二次型,正定二次型.ppt

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1、二次型,正定二次型一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型.（我们仅讨论实二次型）（我们仅讨论实二次型）则矩阵则矩阵A称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵（matrix）.5.1 二次型及其矩阵表示（2）令5.1 二次型及其矩阵表示于是有于是有5.1 二次型及其矩阵表示二、非退化线性替换二、非退化线性替换1 1、定义、定义是两组文字是两组文字,关系式关系式称为由称为由的一个的一个线性替换线性替换;若系数行列式若系数行列式|c|cij|0,0,则称则称为为非退化线性替换非退化线性替换(non-degenerate linear transformation)(non

2、-degenerate linear transformation).5.1 二次型及其矩阵表示 positive definite quadratic form正定二次型正定二次型判定方法判定方法1.特征值法特征值法:对称矩阵对称矩阵A A正定的充要条件是正定的充要条件是A A的特征值全大于的特征值全大于0 0。2.化标准形法化标准形法:将二次型矩阵化为标准型看系数是否都为将二次型矩阵化为标准型看系数是否都为正。正。3.定义法定义法:用正定矩阵的定义进项判定。用正定矩阵的定义进项判定。4.顺顺序主子式法序主子式法:对称矩阵对称矩阵A A正定的充要条件是正定的充要条件是A A的所有顺序主子式的

3、所有顺序主子式全大于全大于0 0。5.惯性指数判别法惯性指数判别法:一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数其一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数其中中1 1的个数的个数p p称为正惯性指称为正惯性指数数6.合同法：合同法：实对称矩实对称矩A A正定的充要条件是正定的充要条件是A A与单位矩阵与单位矩阵E E合同。合同。正定二次型正定二次型一一 正定二次型的定义正定二次型的定义1 定义定义设为实二次型，若对任何都有则称二次型是正定的正定的（负定的负定的），并称其对应的矩阵为正定矩阵正定矩阵例例是正定的不是正定的（负定矩阵）（负定矩阵）。证明：证明：必要性：记为即由 可逆矩阵可知道又故是正定的。

4、对任意的记为即由可逆矩阵可知道又故是正定的。充分性：其中对任意的二二 正定的判断方法正定的判断方法惯性指数判别法惯性指数判别法为正定的当且仅当fn 元实二次型定理定理的正惯性指数推论推论矩阵A是正定的当且仅当A的全部特征值均为正例例设n 阶矩阵A是正定矩阵，证明（m为正整数）也正定矩阵注注为负定的当且仅当n 元实二次型的负惯性指数为 主子式判别法主子式判别法（1）定义）定义设n 阶方阵方阵A的前k行和前k列所成的子式称为矩阵A的k阶主子式主子式（2）为正定的当且仅当n 元实二次型定理定理对称矩阵A的各阶主子式都大于零。注注为负定的当且仅当n 元实二次型对称矩阵A的各阶满足证明：为负定的当且仅当

5、二次型即二次型为正定的。显然二次型的k阶主子式为故由定理可得。例例1 二次型为t满足什么条件时，二次型是正定的；t满足什么条件时，二次型是负定的；解：解：二次型矩阵为则当即时二次型是正定的当即时二次型是负定的 定义法定义法例例3设矩阵A,B矩阵正定矩阵，证明均是正定矩阵。证明：证明：对任意的故是正定矩阵。对任意的2n维记其中为n维向量由可得或故例例4 设满足证明是正定二次型矩阵。证明：证明：故A是对称矩阵。对任意的由可得记则故是正定二次型矩阵。例例5设 是正定矩阵,证明反对称矩阵,是正定矩阵,证明：证明：对任意的是正定矩阵,反对称矩阵,得故对任意的是正定矩阵,有由合同法合同法1.合同具有合同具有对称性（对称性（symmetrysymmetry）：）：反身性（反身性（reflexivityreflexivity）：）：注意注意注意注意1 1、定义、定义 设设 ，若存在可逆矩阵，若存在可逆矩阵使使 ，则称，则称A与与B合同合同(congruent).5.1 二次型及其矩阵表示此此课件下件下载可自行可自行编辑修改，修改，仅供参考！供参考！感感谢您的支持，我您的支持，我们努力做得更好！努力做得更好！谢谢!