2013线性代数试卷A 参考答案和评分标准.doc

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1、第 1 页 共 4 页2012-2013 学年第学年第 2 学期学期 线性代数线性代数 A 参考答案和评分标准参考答案和评分标准一、选择一、选择题题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. D 2. B 3. C 4. C 5. D二、填空题（本大题共填空题（本大题共5小题，每小题小题，每小题4分，满分分，满分20分）分）6. 7. 8. 9. ， 10. 2 2/110010002/1TTkk) 1 , 0 , 1 ()0 , 1 , 1(213 421n）（三、计算题三、计算题11.解（1）ABT=120 340 12122 34 10 .2 分 =86 1810 310

2、 .4 分（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=120 340 1212 .6 分所以|4A|=64（-2）=-128.8分 12.（满分（满分8 8分）分）解解 把各行都加到第一行上去，得 D = .2 分3111131111316666提出就第一行的公因子 6，然后各行减去第一行，得 D = 6.4 分3111131111311111=6.6 分 =48 .8 分200002000020111113.( (满分满分 7 7 分分) ) 解: 由题意,存在可逆矩阵,使得 ,即 .2分P1P AP 1AP P.5分 1AEP PE1()PE PE =.7分 20 012四、解答题四

3、、解答题14.( (满分满分 1010 分分) )解：),(bA a51223111201 211011101201a 300011101201a1.5CM第 2 页 共 4 页（1）3a时，方程组无解，3a时，方程组有解； .5 分（2）3a时，),(bA 000011101201，.8 分333231 121xxxxxx， 全部解为 112011 k.10 分15.( (满分满分 1010 分分) ) 解: 对矩阵 A 施行初等行变换 A 12102 00062 03282 09632 12102 03283 00062 00021712102 03283 00031 00000=B. .

4、4 分（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3. .6 分 （2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而 B 是阶梯形，B 的第 1、2、4 列 是 B 的列向量组的一个最大线性无关组，故 A 的第 1、2、4 列是 A 的列向量组的一个最 大线性无关组。 （A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列，或 1、3、5 列也是）.10 分 16.(满分满分 8 分分) 解：设是所对应的特征值，则A，即 1111112135212 ba，从而 121ba，可得3a，0b，1；.5 分对于1，解齐次方程组0)(xAE： AE 201335212 101325213 213325101

5、 110220101 000110101， 333231xxxxxx，基础解系为 111，属于1的全部特征向量为k 111，k为任意非零实数.8分17.（满分（满分 8 8 分）分）第 3 页 共 4 页解：二次型的矩阵为 110121011 A 111121011111201110121011|AE) 3)(1(1101) 3(101131001，特征值01，12，33.3分对于01，解齐次线性方程组0)(xAE： 000110101110121011 AE，333231xxxxxx， 1111，单位化为 3/13/13/11p；对于12，解齐次线性方程组0)(xAE： 0000101010

6、10111010 AE， 33231 0xxxxx， 1012，单位化为 2/102/12p；对于33，解齐次线性方程组0)(xAE： 000210101210111012 AE，333231 2xxxxxx ， 1213，单位化为 6/16/26/13p令 6/12/13/16/203/16/12/13/1 P，6 分则 P 是正交矩阵，使得APPT 300010000，经正交变换Pyx 后，原二次型化为标准形2 32 22 130yyyf .8 分五、证明题五、证明题18. ( (满分满分 6 6 分分) ) 证: 由假设 A0=b，A1=0，A2=0. （1）A1=A（0+1）=A0+A1=b,同理 A2= b, 所以 1,2是 Ax=b 的 2 个解。 .3 分第 4 页 共 4 页（2）考虑 l00+l11+l22=0，即（l0+l1+l2）0+l11+l22=0。则 l0+l1+l2=0，否则 0将是 Ax=0 的解，矛盾。所以 l11+l22=0。又由假设，1，2线性无关，所以 l1=0，l2=0，从而 l0=0 。所以 0，1，2线性无关。 .3 分