2015线性代数试卷A答案和评分标准.doc

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1、第 1 页 共 5 页20152015 线性代数试卷线性代数试卷 A A 答案和评分标准答案和评分标准一、选择一、选择题题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. A2. C3 B4. B5. D二、填空题（填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）6. 17. 2 38. 249. 110. 22 231323222xxx xx x11.( (满分满分 7 7 分分) ) 解： .3 分1111 1011=31101 1110原式.5 分1111 010030010 0001 .7 分3 第 2 页 共 5 页12.（满分（满分 8 8 分）分） 解： 0010101

2、10132254121110010001121254132100010001375254132 ),(EA 450221110230110121221450110110230121 213012103100010021213221110100110121， .6 分 213012121100010001所以 .8 分1A 21301212113.( (满分满分 8 8 分分) ) 解: 第一个年龄组的个生物, 经过 10 年龄为, 由于存活率是 50%, 所以 10 天nx10, 20)后, 第二个年龄组的生物个数. .2 分11 2nnyx同理第二个年龄组的个生物, 经过 10 天年龄为,

3、由于存活率是 25%, 故ny20,30). 而第三个年龄组的个生物, 经过 10 天全部死亡. .4 分11 4nnzynz第二个年龄组的个生物, 在这 10 天当中繁殖的新生命有个, 其年龄是, ny2ny10, 20)第三个年龄组的个生物, 在这 10 天中繁殖的新生命有个, 所以nz3 2nz1322nnnxyz.6 分 因此有 111322 1 2 1 4nnnnnnnxyzyxzy 用矩阵乘法表示第 3 页 共 5 页1113022 1002 1004nnnnnnxxyyzz 于是.8分3022 1002 1004A 四、解答题四、解答题14.( (满分满分 9 9 分分) ) 解

4、: 方程组的增广矩阵 000001221011101133211221001111 A .2 分可知2)()( ArAr4，方程组有无穷多解 .4 分由同解方程组 432431 2211xxxxxx求出方程组的一个特解T)0 , 0 , 1 , 1(*,导出组的一个基础解系为TT) 1 , 0 , 2, 1 (,)0 , 1 , 2, 1 (21 .7 分 从而方程组的通解为TTTcccc) 1 , 0 , 2, 1 ()0 , 1 , 2, 1 ()0 , 0 , 1 , 1(212211*21,(cc为任意常数） .9 分第 4 页 共 5 页15.( (满分满分 9 9 分分) )解:1

5、2341130113022240484(,)0020002015060636TTTT 11301130012101210010001002120030 .5分向量组的秩是 3， .7分一个极大线性无关组为123, .9分16.(满分满分 9 分分) 解 由XAEAX3,得EAXEA3)( .2 分又由 010001110100010001110011111 EA可逆 .5分由EAXEA3)(,可得)()(2EAAEAXEA两边左乘1)( EA,得到 .7 分 3311233221000100011100111111211022102EAAX .9分113011001001 0121010101

6、01 001000100010 000000000000 第 5 页 共 5 页17.（满分（满分 9 9 分）分） 解解 二次型的矩阵为= .2 分A 310130004求得的特征值为1=2, 2=3=4 .4 分 A 对应于 1，2，3的标准正交特征向量分别为，, .6 分111(0,)22T2(1,0,0)T311(0,)22T于是 =是一个正交矩阵，且满足 .8 分P 21 2121 210001012 4 4TP APP AP 所以取正交变换 xPy可化为 .9 分f222 123( )244f xyyy五、证明题五、证明题18. ( (满分满分 6 6 分分) )证 由于向量组线性相关，故存在不全为零的常数，使得321,321,kkk.2 分0332211kkk其中必有。否则，如果，则上式化为01k01k03322kk其中不全为零，由此推出线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无32,kk32,关的条件矛盾 .4 分 类似地，可证明 .6 分0, 032kk