2022年高中数学解题基本方法换元法3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学解题基本方法换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法；换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换争论对象, 将问题移至新对象的学问背景中去争论,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简洁化,变得简洁处理；换元法又称帮助元素法、变量代换法； 通过引进新的变量, 可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来；或者变为熟识的形式,把复杂的运算和推证简化；它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在争论方程、不等式、函

2、数、数列、三角等问题中有广泛的应用；换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等；局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中, 某个代数式几次显现,4而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发觉；例如解不等式：x 2x20,先变形为设2xt （t0 ）,而变为熟识的一元二次不等式求解和指数方程的问题；三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角学问中有某点联系进行换元；如求函数 yx 1 x 的值域时,易发觉 x0,1,设 xsin 2 , 0, ,问题变成了熟识的求三角函数值域；为什么会想到如此设,其中2主要应当是发觉值域的联系,又有去根号的需

3、要；如变量 x、y 适合条件 x 2y 2 r 2（r0 ）时,就可作三角代换 x rcos 、yrsin 化为三角问题；均值换元,如遇到 xyS 形式时,设 xSt ,ySt 等等；2 2我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原就,换元后要留意新变量范围的选取, 肯定要使新变量范畴对应于原变量的取值范畴,不能缩小也不能扩大；如上几例中的 t0 和 0,2 ；、再现性题组：1.y sinx cosx sinx+cosx 的最大值是 _；2. 设 fx 21 log a 4 x 4 （a1）,就 fx 的值域是 _；3. 已知数列 a n 中, a 1 1,a n 1a n a n

4、1a n ,就数列通项 a n _ ；4. 设实数 x、y 满意 x2 2xy10,就 xy 的取值范畴是 _；名师归纳总结 5. 方程1 13x第 1 页,共 13 页x3 的解是 _；3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 不等式 log 2 2x 1 log 2 2x 1 2 2 的解集是 _；2【简解】1 小题：设 sinx+cosx t 2 , 2 ,就 yt t 1,对称轴 t 1,2 2当 t 2 ,y max 12 ；22 小题：设 x 2 1 t t 1 ,就 ftlog a -t-1 2 4 ,所以值域为 ,log a4 ；3 小

5、题： 已知变形为 11 1, 设 b n 1,就 b1 1,b n 1n 1-1a n 1 a n a n n,所以 a n 1 n；4 小题：设 xyk,就 x 2 2kx 10, 4k 2 40, 所以 k1 或 k 1；5 小题：设 3 xy,就 3y 22y1 0, 解得 y1,所以 x 1；36 小题： 设 log 22 x1 y,就 yy 12 ,解得 2y0,求 fx 2asinx cosx sinx cosx 2a2 的最大值和最小值；, y , 【解】 设 sinx cosx t ,就 t -2 ,2 ,由sinx cosx22 x2 12sinx cosx 得： sinx

6、cosx t221 fxgt 1 2t 2a2 1 2（a0）,t -2 ,2 t -2 时,取最小值：2a2 22 a1 2当 2a2 时, t 2 ,取最大值：2a222 a1 2；当 00aa142恒成立,求a 的取值范畴； （87 年全国理）2 a、log 2a1 2【分析】不等式中log 24 a1、 log2三项有何联系？进行对4 a2aa1数式的有关变形后不难发觉,再实施换元法；【解】设 log 22at ,就 log 24a1 log 28a1 3log 2a13loga1a2 a2 a22a3t ,log 2aa1 22log 2a1 2t ,a1422 a代入后原不等式简化

7、为（3t ）x2 2tx 2t0 ,它对一切实数x 恒成立,所以：3t4 t08 3t0,解得t3t6 t0 即 log 22a0 2t0 或a102 aa11,解得 0a0 恒成立,求k 的范畴；916【分析】由已知条件x1 2y1 21,可以发觉它与a2b2 1 有相像之处,916于是实施三角换元；【解】由x1 2y1 21,设x31cos ,y41sin ,916即：x13cos代入不等式xyk0 得：y14sin3cos 4sin k0,即 k3cos 4sin 5sin + 所以 k0 a0 所表示的区域为直线axbyc0 所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分；x x yk0 平

8、面区域此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始y 终位于平面上xyk0 的区域；即当直线xy k0 在与椭圆下部相切的切线之下时；当直线与椭圆相切时,方程组16 x1 29 y1 2144有相等的xyk0一组实数解, 消元后由 0 可求得 k 3, 所以 k0,就 f4 的值为 _；A. 2lg2 B. 1 lg2 C. 2 lg2 D. 2 lg4 3 3 32. 函数 yx 1 42 的单调增区间是 _；A. -2,+ B. -1,+ D. - ,+ C. -,-1 3. 设等差数列 a n 的公差 d1,且 S100 145,就 a1 a 3 a 5 a 99 的值为2_；A. 8

