。2. 掌握用matlab求微分方程和微分方程组的数值解的方法。实验内容：（任选两题以上）1. 某气象观测站测得某日6:00-18:00之间每隔2小时的温度如下：时间6810

13、12141618温度18202225302824 试用三次样条插值求出该日6:30,8:30,10:30,12:30,14:30,16:30的温度。 2. 已知lg(x)在1，101区间11个整数采样点x=1:10:101的函数值lg(x)，试求lg(x)的5次拟合多项式p(x)，并分别绘制出lg(x)和p(x)在1，101区间的函数曲线。3. 求以下非线性方程组的解：4. 求以下有约束最值：5. 求解书上P138，P139页的微分方程和微分方程组，画出书中图7、8和图3、4、5、6。提示：l 一维插值：Y1=interp1(X,Y,X1,method)1. 函数根据X、Y的值，计算函数在X1

14、处的值。X、Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有linear(线性插值)、nearest(最近插值)、spline(三次样条插值)、cubic（三次多项式插值），缺省值是linear。l 多项式拟合：P,S=polyfit(X,Y,m)1. 函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。2. 其中X、Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量。l 单变量非线性方程求解：x,fval=fzero(f,x0,tol)l x,fval = fmi

15、ncon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)1. fun是一个函数文件function f = fun(x)。x0是初始值。2. A,Aeq是一个矩阵；b,beq是一个列向量。Ax=b是不等式约束。3. lb和ub是和x一样大小的列向量，规定每个分量的上下界。4. nonlcon是函数文件，有特定格式function c,ceq = mycon(x)，描述非线性约束c(x)和ceq(x)。5. 没有整数约束，0-1约束，敏感性分析。l 要求解微分方程（组）dy/dt=f(t,y)，可如下调用：T,Y=ode45(f,t0,tn,y0)函数在求解区间t0,tn内，

16、自动设立采样点向量T，并求出解函数y在采样点T处的样本值Y。f是一个函数，要有两个参数，第一个参数是自变量t，第二个参数是因变量y。y0=y(t0)给定方程的初值。例：求微分方程初值问题dy/dx=-2y/x+4x，y(1)=2在1，3区间内的数值解，并将结果与解析解进行比较。先建立一个该函数的m文件fxy1.m：function f=f(x,y)f=-2.*y./x+4*x %注意使用点运算符再输入命令：X,Y=ode45(fxy1,1,3,2);X %显示自变量的一组采样点Y %显示求解函数与采样点对应的一组数值解(X.2+1./X.2) %显示求解函数与采样点对应的一组解析解例: 求解常

17、微分方程组初值问题在区间0,2中的解。建立一个函数文件 fxy2.m：function f=f(x,y)f(1)=y(2); f(2)=-x.*y(2)+x.2-5;f=f;在MATLAB命令窗口，输入命令：X,Y=ode45(fxy2,0,2,5,6)实验四：Lingo求解图论问题学时：2学时实验目的：把最短路径、最大流、最小生成树、旅行商、关键路径等图论问题转化为数学规划模型，并用Lingo进行求解。实验内容：把以下图从v0到v6最短路径问题转化为数学规划模型，并用Lingo进行求解。提示：最短路径问题的数学规划模型为： 实验五：matlab统计工具箱学时：4学时实验目的：1. 用matl

18、ab计算基本统计量，常见概率分布的函数，参数估计，假设检验。2. 掌握matlab进行回归分析的方法。实验内容：1、某校60名学生的一次考试成绩如下:93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 551)计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；2)检验分布的正态性；3)若检验符合正态

19、分布，估计正态分布的参数并检验参数.2、据说某地汽油的价格是每加仑115美分，为了验证这种说法，一位学者开车随机选择了一些加油站，得到某年一月和二月的数据如下：一月：119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118二月：118 119 115 122 118 121 120 122 128 116 120 123 121 119 117 119 128 126 118 1251）分别用两个月的数据验证这种说法的可靠性；2）分别给出1月和2月汽油价格的置信区间；3）给出1月和2月汽油价格

20、差的置信区间.3、财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。年份国民收入（亿元）工业总产值(亿元)农业总产值（亿元）总人口（万人）就业人口（万人）固定资产投资（亿元）财政收入(亿元)19525983494615748220729441841953586455475587962136489216195470752049160266218329724819557375585296146522328982541956825715556628282301815026819578377

