高中数学解题基本方法配方法.doc

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1、高中数学解题基本方法配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方” ）的技巧，通过配方找到已 知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项” 与“添项” 、 “配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法” 。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者 未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺 xy 项的 二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab) a22abb2，将这个2公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2b2(ab)22

2、ab(ab)22ab；a2abb2(ab)2ab(ab)23ab(ab 2)2（3 2b）2；a2b2c2abbcca1 2(ab)2(bc)2(ca)2a2b2c2(abc)22(abbcca)(abc)22(abbcca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos）2；x212x(x1 x)22(x1 x)22 ； 等等。、再现性题组：、再现性题组： 1. 在正项等比数列a中，aa+2aa+aa=25，则 aa_。 2. 方程 xy4kx2y5k0 表示圆的充要条件是_。A. 1 41 C. kR D. k1 4或 k13. 已知 sin

3、cos1，则 sincos 的值为_。A. 1 B. 1 C. 1 或1 D. 04. 函数 ylog1 2(2x5x3)的单调递增区间是_。A. （, 5 4 B. 5 4,+) C. (1 2,5 4 D. 5 4,3)5. 已知方程 x+(a-2)x+a-1=0 的两根 x、x2，则点 P(x,x2)在圆 x+y=4 上，则实数a_。【简解】 1 小题：利用等比数列性质 am pam pam2，将已知等式左边后配方（aa）2易求。答案是：5。 2 小题：配方成圆的标准方程形式(xa)2(yb)2r2，解 r20 即可，选 B。 3 小题：已知等式经配方成(sin2cos2)22sin2c

4、os21，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选 C。 4 小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选 D。5 小题：答案 311。、示范性题组、示范性题组：例例 1.1. 已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条对 角线长为_。A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为 x,y,z，则211 424() ()xyyzxz xyz ,而欲求对角线长xyz222，将其配凑成两已知式的组合形式可得。 【解】设长方体长宽高分别为 x,y,z，由已知“长方体的全面积

5、为 11，其 12 条棱的长度之和为 24”而得：211 424() ()xyyzxz xyz 。长方体所求对角线长为：xyz222()()xyzxyyzxz2261125所以选 B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分 析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而 求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例例 2.2. 设方程 xkx2=0 的两实根为 p、q，若(p q)+(q p)7 成立，求实数 k 的取值范围。 【解】方程 xkx2=0 的两实根为 p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 ,(p q)+(q p

6、)pq pq442 ()() ()pqp q pq2222222() ()pqpqp q pq2222222()k2248 47， 解得 k10或 k10 。又 p、q 为方程 xkx2=0 的两实根， k80 即 k22或 k22综合起来，k 的取值范围是：10k2 2 或者 2 2k10。【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“” ；已知方程有两 根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 pq、pq 后，观察已知不等式，从其 结构特征联想到先通分后配方，表示成 pq 与 pq 的组合式。假如本题不对“”讨论， 结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，

7、但解答是不严密、不完 整的，这一点我们要尤为注意和重视。例例 3.3. 设非零复数 a、b 满足 a2abb2=0，求(a ab)1998(b ab)1998 。【分析】 对已知式可以联想：变形为(a b)(a b)10，则a b （ 为 1 的立方虚根） ；或配方为(ab)2ab 。则代入所求式即得。【解】由 a2abb2=0 变形得：(a b)(a b)10 ，设 a b，则 210，可知 为 1 的立方虚根，所以：1 b a，331。又由 a2abb2=0 变形得：(ab)2ab ，所以 (a ab)1998(b ab)1998(a ab2 )999(b ab2 )999(a b)999

8、(b a)9999999992 。【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用 1 的立方虚根，活用 的性质， 计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。【另解】由 a2abb20 变形得：(a b)(a b)10 ，解出b a 13 2i后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(a b)999(b a)999后，完成后面的运算。此方法用于只是未 13 2i联想到 时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由 a2abb20 解出：a 13 2ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。 、巩固

9、性题组：、巩固性题组：1. 函数 y(xa)2(xb)2 （a、b 为常数）的最小值为_。A. 8 B. ()ab22C. ab222D.最小值不存在2. 、 是方程 x22axa60 的两实根，则(-1)2 +(-1)2的最小值是_。A. 49 4B. 8 C. 18 D.不存在3. 已知 x、yR，且满足 x3y10，则函数 t2x8y有_。A.最大值 22 B.最大值2 2C.最小值 22 B.最小值2 24. 椭圆 x22ax3y2a260 的一个焦点在直线 xy40 上，则 a_。A. 2 B. 6 C. 2 或6 D. 2 或 65. 化简：218sin228cos的结果是_。 A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 设 F1和 F2为双曲线x2 4y21 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足F1PF290，则F1PF2的面积是_。7. 若 x1，则 f(x)x22x1 1x 的最小值为_。8. 已知 20； 是否存在一个实数 t，使当 t(m+t,n-t)时，f(x)1，t1，mR，xlogstlogts，ylogs4tlog t4sm(log s2tlog t2s), 将 y 表示为 x 的函数 yf(x)，并求出 f(x)的定义域； 若关于 x 的方程 f(x)0 有且仅有一个实根，求 m 的取值范围。