2022年高中数学解题基本方法之换元法.docx

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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换 争论对象, 将问题移至新对象的学问背景中去争论,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简洁化,变得简洁处理.换元法又称帮助元素法、 变量代换法. 通过引进新的变量, 可以把分散的条件联系起来, 隐含的条件显露出来, 或者把条件与结论联系起来. 或者变为熟识的形式, 把复杂的运算和推证简化.它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超

2、越式为代数式,在争论方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等.局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中, 某个代数式几次显现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发觉.例如解不等式：4 x 2 x 2 0,先变形为设2 x t （ t0 ）,而变为熟识的一元二次不等式求解和指数方程的问题.三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角学问中有某点联系进行换元.如求函数y x 1x 的值域时,易发觉x 0,1,设 xsin 2 , 0, ,问题变成了熟识的求三角函数值域.为什么会想到如此设

3、,其中2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（主要应当是发觉值域的联系,又有去根号的需要.如变量 x、y 适合条件x 2 y 2 r 2r0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,就可作三角代换x rcos 、y rsin 化为三角问题.SS可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_均值换元,如遇到x y S 形式时,设x t , y 22 t 等等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原就,换元后要留意新变量范围的选取, 肯定要使新变量范畴对应于原变量的取值范畴,不能缩小也不能扩大.如上几例中的

4、t0 和 0, .2、再现性题组：1.y sinx cosx sinx+cosx的最大值是 .a2. 设 fx2 1 log4 x 4 （ a1）,就 fx的值域是 .3. 已知数列 a n 中, a 1 1, a n 1 a n a n 1 a n ,就数列通项a n .4. 设实数 x、y 满意 x 2 2xy 10,就 xy 的取值范畴是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 方程13 xx 3 的解是 .13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx 16. 不等式 log 2 2 1 log 2 2 2 2 的解集是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

5、_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2【简解】 1 小题： 设 sinx+cosx t 2 ,2 ,就 y t21 t 1,对称轴 t 1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 t 2 , y max 2 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa2 小题：设 x 2 1 t t 1 ,就 ftlog-

6、t-12 4 ,所以值域为 ,log4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 小题： 已知变形为11a n 1a n1 1, 设 b n 1,就 b1 1,b n 1 n 1-1a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n,所以 a n .n4 小题：设x y k,就 x 2 2kx 1 0, 4k 2 4 0, 所以 k 1 或 k 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 小题：设3x y ,就 3y 2 2y 1 0, 解得 y 1,所以 x 1.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26 小题：设 log2 x 1 y,就 yy

7、12 ,解得 2y0,求 fx 2asinx cosx sinx cosx 2a 2 的,【解】设 sinx cosx t ,就t -2 ,2 ,由 sinx22x最大值和最小值.y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosx 2 1 2sinx cosx 得： sinx cosx t 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fxgt112t 2a222（ a0）, t -2 ,2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t -2 时,取最小值：2a 22 a2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 2a2 时, t 2 ,取最大值：2a 2

8、22 a 1.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a恒成立,求a 的取值范畴.（87 年全国理）2 a124a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4a12aa12可编辑资料

9、- - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】不等式中log 2、 log2aa、log 21三项有何联系？进行对4a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数式的有关变形后不难发觉,再实施换元法.2a4 a18 a1a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】设 log 2 a t ,就log 21 log 2a 3 log 22a 32a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log 22a 3 t , log 2a1a122 2log 24aa1 2t ,2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代

10、入后原不等式简化为（3t ） x 2 2tx 2t0 ,它对一切实数x 恒成立,所以：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 t04t 28t 3tt,解得0t30或t62a t0即 log 20a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a01,解得 0a0 恒成立,求k 的范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析】由已知条件于是实施三角换元.x129 y1 216 1,可以发觉它与a 2 b 2 1 有相像之处,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解】由 x129 y1216 1,设x

11、1 cos ,3y 1sin ,4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x13 cos 即：y14 sin 代入不等式x y k0 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3cos 4sin k0,即 k3cos 4sin 5sin + 所以 k0 a0所表示的区域为直线ax by c 0 所分平面成两部分中含x 轴正方向的一部分.此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终位于平面上x y k0 的区域.即当直线x yyk 0 在与椭圆下部相切的切线之下时.当直线与椭xx y k0k平面区域可编辑资料 - - - 欢迎

12、下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆相切时, 方程组16 x1 29 y12144有相等的一组实数解,消元后由0 可求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xyk0得 k 3, 所以 k0,就 f4的值为 .A. 2lg2B.1 lg2C.2 lg2D.2 lg43332. 函数 y x 1 4 2 的单调增区间是 .A. -2,+ B. -1,+ D. - ,+ C. - ,-13.设等差数列 a 的公差d 1 ,且S 145,就a a a a的值为2 .n10013599A. 85B. 72.5C. 60D. 52.54.已知 x 2 4y 2 4x,就 xy 的范畴是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5.已知 a0, b 0, a b1,就a12b12的范畴是 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 不等式x ax 3 的解集是 4,b,就 a , b .27