高中数学解题基本方法反证法.doc

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1、高中数学解题基本方法反证法 与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问 题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛 (Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾” 。 具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条 件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为 正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得 了证明。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律” 。在同一思维过程

2、中，两 个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律” ； 两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A 或者非 A”，这就是逻辑思维中的“排中 律” 。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律” ，这些矛盾的判断不能同 时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是 真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律” ，结论与“否定的结论”这一对立的 互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以 逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定

3、推理否定” 。即从否定结论开始，经 过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定 之否定” 。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立。实施的 具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法 证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这 种反证法又叫“归谬法” ；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面

4、情况一一驳 倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法” 。 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一” 。 一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式” 、 “至少”或“至多” 、 “唯一” 、 “无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接 证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分 干脆。 、再现性题组：、再现性题组： 1.已知函数 f(x)在其定义域内是减函数，则方程 f(x)0 _。 A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根2.已知 aab ab2 B.

5、 ab2aba C. aba ab2 D. ab ab2a3.已知 l，a ，b ，若 a、b 为异面直线，则_。 A. a、b 都与 l 相交 B. a、b 中至少一条与 l 相交 C. a、b 中至多有一条与 l 相交 D. a、b 都与 l 相交 4.四面体顶点和各棱的中点共 10 个，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法有 _。(97 年全国理) A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种【简解】1 小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾， 选 A； 2 小题：采用“特殊值法” ，取 a1、b0.5，选 D； 3 小题：从逐一假设

6、选择项成立着手分析，选 B；4 小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C104C64436,选 D。、示范性题组：、示范性题组： 例 1. 如图，设 SA、SB 是圆锥 SO 的两条母线，O 是底 面圆心，C 是 SB 上一点。求证：AC 与平面 SOB 不垂直。 【分析】结论是“不垂直” ，呈“否定性” ，考虑使用反 证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直” 。【证明】 假设 AC平面 SOB， 直线 SO 在平面 SOB 内， ACSO， SO底面圆 O， SOAB， SO平面 SAB， 平面 SAB底面圆 O， 这显然出现矛盾，所以假设不成立。 即 AC 与平面 SOB 不垂

7、直。 【注】否定性的问题常用反证法。例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为 已知条件推导出矛盾。例 2. 若下列方程：x24ax4a30， x2(a1)xa20, x22ax2a0 至少有一个方程有实根。试求实数 a 的取值范围。 【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根。 先求出反面情况时 a 的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案。 【解】 设三个方程均无实根，则有：12222221644301404420aaaaaa()()(),解得 3 21 211 3 20aaaa或,即3 2a1。所以当 a1 或 a3 2时，三个方程至少有一个方程有实

8、根。【注】 “至少” 、 “至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单。本题还用到了 “判别式法” 、 “补集法” （全集 R） ，也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根 时（0）a 的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集。两种解法，要求对不 等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻。例 3. 给定实数 a，a0 且 a1，设函数 yx ax 1 1(其中 xR 且 x1 a)，证明：.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于 x 轴； .这个函数的图像关于 直线 yx 成轴对称图像。(88 年全国理)。 【分析】 “不平行”的否定是“平行” ，假设“平行”后得出矛盾从

9、而推翻假设。SCA OB【证明】 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2)是函数图像上任意两个不同的点，则 x1x2,假设直线 M1M2平行于 x 轴，则必有 y1y2，即x ax111 1 x ax221 1 ，整理得 a(x1x2)x1x2x1x2 a1， 这与已知“a1”矛盾， 因此假设不对，即直线 M1M2不平行于 x 轴。 由 yx ax 1 1得 axyyx1,即(ay1)xy1,所以 xy ay 1 1，即原函数 yx ax 1 1的反函数为 yx ax 1 1，图像一致。由互为反函数的两个图像关于直线 yx 对称可以得到，函数 yx ax 1 1的图像关于直线 yx 成轴对称

10、图像。 【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得 到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知 a1 互相矛盾。第问中，对称问题使用 反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练。 、巩固性题组：、巩固性题组：1. 已知 f(x)x x1| |，求证：当 x1x2时，f(x1)f(x2)。2. 已知非零实数 a、b、c 成等差数列，ac，求证：1 a、1 b、1 c不可能成等差数列。3. 已知 f(x)x2pxq，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于12。4. 求证：抛物线 yx2 21 上不存在关于直线 xy0 对称的两点。5. 已知 a、bR，且|a|b|1，求证：方程 x2axb0 的两个根的绝对值均小于1。6. 两个互相垂直的正方形如图所示，M、N 在 相应对角线上，且有 EMCN，求证：MN 不 可能垂直 CF。AF D B M NE C