21、985756465323711139286195810281235598659942660025635719591114168150967207261733384441960107918704446620725880380506196175711564346585925590138271196267796446167295251106623019637791046514691722664085266196494312505847049927736129323196511521581632725382867017539319661322191168774542298052124661967124

22、916476977636830814156352196811871565680785343191512730319691372210168880671332252074471970163827477678299234432312564197117803156790852293562035563819721833336578987177358543546581973197836848558921136652374691197419933696891908593736939365519752121425493292421381684626921976205243099559371738834443

23、6571977218949259719497439377454723197824755590105896259398565509221979270260651150975424058156489019802791659211949870541896568826198129276862127310007273280496810提示：l 对随机变量x，计算其基本统计量的命令如下：n 均值：mean(x)n 中位数：median(x)n 标准差：std(x) n 方差：var(x)n 偏度：skewness(x) n 峰度：kurtosis(x)l 总体方差sigma2已知时，总体均值的检验使用 z

24、-检验h,sig,ci = ztest(x,m,sigma,alpha,tail)检验数据 x 的关于均值的某一假设是否成立，其中sigma 为已知方差， alpha 为显著性水平，究竟检验什么假设取决于 tail 的取值：tail = 0，检验假设“x 的均值等于 m ”tail = 1，检验假设“x 的均值大于 m ”tail =-1，检验假设“x 的均值小于 m ”tail的缺省值为 0， alpha的缺省值为 0.05.返回值 h 为一个布尔值，h=1 表示可以拒绝假设，h=0 表示不可以拒绝假设，sig 为假设成立的概率，ci 为均值的 1-alpha 置信区间.l 总体方差sigm

25、a2未知时，总体均值的检验使用t-检验 h,sig,ci = ttest(x,m,alpha,tail)l 两总体均值的假设检验使用 t-检验 h,sig,ci = ttest2(x,y,alpha,tail)l 第3题可用逐步回归。stepwise（x,y）。n 运行stepwise命令时产生三个图形窗口：Stepwise Plot，Stepwise Table，Stepwise History.n 在Stepwise Plot窗口，显示出各项的回归系数及其置信区间.n Stepwise Table 窗口中列出了一个统计表，包括回归系数及其置信区间，以及模型的统计量剩余标准差（RMSE）、相

26、关系数（R-square）、F值、与F对应的概率P.l “有进有出”的逐步回归分析n 从一个自变量开始，视自变量Y作用的显著程度，从大到地依次逐个引入回归方程。n 当引入的自变量由于后面变量的引入而变得不显著时，要将其剔除掉。n 引入一个自变量或从回归方程中剔除一个自变量，为逐步回归的一步。n 对于每一步都要进行Y值检验，以确保每次引入新的显著性变量前回归方程中只包含对Y作用显著的变量。n 这个过程反复进行，直至既无不显著的变量从回归方程中剔除，又无显著变量可引入回归方程时为止。实验六：matlab随机模拟学时：2学时t107am,ai = min(a);t = am;a(ai) = t +

27、normrnd(1500,500);cost1 = cost1 + 20 + 10;输出cost1t=0;cost2=0;a=normrnd(1500,500,4,1)t107am,ai = min(a);t = am;a= t + normrnd(1500,500,4,1);cost2 = cost2 + 40 + 40;输出cost2实验目的：掌握matlab进行随机模拟的方法。实验内容：（任选一题）1、某设备上安装有四只型号规格完全相同的电子管，已知电子管寿命为均值为1500小时，标准差为500小时的正态分布。当电子管损坏时有两种维修方案，一是每次更换损坏的那一只；二是当其中一只损坏时四

28、只同时更换。已知更换时间为换一只时需1小时，4只同时换为2小时。更换时机器因停止运转每小时的损失为20元，又每只电子管价格10元，试用模拟方法编程决定哪一个方案经济合理？已知matlab中normrnd(mu,sigma,m,n)可产生m*n大小的服从均值为mu，标准差为sigma的正态分布随机数。可参考右边流程。2. 某报童以每份0.03元的价格买进报纸,以0.05元的价格出售. 根据长期统计,报纸每天的销售量及百分率为 销售量200210220230240250百分率0.100.200.400.150.100.05已知当天销售不出去的报纸，将以每份0.02元的价格退还报社.试用模拟方法确定报童每天买进报纸数量,使报童的平均总收入为最大?