高中数学解题基本方法换元法.doc

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1、高中数学解题基本方法换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化， 这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变 换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂 问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起 来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的 计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研 究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

2、换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已 知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x2x20，先变形为设 2xt（t0），而变 为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数 yx1 x的值域时，易发现 x0,1，设 xsin2 ，0, 2，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件x2y2r2（r

3、0）时，则可作三角代换 xrcos、yrsin 化为三角问题。均值换元，如遇到 xyS 形式时，设 xS 2t，yS 2t 等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量 范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的 t0 和 0, 2。、再现性题组：、再现性题组： 1.ysinxcosxsinx+cosx 的最大值是_。2.设 f(x21)log a(4x4) （a1） ，则 f(x)的值域是_。3.已知数列an中，a11，an1anan1an，则数列通项an_。4.设实数 x、y 满足 x22xy10，则 xy 的

4、取值范围是_。5.方程13 13 xx3 的解是_。6.不等式 log2(2x1) log2(2x12)2 的解集是_。【简解】1 小题：设 sinx+cosxt2,2，则 yt22t1 2，对称轴t1，当 t2，ymax1 22；2 小题：设 x21t (t1)，则 f(t)loga-(t-1)24，所以值域为(,loga4；3 小题：已知变形为11an1 an1,设 bn1 an，则 b11,bn1(n1)(-1)n，所以 an1 n；4 小题：设 xyk，则 x22kx10, 4k240,所以 k1 或 k1；5 小题：设 3xy，则 3y22y10,解得 y1 3，所以 x1；6 小题

5、：设 log2(2x1)y，则 y(y1)0，求 f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a2的最大值和最小值。【解】 设 sinxcosxt，则 t-2,2，由(sinxcosx)212sinxcosx 得：sinxcosxt21 2 f(x)g(t)1 2(t2a)21 2（a0） ，t-2,2t-2时，取最小值：2a222a1 2当 2a2时，t2，取最大值：2a222a1 2；当 00恒成立，求 a 的取值范围。 （87 年全国理）y, , 2 2 x【分析】不等式中 log241()a a、 log22 1a a 、log2()a a1 422三项有何联系？进行对数式的有关

6、变形后不难发现，再实施换元法。【解】 设 log22 1a a t，则log241()a alog281 2()a a3log2a a1 23log22 1a a 3t，log2()a a1 4222log2a a1 22t，代入后原不等式简化为（3t）x22tx2t0，它对一切实数 x 恒成立，所以：3048 302 tttt()，解得ttt306或 t0 恒成立，求 k 的范围。【分析】由已知条件()x 1 92 ()y 1 162 1，可以发现它与 a2b21 有相似之处，于是实施三角换元。【解】由()x 1 92 ()y 1 162 1，设x 1 3cos，y 1 4sin，即：xy

7、1314cossin代入不等式 xyk0 得：3cos4sink0，即 k0 (a0)所表示的区域为直线 axbyc0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向 的一部分。此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭 圆上的点始终位于平面上 xyk0 的区域。即当直 线 xyk0 在与椭圆下部相切的切线之下时。当 直线与椭圆相切时，方程组yxxyk0k 平面区域16191144022()()xyxyk 有相等的一组实数解，消元后由0 可求得 k3,所以k0)，则 f(4)的值为_。A. 2lg2 B. 1 3lg2 C. 2 3lg2 D. 2 3lg42. 函数 y(x1)42 的单调增区间是_。A. -

8、2,+) B. -1,+) D. (-,+) C. (-,-13. 设等差数列an的公差 d1 2，且 S100145，则 a1a3a5a99的值为_。A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.54. 已知 x24y24x，则 xy 的范围是_。5. 已知 a0，b0，ab1，则a 1 2b1 2的范围是_。6. 不等式xax3 2的解集是(4,b)，则 a_，b_。7. 函数 y2xx 1的值域是_。8. 在等比数列an中，a1a2a102，a11a12a3012，求a31a32a60。9. 实数 m 在什么范围内取值，对任意实数 x，不等式 sin2x2mcosx4m10,y0)上移动，且 AB、AD 始终平行 x 轴、y 轴，求矩形 ABCD 的最小面积。 y D CA BO x