二次型和正定矩阵.pdf

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1、二次型2007-029-8设mnA是实矩阵， E为 n 级单位矩阵。已知矩阵.BEA A证明：当0时，矩阵 B为正定矩阵。2007-029-9已知二次曲面方程为2221231213232554481.xxxx xx xx x（1）求正交变换把该二次曲面的方程化为标准形； （2）上述二次曲面的方程表示何种曲面？2007-008-8 已知矩阵8111181111811118A(1) 求二次型432143214321),(),(xxxxAxxxxxxxxf; (2) 用正交线性替换化二次型),(4321xxxxf为标准型 ; (3) 证明AT),(定义了4R上的内积 , 其中,是4R的列向量 ,T是

2、的转置 , 并求在该内积下4R的一组标准正交基 . (4) 求实对称矩阵 B使得ABk, 其中 k 为正整数 (只要写出 B的表达式 , 不必计算其中的矩阵乘积 ) 2007-021-7 121234212(,.,).nnnf x xxx xx xxx求二项式的秩和正负惯性指数之差.2007-012-2 求实二次型3241312143212422),(xxxxxxxxxxxxf的规范形及符号差。2007-001（A）-1 化二次型123122313,222fx x xx xx xx x 为标准型 ,并给出所用的非退化线性替换. 2007-030-2（3） （填空题）已知实二次型31322123

3、2221321222),(xaxxxxxxaxxxxxf的正负惯性指数都是 1，则 a= .2007-030-3（6） （计算与证明题）设A是 n级实对称矩阵，ABABT是正定矩阵，证明A是可逆矩阵。2007-031-6 设A为 n阶正定矩阵，n,21为实 n维非零列向量，当ji时有0jiA，证明：n,21线性无关 .2007-031-9 用正交线性替换将二次型32212322213214432),(xxxxxxxxxxf化为标准型 . 2007-032-1（3） （判断题）两个对称矩阵之积仍是对称矩阵。2007-032-6 设A是 n阶正定矩阵，证明它的行列式AA的主对角线元素之积，等式成立

4、当且仅当A的对角阵。2007-032-7 设12,n是实欧氏空间的一组向量，证明这组向量线性无关当且仅当它们的Gram矩阵()ijAa可逆，其中(,)ijija。2007-033-3 给出将121314232434222222x xx xx xx xx xx x 化为标准形的正交线性替换。2007-034-4 设A为 n阶正交矩阵且 -1 不是A的特征值。证明1()()nnBAIAI是反对称矩阵且1()()nnAIB IB。2007-034-6设A为 n 阶 实 正 定 对 称 矩 阵 ，B为 n 阶 实 反 对 称 矩 阵 。 证 明AB的 行 列 式det()0AB。2007-035-1（

5、14） （选择、是非及填空题）设320222021A，则使AtE正定的实数 t 的取值范围是。2007-035-2（20） （计算与证明题）设ABBD为正定矩阵，其中A为 m阶方阵，D为 n阶方阵，B为 mn矩阵。证明：,A D与1DB A B都是正定矩阵。2007-035-2（22） （计算与证明题）设A为正定矩阵，证明：存在唯一的正定矩阵B，使2BA。2007-036-4设( )f xX AX为实二次型，且存在12,XX ，使12()0,()0f Xf X，请证明：存在30X，使得3()0f X。2007-019-4证明任意 n阶实可逆阵A可以表成一个正定阵S与一个正交阵Q之积。2007-

6、037-7设A为 n阶实对称矩阵，证明必存在数a使得AaI为半正定而非正定，这里I表示 n阶单位矩阵。2007-037-11（1）用非退化线性替换将下面二次型化为标准形，并确定其秩和符号差：2221234124121314232434(,)2442222f x xx xxxxxxxxx xx xx xx x（2）t 取什么值时，二次型222123123121323(,)42106f x xxxxxtx xx xx x为正定的？2007-038-3用正交化二次型222123123121323(,)444f x xxxxxx xx xx x 为标准形。并写出所作的正交变换。2007-038-8若A

7、是实对称矩阵， 证明：存在对称矩阵B，使得3AB。并对二阶方阵13141413。求出一个满足上面条件的矩阵B。2007-040-6试将22212312313(,)2Q x xxaxbxaxcx x划为标准形，求出变换矩阵，并指出, ,a b c满足什么条件时，Q正定。2007-040-7设,A B都是正定实对称矩阵， 证明： （1）AB正定的充要条件是ABBA。（2） 如果AB正定，则11BA也是正定。2007-041-6设,A B均是 n 阶实对称矩阵，且B正定，证明（）BA 的根是实数 ; （）设0BA的根为i，1,2,in且12n，则()f XX AX（X是X的转置）在约束条件下1X B

