2020高中数学第2讲证明不等式的基本方法反证法与放缩法学案4-.pdf-得力文库

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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-三反证法与放缩法学习目标：1.掌握用反证法证明不等式的方法(重点)2。了解放缩法证明不等式的原理,并会用其证明不等式(难点、易错易混点)教材整理 1 反证法阅读教材 P26P27“例 2”及以上部分，完成下列问题先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理,得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法如果两个正整数之积为偶数，则这两个数（)A两个都是偶数 B一个是奇数，一个是偶数 C至少一个是偶数 D恰

3、,f（2）,|f(3)中至少有一个不小于错误!。精彩点拨（1）把f（1)，f（2），f（3)代入函数f（x）求值推算可得结论（2）假设结论不成立，推出矛盾，得结论自主解答(1）由于f（x）x2pxq，f(1)f（3）2f(2）学必求其心得，业必贵于专精 -3-（1pq)(93pq)2(42pq）2.(2）假设f(1），|f(2），|f（3）都小于12，则有f(1）2f(2）|f（3）|2.（*）又f(1)|2|f（2)|f（3)f（1）f(3）2f（2）（1pq）（93pq）（84p2q）2，|f(1）2f(2)|f（3)|2 与(*）矛盾，假设不成立故f（1），f(2)，f(3)|中至少

4、有一个不小于错误!。1在证明中含有“至多”“至少”等字眼时，常使用反证法证明在证明中出现自相矛盾，说明假设不成立 2在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件,因此在证明过程中必须使用这个增加的条件,否则将无法推出矛盾 1已知实数a，b,c，d满足abcd1,acbd1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数证明 a，b，c,d中至多有三个是非负数，即至少有一个是负学必求其心得，业必贵于专精 -4-数，故有假设a，b，c，d都是非负数即a0，b0，c0,d0，则 1(ab)（cd）(acbd)（adbc)acbd。这与已知中acbd1 矛盾，原假设错误，故a

5、，b，c，d中至少有一个是负数即a，b，c，d中至多有三个是非负数.利用放缩法证明不等式【例 2】已知an2n2,nN*，求证：对一切正整数n，有错误!错误!错误!错误!。精彩点拨针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项自主解答当n2 时,an2n22n(n1)，错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!，错误!错误!错误!1错误!错误!错误!错误!1错误!错误!112错误!错误!错误!错误!,即错误!错误!错误!错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -5-1放缩法在不等式的证明中无处不在,主要是根据不等式的传递性进行变换 2 放缩法技巧性较强,放大或缩小时注意要适当,必须目标明确，合情

6、合理，恰到好处,且不可放缩过大或过小，否则,会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地添或减是放缩法的基本策略 2求证:1错误!错误!错误!2错误!（n2,nN）证明 k2k(k1）,错误!错误!错误!错误!（kN，且k2)分别令k2,3，n得错误!错误!1错误!，错误!错误!错误!错误!,，错误!错误!错误!错误!.因此 1错误!错误!错误!1错误!错误!错误!11错误!2错误!.故不等式 1错误!错误!错误!2错误!（n2，nN）。利用反证法证明不等式探究问题学必求其心得，业必贵于专精 -6-1反证法的一般步骤是什么？提示证明的步骤是：(1）作出否定结论的假设；(2）从否定结论进行推理

7、，导出矛盾；（3)否定假设,肯定结论 2反证法证题时常见数学语言的否定形式是怎样的?提示常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设有：常见词语至少有一个至多有一个唯一一个是有或存在全都是否定假设一个也没有有两个或两个以上没有或有两个或两个以上不是不存在不全不都是【例 3】已知ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：B90。精彩点拨本题中的条件是三边间的关系错误!错误!错误!,而要证明的是B与 90的大小关系结论与条件之间的关系不明显,考虑用反证法证明自主解答 a，b，c的倒数成等差数列，错误!错误!错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -7-假设B

8、90不成立，即B90,则B是三角形的最大内角，在三角形中，有大角对大边，ba0，bc0,1b错误!，错误!错误!，错误!错误!错误!,这与错误!错误!错误!相矛盾假设不成立，故B90成立 1本题中从否定结论进行推理,即把结论的反面“B90”作为条件进行推证是关键要注意否定方法，“”否定为“”，“”否定为“”等 2利用反证法证题的关键是利用假设和条件通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论 3若a3b32，求证：ab2.证明法一假设ab2，a2abb2错误!错误!错误!b20,故取等号的条件为ab0,显然不成立，学必求其心得，业必贵于专精 -8-a2abb20。则a3b3（

9、ab)(a2abb2）2(a2abb2)，而a3b32，故a2abb21,1aba2b22ab，从而ab1，a2b21ab2,（ab）2a2b22ab2,则a2b，故 2a3b3（2b）3b3,即 2812b6b2，即(b1)20，这显然不成立,从而ab2.法三假设ab2，则（ab)3a3b33ab(ab)8.由a3b32，得 3ab（ab）6，故ab(ab）2。又a3b3(ab)(a2abb2)2，ab(ab）(ab）(a2abb2），a2abb2ab，即(ab)20。这显然不成立，故ab2。学必求其心得，业必贵于专精 -9-1实数a，b，c不全为 0 的等价条件为（）Aa，b,c均不为

10、0 Ba，b，c中至多有一个为 0 Ca，b,c中至少有一个为 0 Da，b，c中至少有一个不为 0 D 实数a,b，c不全为 0 的含义即a，b,c中至少有一个不为 0，其否定则是a，b，c全为 0，故选 D.2已知abc0，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0 时的假设为（）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca,b,c不全是正数 Dabc0 C a0,b0，c0 的反面是a，b，c不全是正数,故选 C。3要证明错误!错误!2错误!，下列证明方法中，最为合理的是学必求其心得，业必贵于专精 -10-（）A综合法 B放缩法 C分析法 D反证法 C 由分析法的证明过程可知选 C。4A1错误!错误!错误!与错误!（nN)的大小关系是_ 解析 A错误!错误!错误!错误!错误!错误!.答案 A错误!5若x，y都是正实数，且xy2.求证：错误!2 和错误!2 中至少有一个成立证明假设错误!2 和错误!0 且y0,所以 1x2y，且 1y2x,两式相加，得 2xy2x2y,所以xy2,这与已知条件xy2 矛盾，因此错误!2 和错误!2 中至少有一个成立

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