正定二次型和正定矩阵讲稿.ppt

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1、关于正定二次型和正定矩阵第一页，讲稿共二十九页哦2 2一、基本概念定义定义 设设A A为实为实n n阶对称矩阵，如果对于任意非零向阶对称矩阵，如果对于任意非零向量量X X，二次型，二次型f f=X XT TAXAX均为正数，则称二次型均为正数，则称二次型f f为正定为正定的，其矩阵的，其矩阵A A 称为正定矩阵称为正定矩阵.定义定义 如果对于任意向量如果对于任意向量X X，二次型，二次型f f=X XT TAXAX均为非均为非负负(非正非正)数，则称二次型数，则称二次型f f为半正为半正(负负)定的，其矩定的，其矩阵阵A A 称为半正称为半正(负负)定矩阵定矩阵.定义定义 如果实二次型如果实二

2、次型f f=X XT TAXAX对于某些向量对于某些向量X X为正数为正数,并且对于对于某些向量并且对于对于某些向量X X为负数为负数,则称二次型是不则称二次型是不定的定的.第二页，讲稿共二十九页哦33例例第三页，讲稿共二十九页哦44二、正定矩阵的充分必要条件定理定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是其特征值都是正数.证明证明 设实对称矩阵A的特征值 都是正数.存在正交矩阵Q,使得 QTAQ=,为对角矩阵,其对角线元素为 ,对于 令 即 ,显然 又 故这就证明了条件的充分性.第四页，讲稿共二十九页哦5设A是正定矩阵,而 是其任意特征值,X是属于 的特征向量,则有于是必要性得证.推论推论 若A是

3、正定矩阵,则|A|0.证明证明 5第五页，讲稿共二十九页哦66例例 判断下列矩阵是否为正定矩阵解解第六页，讲稿共二十九页哦77第七页，讲稿共二十九页哦88定理定理 实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与单位矩阵合同.证明 充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可逆矩阵C,使得 对于任意向量XO,由于C可逆,可从 解出Y O,于是故A是正定的.必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对称的,A合同于一个对角矩阵 ,其对角线元素是A的特征值 由于A是正定的,这些特征值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,故A合同于单位矩阵.第八页，讲稿共二十九页哦9定理定理实对称矩阵A 正定的充分必要条件是存在

4、可逆矩阵P，使得A=PTP.证明设A=PTP,P可逆.对于任意 ,由于P可逆,PXo,故设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得A=PTEP=PTP.第九页，讲稿共二十九页哦10例例 A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R,使得RTAR和RTBR同时为对角形.证明证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交矩阵Q,使得 QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则为对角形.第十页，讲稿共二十九页哦11例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换.证明必要性设AB正定,则AB对称,充分性 设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正定,A=CCT,AB=CCTBCTBC,CTBC

5、是正定矩阵,特征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.第十一页，讲稿共二十九页哦1212为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我们引进定义定义 给定实对称矩阵则其前s行前s列元素组成的行列式称为A的顺序主子式.即第十二页，讲稿共二十九页哦1313的行列式的行列式.定理定理 实对称矩阵 正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零.第十三页，讲稿共二十九页哦1414例例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.解解故A正定.第十四页，讲稿共二十九页哦1515实对称矩阵实对称矩阵A A正定正定的充分必要条件是的充分必要条件是1.1.其特征值都是正数其特征值都是正数.2.2.A A合同于合同于3.可逆可逆.

6、4.4.A A的顺序主子式全是正数的顺序主子式全是正数.5.A A的主子式全是正数的主子式全是正数.第十五页，讲稿共二十九页哦1616例例 判断下列二次型是否正定:第十六页，讲稿共二十九页哦17第十七页，讲稿共二十九页哦18例例 t在什么范围取值时二次型是正定二次型?解解第十八页，讲稿共二十九页哦19第十九页，讲稿共二十九页哦20定义定义 实对称矩阵A的第 行和第 列的元素组成的行列式称为主子式.例如是2阶主子式.其中只有 是2阶顺序主子式.第二十页，讲稿共二十九页哦2121实对称矩阵A半正定半正定的充分必要条件是1.其特征值都是非负数.2.A合同于3.A的正惯性指数p=r.4.A的所有主子式

7、非负.第二十一页，讲稿共二十九页哦22定理定理 实对称矩阵实对称矩阵A A半正定的充分必要条件是所有半正定的充分必要条件是所有主子式非负主子式非负.证明 设A半正定.则A+tE正定.其所有主子式个.第二十二页，讲稿共二十九页哦23设A的所有主子式非负.考虑矩阵 其顺序主子式 是A的 阶主子式之和,故 正定,对于任意非零向量X,令 得故A半正定.第二十三页，讲稿共二十九页哦24例例但A并非半正定，事实上，A对应的二次型主子式顺序主子式第二十四页，讲稿共二十九页哦2525三、正定矩阵的性质1.1.若若A A为正定矩阵为正定矩阵,则则|A A|0,|0,A A可逆可逆.2.2.若若A A为正定矩阵为

8、正定矩阵,则则A A-1-1也是正定矩阵也是正定矩阵.证明证明 A A为正定矩阵为正定矩阵,其全部特征值为正数其全部特征值为正数,A A-1-1的全部的全部特征值是它们的倒数特征值是它们的倒数,也全是正数也全是正数,故故A A-1-1正定正定.3.3.正定矩阵的对角线元素都是正数正定矩阵的对角线元素都是正数.4.4.A A为正定矩阵为正定矩阵,A Ak k也是正定矩阵也是正定矩阵.5.5.A A,B B为同阶正定矩阵为同阶正定矩阵,则则A A+B B是正定矩阵是正定矩阵.6.6.若若A A为正定矩阵为正定矩阵,则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P P,使得使得A=PPA=PPT T.7.7.A A为

9、正定矩阵为正定矩阵,A,A 的所有主子式大于零的所有主子式大于零.第二十五页，讲稿共二十九页哦2626证明证明 由于A合同于单位矩阵,存在可逆矩阵Q,使得A=QTEQ=QTQ=QT(QT)T=PPT,P=QT.8.若A为n阶正定矩阵,则 正定.证明证明 对于任意m维列向量 由于矩阵P的列向量组线性无关,是P的列向量的非零线性组合,故 而A正定,故故 是正定矩阵.第二十六页，讲稿共二十九页哦2727的若干性质1.若A为n阶可逆矩阵,则 为正定矩阵.证明 是实对称矩阵.对于任意 A可逆,否则 故 正定.2.若A为 矩阵,且 则 为m阶正定矩阵,为n阶半正定矩阵,但非正定矩阵.证明 任意 A的列向量组线性无关,第二十七页，讲稿共二十九页哦28 的列向量组线性相关，存在n维列向量使得 ,于是故 不是正定矩阵。第二十八页，讲稿共二十九页哦2023/4/5感感谢谢大大家家观观看看第二十九页，讲稿共二十九页哦