9、5 B. 72.5 C. 60 D. 52.5 4. 已知 x 2 4y 2 4x,就 xy 的范畴是 _；5. 已知 a0,b 0,ab1,就 a 1b 1 的范畴是 _；2 26. 不等式 x ax3 的解集是 4,b ,就 a _,b_；27. 函数 y2xx 1的值域是 _；8. 在等比数列 a n 中, a1 a 2 a10 2,a 11 a 12 a 30 12,求 a 31 a 32 a 60 ；9. 实数 m 在什么范畴内取值,对任意实数x,y D C x 不等式 sin2x2mcosx4m 10,y0上移动,且AB、 AD始终平行 x 轴、 y 轴,求矩形ABCD的最小面积；

10、名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后依据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式 fx gx 的充要条件是：对于一个任意的 a 值,都有 fa ga ；或者两个多项式各同类项的系数对应相等；待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程；使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判定一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的

11、数学表达式,假如具有,就可以用待定系数法求解；例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、 解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解；使用待定系数法,它解题的基本步骤是：第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式；其次步,依据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程；第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决；如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方面着手分析：利 用对应系数相等列方程；由 恒等的概念用数值代入法列方程；利 用定义本身的属性列方程；利 用几何条件列方程；比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程：第一设所求方

12、程的形式,其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最终解所得的方程或方程组求出未知的系数,并把求出的系数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程；、再现性题组：1. 设 fxxm,fx 的反函数 f 1 x nx5,那么 m、n 的值依次为 _；2A. 5 , 2 B. 5, 2 C. 5 , 2 D. 5, 2 2 2 2 22. 二次不等式 ax 2 bx20 的解集是 1 ,1 ,就 ab 的值是 _；2 3A. 10 B. 10 C. 14 D. 14 3. 在1 x 3 （1x）10 的绽开式中, x 5 的系数是 _；A. 297 B. 252

13、 C. 297 D. 207 3 14. 函数 yabcos3x b0 的最大值为,最小值为,就 y 4asin3bx 的最小2 2正周期是 _；名师归纳总结 5. 与直线 L：2x 3y5 0 平行且过点A1,-4的直线 L的方程是 _；第 9 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 与 双 曲 线x2 2 y4 1 有 共 同 的 渐 近 线 , 且 过 点 2,2的 双 曲 线 的 方 程 是_；【简解】 1 小题：由 fxx 2 m求出 f1 x 2x2m,比较系数易求,选C；2 小题：由不等式解集 1 ,1 ,可知1、1 是方

14、程 ax2 3 2 3两根,列出关于系数 a、 b 的方程组,易求得 ab,选 D；2 bx20 的两根,代入3 小题：分析x5 的系数由 C10 5 与 1C 10 2 两项组成,相加后得x5 的系数,选D；2；4 小题：由已知最大值和最小值列出a、b 的方程组求出a、b 的值,再代入求得答案35 小题：设直线 L 方程 2x3yc0,点 A1,-4代入求得 C10,即得 2x3y100；6 小题：设双曲线方程x2 2 y42 ,点2,2 代入求得 3,即得方程x32y121；、示范性题组：例1. 已知函数 ymx2x4 3xn的最大值为7,最小值为 1,求此函数式；21【分析】求函数的表达

15、式,实际上就是确定系数m、 n 的值；已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域,对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“ 判别式法”；【解】函数式变形为： y mx 2 4 3 xy n 0, x R, 由已知得 ym 0 4 3 2 4y my n 0 即： y 2 mny mn12 0 不等式的解集为 -1,7,就 1、7 是方程 y 2 mny mn12 0 的两根,1 m n mn 12 0 m 5 m 1代入两根得：解得：或49 7 m n mn 12 0 n 1 n 52 2 y 5 x2 4 3 x 1 或者 yx 4 32 x 5x 1 x 1此题也可由解集 -1,7

