4.4 正定二次型.ppt

《4.4 正定二次型.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4.4 正定二次型.ppt（16页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、4.4.2,二次型的规范形,知识重点：惯性定理,惯性定律,对于同一个二次型的标准形，非零项的个数是固定的(称为二次型的惯性指标），等于二次型的秩，且正项的个数是固定的（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标） 。,f 的惯性指标 = f 的矩阵 A 的非零特征值的个数 =R(A),f 的正惯性指标 = f 的矩阵 A 的正特征值的个数,f 的负惯性指标 = f 的矩阵 A 的负特征值的个数,二次型的规范形,二次型的标准形是可以不同的，但由惯性定理可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是，如下形式的标准形是唯一的：,以 1 或 -1 为系数的标准形称为二次型的规范形。,结论：

2、二次型的规范形是唯一的。,4.4.3 正定二次型,本节重点：1、正定二次型的概念；2、正定二次型的性质；3、正定二次型的判定。,二次型的正定性,定义：,例 判定下列二次型的正定性,正定,负定,半负定,半正定,不定,二次型为正定二次型的必要条件是: 所有平方项的系数都大于零,二次型为负定二次型的必要条件是: 所有平方项的系数都小于零,定理4.12 实二次型为正定二次型的充分必要条件是: 二次型的标准形的n个系数都大于零。,判定二次型的正定性,定理4.13,推论,若A是n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的： （1）xTAx是正定二次型（或A是正定矩阵）；（2）A的正惯性指标为n；（3）存在可逆矩阵P

3、，使得A=PTP；（4）A的n个特征值全大于零。,例 证明：如果A是正定矩阵，则A1、AT都是正定矩阵。,证明因为是正定矩阵，所以的特征值全大于零,设的特征值为，则,而的特征值为,的特征值为,定理3 (hurwitz定理）,定义,都叫做矩阵的顺序主子式。,推论,二次型为正定的充分必要条件是：二次型的矩阵的所有顺序主子式大于,二次型为负定的充分必要条件是：二次型的矩阵的所有奇数阶顺序主子式小于，偶数阶顺序主子式大于,A的三个顺序主子式为,所以A是正定矩阵，f 是正定二次型。,例 判断二次型的正定性,解法1 二次型的矩阵为,解出特征值,故A是正定矩阵，f 是正定二次型。,例 判断二次型的正定性,解法2 二次型的矩阵为,解 二次型的矩阵,A的三个顺序主子式为,所以 f 为负定二次型。,例 判断二次型的正定性,解二次型的矩阵为,要使A正定,则应有,例当 为何值时, 下列二次型是正定的,A的三个顺序主子式为,判别正定二次型（矩阵）的三种方法,1.将二次型化为标准形,2.求出二次型矩阵的特征值,3.计算二次型矩阵的顺序主子式,作业,