1992年考研数学二真题及答案.doc

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1、1992年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设其中可导,且,则.(2) 函数在上的最大值为.(3) .(4) .(5) 由曲线与直线所围成的图形的面积.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当时,是的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但非等价的无穷小(2) 设,则 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 当时,函数的极限 ( )(A) 等于2 (B) 等于0(C) 为 (

2、D) 不存在但不为(4) 设连续,则等于 ( )(A) (B) (C) (D) (5) 若的导函数是,则有一个原函数为 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本题共5小题,每小题5分,满分25分.)(1) 求.(2) 设函数由方程所确定,求的值.(3) 求.(4) 求.(5) 求微分方程的通解.四、(本题满分9分)设,求.五、(本题满分9分)求微分方程的通解.六、(本题满分9分)计算曲线上相应于的一段弧的长度.七、(本题满分9分)求曲线的一条切线,使该曲线与切线及直线所围成的平面图形面积最小.八、(本题满分9分)已知,试证：对任意的二正数和,恒有成立.1992年全国硕士研究生入学统一考试

3、数学二试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(2)【答案】(3)【答案】(4)【答案】(5)【答案】二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(B)(2)【答案】(D)(3)【答案】(D)(4)【答案】(C)(5)【答案】(B)(3)【答案】 其中为任意常数.方法1：积分的凑分法结合分项法,有(4)【答案】(5)【答案】,其中为任意常数四、(本题满分9分)分段函数的积分应六、(本题满分9分)由于,所以 .七、(本题满分9分)过曲线上已知点的切线方程为,其中当存在时,.O2如图所示,设曲线上一点处的切线方程为,化简即得 .面积 ,其一阶导数 .令解得唯一驻点,而且在此由负变正,即在单调递减,在单调递增,在此过程中在时取极小值也是最小值,所以将代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为.八、(本题满分9分)证法一：用拉格朗日中值定理证明.不妨设,要证的不等式是.在上用中值定理,有 ,在上用中值定理,又有 ,由所以单调减,而,有,所以,即 .证法二：用函数不等式来证明.要证 .令辅助函数,则.由单调减,由此,.改为即得证.