8、X下的最大值和最小值分别为1,n。2007-041-8设2111nniin iiifaxbx x，其中,a b是实数，问,a b满足什么条件时，二次型f是正定的？2007-043-4设一个二次曲面在直角坐标系; , O x y z下的方程为2222323828824xyzxyxzyz，求一个正交直角坐标变换T：xuyTvzw使得以上二次曲面在新的直角坐标下的方程为它的标准形，然后描述此二次曲面。2007-043-4设A为一个 n阶正定矩阵，B为一个 n阶反对称矩阵，即B满足：TBB。1. 证明：存在 n阶实可逆矩阵T使得TATT，其中TT表示矩阵T的转置矩阵。2. 证明：B的特征值或者是 0

9、或者是纯虚数。3. 证明：AB为可逆矩阵。2007-044-7设A是一个 nn实对称矩阵，是A的最大特征值。证明：,11niji jan。2007-013-2（1）证明：任意 n阶方阵均可表示成一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和；（2）设A是 n阶实方阵，且对任意的非零列向量，都有0A。证明：存在正定矩阵B和反对称矩阵C使得ABC。2007-018-3设1241102413004171207A，1234(,)Xx xx x，()f XX AX。问()f X是否是一个正定二次型，为什么？2007-018-6设 n 阶矩阵A对于任意的 n 维列向量X满足0X AX。 （）证明当A为对称矩阵时0A，

10、（）如果矩阵A不是对称的，A未必是零矩阵。2007-018-9设0001001001001000A为21n阶实对称矩阵，试求正交矩阵P， 使得1PAPD为对角形矩阵，并求D。2007-018-10证明（1） n阶实反对称矩阵的特征根为纯虚数或者为零，（2） n阶实反对称矩阵的行列式大于等于零。2007-013-9证明下述1n阶实矩阵A是正定矩阵：231234212321222223122222342222212321nnnnnnnAnnnnn2007-007-1（9） （填空）设A是 n级实对称矩阵，则A为正定矩阵的充分必要条件是。2007-007-7设实二次型12(,)nf x xx的系数矩

11、阵为A，若0A，证明：必存在一组实数12,na aa ，使12(,)0nf a aa。2007-046-7设()ijn nAa为一实 对称阵， 若A是半 正定的， 则A的 一切主 子式0kA其中1 11 212 12 2212kkkkk ki ii ii ii ii ii iki ii ii iaaaaaaAaaa且11kiin。2007-004-5设A是实对称矩阵，如果A是半正定的，则存在实的半正定矩阵B，使得2AB。2007-004-7设 二 次 型222123121323224fxxxax xx xbx x通 过 正 交 变 换 化 为 标 准 形22232fyy ，求参数,a b及所用

12、的正交变换。2007-047-1（5） （填空）复数域上C上 n阶对称矩阵按合同关系分类，共有类。2007-048-8（5）假设 n n实对称矩阵,A B以及AB均是正定矩阵，证明：11BA也是正定矩阵。2007-026-10讨论二次型222123123121323(,)25484f x x xtxxxx xx xx x 何时正定。2007-024-1（7） （判断题）任一可逆对称矩阵的逆矩阵也是可逆对称矩阵。2007-024-1（8） （判断题）设()ijAa为正定矩阵，则在A的所有元素中，绝对值最大者必在A的主对角线上。2007-024-2（2） （填空题）设 实 二 次 型1123123

13、23121(,)(,)000323xf xxxx xxxx， 则123(,)fxxx 的 矩 阵为，符号差。2007-024-2（3） （填空题）实二次型222123123121323(,)52422f x xxxxxx xx xx x 是正定二次型当且仅当满足条件。2007-024-4设112013221A，把A分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。2007-024-7设A是 n级正定矩阵，B是 n级实矩阵并且 0 不是B的特征值，证明：AB BA 。2007-010-1（3） （填空题）已知二次曲面2222221xyzaxxzbyz经过正交变换xxyQyzz化成椭圆柱面22()2( )1yz，则常数 a与b应满足的条件是。2007-010-1（5） （填空题）已知22212312132355266fxxcxx xx xx x 的秩为 2，则参数 c。2007-010-4设A为正定矩阵。证明：存在可逆矩阵B使得2AB。2007-010-8用 非 退 化 线 性 变 换 化 下 列 二 次 型 为 规 范 形 ， 并 写 出 所 作 的 线 性 变 换 ：12132(1,2 ,3 )422fxxxx xx xx x。