(7.3.1)--6.3.1正定二次型与正定矩阵-1.pdf

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1、正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵定义定义 已知实二次型已知实二次型若对由任意若对由任意个不全为零的实数个不全为零的实数构成的非零列向量构成的非零列向量恒有恒有12(,)Tnf x xxX AX=n12,nc cc（1），则称，则称是是正定的正定的，称，称是是正定矩阵正定矩阵；12(,)0Tnf cccA=fA（2），且至少存，且至少存在一个非零列向量在一个非零列向量使得使得，则，则称称是是半正定的半正定的，称，称为为半正定矩阵半正定矩阵；0TfA=12(,)0Tnf c ccA=fA定义定义 已知实二次型已知实二次型若对由任意若对由任意个不全为零的实数个不全为零的实数构成的非零列向量构

2、成的非零列向量恒有恒有12(,)Tnf x xxX AX=n12,nc cc（3），则称，则称是是负负定的定的，称，称为为负定矩阵负定矩阵；12(,)0Tnf c ccA=fA（4），且至少存，且至少存在一个非零列向量在一个非零列向量使得使得，则，则称称是是半负定的半负定的，称，称为为半负定矩阵半负定矩阵；12(,)0Tnf c ccA=0TfA=fA（5）上述四种情况以外的实二次型称为）上述四种情况以外的实二次型称为不不定的定的，其对应的实对称矩阵，其对应的实对称矩阵称为称为不定的不定的。A是正定的；是正定的；是半正定的；是半正定的；是负定的；是负定的；是半负定的；是半负定的；()()222

3、2121,nnxxxxxxf+=+=()()()()nrxxxxxxfrn+=+=2222121,()()2222121,nnxxxxxxf=()()()()nrxxxxxxfrn=2222121,是不定的。是不定的。()()22122121,rppnxxxxxxxf+=+=+()()rp=0()(0,0,1,0,0),1,2,TiXin=进一步，负定呢、半正定、半负定情形呢？进一步，负定呢、半正定、半负定情形呢？下证必要性，若下证必要性，若 f 正定，取正定，取0,1,2,iain=定理定理非退化实线性替换不改变实二次型的定性。非退化实线性替换不改变实二次型的定性。证明证明考虑实二次型考虑实

4、二次型。任取非退。任取非退化实线性替换化实线性替换，将二次型，将二次型变为变为，其中，其中。TfX AX=XCY=TfX AX=TgY BY=TBC AC=（1）设）设正定。任取正定。任取，要证，要证TfX AX=0000TB令令则由则由可逆，可得可逆，可得。因因正定，故正定，故。00,C=CTfX AX=0000TA于是于是0000()TTTBC AC=这说明这说明是正定二次型。是正定二次型。TgY BY=定理定理非退化实线性替换不改变实二次型的定性。非退化实线性替换不改变实二次型的定性。0000()()0TTCA CA=（2）设）设是正定二次型。因是正定二次型。因可通过可逆线性替换可通过可

5、逆线性替换化为化为，故由（故由（1）的结论可得）的结论可得是正定二次型。是正定二次型。1YCX=TgY BY=TfX AX=TgY BY=TfX AX=定理定理非退化实线性替换不改变实二次型的定性。非退化实线性替换不改变实二次型的定性。同理可证，同理可证，与与也同为负定、半正定、半也同为负定、半正定、半负定或不定二次型。负定或不定二次型。fg定理定理非退化实线性替换不改变实二次型的定性。非退化实线性替换不改变实二次型的定性。推论推论 设设与与是两个是两个阶实对称矩阵，且阶实对称矩阵，且，则则与与同为正定矩阵（负定矩阵，半正定矩阵，同为正定矩阵（负定矩阵，半正定矩阵，半负定矩阵，不定矩阵）。半负

6、定矩阵，不定矩阵）。ABABnAB定理定理 已知已知元实二次型元实二次型则下列叙述等价：则下列叙述等价：（1）是正定二次型；是正定二次型；（2）的正惯性指数为的正惯性指数为；（3）12(,)nf xxx12(,)Tnf xxxX AX=12(,)nf xxxnn;AI（4）存在可逆的实矩阵）存在可逆的实矩阵,使得使得；（5）的的个特征值全部大于零。个特征值全部大于零。ATAB B=nB（1）是正定二次型；是正定二次型；（2）的正惯性指数为的正惯性指数为；12(,)nf xxx12(,)nf xxxnXCY=证证：设：设经非退化线性替换经非退化线性替换12(,)nf x xx222121122(

7、,)nnnf x xxd yd yd y=+=+变成标准形变成标准形则则 f 正定正定0,1,2,idin=即，即，f 的正惯性指数的正惯性指数n。（2）的正惯性指数为的正惯性指数为；（3）12(,)nf xxxn;AI（4）存在可逆的实矩阵）存在可逆的实矩阵,使得使得；TAB B=B2221122,0,1,2,nnd yd yd yiin+=+=证证：二次型：二次型的标准形为的标准形为12(,)nf x xx22212nzzz+TZ IZ=规范形为规范形为;AI存在可逆的实矩阵存在可逆的实矩阵,使得使得；TAB B=B（1）是正定二次型；是正定二次型；12(,)nf xxx（5）的的个特征值