16、 而设 y 1y 7 0, 即 y 2 6y7 0,然后与不等式比较m n 6系数而得：,解出 m、n 而求得函数式 y；mn 12 7【注】在所求函数式中有两个系数 m、n 需要确定,第一用“ 判别式法” 处理函数值域问题,得到了含参数 m、n 的关于 y 的一元二次不等式,且知道了它的解集,求参数 m、 n；两种方法可以求解,一是视为方程两根,代入后列出m、n 的方程求解；二是由已知解集写名师归纳总结 出不等式,比较含参数的不等式而列出m、n 的方程组求解；此题要求对一元二次不等式的第 10 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解集概

17、念懂得透彻,也要求懂得求函数值域的“ 判别式法”：将 y 视为参数,函数式化成含参数 y 的关于 x 的一元二次方程,可知其有解, 利用 0, 建立了关于参数y 的不等式, 解出 y 的范畴就是值域,使用“ 判别式法” 的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程；例 2. 设椭圆中心在 2,-1,它的一个焦点与短轴两端连线相互垂直,且此焦点与长轴较近的端点距离是10 5 ,求椭圆的方程；【分析】 求椭圆方程, 依据所给条件, 确定几何数据a、b、c 之值,问题就全部解决了；设 a、b、c 后,由已知垂直关系而联想到勾股定理建立y B一个方程,再将焦点与长轴较近端点的距离转化为 a cx 的值后列

18、出其次个方程；【解】设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c,就 |BF|A F OFAa 2 2 2a2 b2 c2 a 10 B a a 2 b 解得：b 5a c 10 52 2 所求椭圆方程是：xy1 10 5也可有垂直关系推证出等腰 Rt BBF后,由其性质推证出等腰 Rt BOF ,再进行如下b c列式：a c 10 5,更简洁求出 a、b 的值；2 2 2a b c【注】圆锥曲线中,参数（a、b、c、 e、p）的确定,是待定系数法的生动表达；如何确定,要抓住已知条件,将其转换成表达式；在曲线的平移中,几何数据（a、 b、c、e）不变,此题就利用了这一特点,列出关于 ac 的等式；

19、一般地, 解析几何中求曲线方程的问题,大部分用待定系数法,基本步骤是： 设方程（或几何数据）几何条件转换成方程求解已知系数代入；例 3. 是否存在常数a、b、c,使得等式122 232 nn 12 n n 121 an2 bnc 对一切自然数n 都成立？并证明你的结论；（89 年全国高考题）【分析】是否存在, 不妨假设存在； 由已知等式对一切自然数n 都成立,取特别值 n1、2、3 列出关于a、 b、c 的方程组,解方程组求出a、b、c 的值,再用数学归纳法证明等式对全部自然数n 都成立；【解】假设存在 a、b、c 使得等式成立,令：n1,得 4161 4a 2bc ；n3,得 709a3bc

20、；整理得：2a b c 24 a 34 a 2 b c 44 , 解得 b 11,9 a 3 b C 70 c 10a bc ； n2,得 22名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 于是对n1、2、3,等式122 232 nn 12 n n 121 3n2 11n10成立,下面用数学归纳法证明对任意自然数 n,该等式都成立：假设对 nk 时等式成立,即 1 2 2 2 3 2 kk 1 2 k k 1 3k 2 11k10 ；12当 nk1 时, 12 2 23 2 kk 1 2 k 1k 2 2k k 1 3k 2

21、 11k1210 k 1k 2 2k k 1 k 2（ 3k5）k 1k 2 2 k 1 k 2 （ 3k12 122 5k12k24） k 1 k 2 3k 1 2 11k 1 10 ,12也就是说,等式对 nk1 也成立；综上所述,当 a8、b 11、c 10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立；【注】建立关于待定系数的方程组,在于由几个特别值代入而得到；此种解法中,也体现了方程思想和特别值法；对于是否存在性问题待定系数时,可以依据先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行；此题假如记得两个特别数列 1 3 2 3 n 3 、1 22 2 n 2 求和的公式, 也可以抓住通项的拆开,运用数

22、列求和公式而直接求解：由 nn 1 2n 3 2n 2n 得 S n 1 2 22 3 2 nn 1 2 1 32 3 n 3 21 2 2 2 n 2 12 22 n n n 1 2n n 1 2 n 1 n n 1 n n 1 3n 2 11n10 ,4 6 2 12综上所述,当 a8、b 11、c 10 时,题设的等式对一切自然数 n 都成立；例 4. 有矩形的铁皮, 其长为 30cm,宽为 14cm,要从四角上剪掉边长为 xcm 的四个小正方形, 将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问 x 为何值时, 矩形盒子容积最大,最大容积是多少？【分析】实际问题中,最大值、最小值的争论,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的争论；【解】依题意,矩形盒子底边边长为 30 2x