8、全部大于零。个特征值全部大于零。An证：证：设实对称矩阵设实对称矩阵 A 的特征值的特征值都是正数。都是正数。1,n存在正交矩阵存在正交矩阵 Q,使得使得 QTAQ=为对角矩阵为对角矩阵,其对角线元素为其对角线元素为。1,n,XO 1,YQ X=对于对于令令TTT()YQ AQ YYY=即即,显然显然XQY=,YO 又又故故10,0,nTT()fX AXQYAQY=所以，所以，是正定二次型是正定二次型12(,)nf xxx210.niiiy=（1）是正定二次型；是正定二次型；12(,)nf xxx（5）的的个特征值全部大于零。个特征值全部大于零。An设设 f 为正定二次型为正定二次型,而而是其

9、任意特征值是其任意特征值,X是属于是属于的特征向量的特征向量,则有则有 于是于是TT0,X AXX X=T0,X X 0.所以所以,AXX=例例 判断下面二次型的定性判断下面二次型的定性2221231231 223(,)2322f xxxxxxx xx x=+=+解解 方法一方法一 运用定义运用定义 22212312233(,)()()2f xxxxxxxx=+=+0 122330,0,0 xxxxx=若若，则，则123(,)0f xxx=解得解得，说明当，说明当不全为零时，必有不全为零时，必有 1230,0,0 xxx=123,xxx123(,)0f xxx 所以所以是正定的二次型。是正定的

10、二次型。123(,)f xxx方法二方法二 化标准形化标准形 22212233()()2xxxxx=+=+2221231231 223(,)2322f xxxxxxx xx x=+=+11222333yxxyxxyx=11322333xyyxyyxy=+=+=+=+=令令或或则则222123123(,)2f xxxyyy=+=+由此得由此得的正惯性指数为的正惯性指数为3，所以，所以是实正定的。是实正定的。123(,)f xxx123(,)f xxx方法三方法三 利用特征值利用特征值123(,)f xxx二次型二次型的矩阵为的矩阵为110121013A=它的三个特征值它的三个特征值均大于零，故正

11、定。均大于零，故正定。2,23,23+证明证明：首先说明：首先说明是实对称矩阵是实对称矩阵:1A 例例 设设是正定矩阵，则是正定矩阵，则和和都是正定矩阵。都是正定矩阵。A1A*A111()()TTAAA=方法一方法一、因为、因为是正定矩阵，所以是正定矩阵，所以。AAI 故存在可逆矩阵故存在可逆矩阵使得使得1C11TC ACI=11111()TCACI=11111()()T TTCACI=记记，则，则可逆，且可逆，且11()TCC=C1TC A CI=这表明这表明也是正定矩阵。也是正定矩阵。1A 方法二方法二、由于、由于为正定矩阵，所以存在可逆矩阵为正定矩阵，所以存在可逆矩阵使得使得。A1B11

12、TAB B=11111111()()TTAB BBB=1111()()T TTBB=从而从而记记，则，则可逆，且可逆，且11()TBB=B1TAB B=1A 所以所以也是正定矩阵。也是正定矩阵。例例 设设是正定矩阵，则是正定矩阵，则和和都是正定矩阵。都是正定矩阵。A1A*A方法三方法三、由于、由于为正定矩阵，所以为正定矩阵，所以的特的特征值征值均大于零，于是均大于零，于是的特征值的特征值也都也都大于零。故大于零。故也是正定矩阵。也是正定矩阵。A 1A 1 A1A 例例 设设是正定矩阵，则是正定矩阵，则和和都是正定矩阵。都是正定矩阵。A1A*A方法四方法四、矩阵、矩阵正定，所以二次型正定，所以二

13、次型正定，正定，ATfX AX=又非退化线性替换又非退化线性替换将二次型将二次型化为化为。1XA Y=TfX AX=1TgY A Y=由于非退化线性替换不改变二次型的定性，由于非退化线性替换不改变二次型的定性，从而从而也是正定二次型，也是正定二次型，1TgY A Y=即即为正定矩阵。为正定矩阵。1A 例例 设设是正定矩阵，则是正定矩阵，则和和都是正定矩阵。都是正定矩阵。A1A*A例例阶实对称矩阵阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条是正定矩阵的充要条件为：存在可逆的实对称矩阵件为：存在可逆的实对称矩阵使得使得AnC2AC=证明证明：充分性：充分性2TACC C=A根据前面的正定性等价定理可知根据前面的

14、正定性等价定理可知是正定的。是正定的。从而存在正交矩阵从而存在正交矩阵使得使得Q12TnQ AQ=必要性必要性由于由于是正定的，所以是正定的，所以的特征值的特征值均大于零。均大于零。A12,n A例例阶实对称矩阵阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条是正定矩阵的充要条件为：存在可逆的实对称矩阵件为：存在可逆的实对称矩阵使得使得AnC2AC=即即12TnAQQ=1122TTnnAQQ QQ=，进一步有，进一步有例例阶实对称矩阵阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条是正定矩阵的充要条件为：存在可逆的实对称矩阵件为：存在可逆的实对称矩阵使得使得AnC2AC=则则，显然，显然是可逆的实对称矩阵。是可逆的实对称矩阵。2AC=C若记若记12TnCQQ=例例阶实对称矩阵阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条是正定矩阵的充要条件为：存在可逆的实对称矩阵件为：存在可逆的实对称矩阵使得使得AnC2AC=