1997年考研数学二真题及答案.doc

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1、1997年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.) (cos x)x-2 ,(1) 已知 f (x) = a,x 0,x = 0在 x = 0 处连续,则a = 1- x1+ x2x=0(2) 设 y = ln,则 y= (3) +dx= x(4 - x)dx(4) 0= . x2 + 4x + 8(5) 已知向量组a1 = (1, 2, -1,1),a2 = (2, 0, t, 0),a3 = (0, -4, 5, -2) 的秩为 2,则t = 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中

2、,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) b(1) 设 x 0 时 , etan x - ex 与 xn 是 同 阶 无 穷 小 , 则 n 为 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (2) 设在区间a, b 上 f (x) 0, f (x) 0, 记 S1= a f (x)dx, S2 =f (b)(b - a) , 1S3 = 2 f (a) + f (b)(b - a) , 则 ( ) (A) S1 S2 S3 (B) S2 S3 S1 (C) S3 S1 S2 (D) S2 S1 S3 (3)已知函数 y =f (x) 对一切 x 满足 xf (x)

3、 + 3x f (x)2 = 1- e- x ,若 f (x ) = 0(x 0), 00则 ( ) (A) f (x0 ) 是 f (x) 的极大值 (B) f (x0 ) 是 f (x) 的极小值 (C) (x0 , f (x0 ) 是曲线 y =f (x) 的拐点 (D) f (x0 ) 不是 f (x) 的极值, (x0 , f (x0 ) 也不是曲线 y =f (x) 的拐点 (4) 设 F (x) = x+2p esin t sin tdt, 则 F (x) ( ) x(A) 为 正 常 数 (B) 为 负 常 数(C) 恒 为 零 (D) 不 为 常 数 2 - x,x 0x2

4、,x 0 , f (x) = -x, 则 g f (x) 为 ( ) x 02 + x2 ,x 02 - x2 ,x 0(A) 2 - x,x 0 (B) 2 + x, x 02 - x2 ,x 02 + x2 ,x 0, f (x) 0 可知,曲线 y =f (x) 是bD上半平面的一段下降的凹弧, y = f (x) 的图形大致如右图. yS1 =a f (x)dx 是曲边梯形 ABCD 的面积； S2 = f (b)(b - a) 是矩形 ABCE 的面积； 1ECS3 = 2 f (a) + f (b)(b - a) 是梯形 ABCD 的面积. 由图可见 S2 S1 S3 ,应选(D)

5、. abxBAO方法 2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的 f (x) 都成立的结果,故可以取满足条件的1特定的 f (x) 来观察结果是什么.例如取 f (x) =, x 1, 2,则 x221115S1 = 1 x2 dx = 2 , S2 = 4 , S3 = 8 S2 S1 S3 . 【评注】本题也可用分析方法证明如下： b由积分中值定理,至少存在一个点x ,使a f (x)dx =f (x )(b - a), a x b 成立,再由f (x) f (b), 从而 bS1 = a f (x)dx = f (x )(b - a) f (b)(b - a) = S2 . 1x为证 S3

6、 S1 ,令j(x) = 2 f (x) + f (a)(x - a) - af (t)dt, 则j(a) = 0, j(x) = 1 f (x)(x - a) + 1 ( f (x) + f (a) - f (x) 22= 1 f (x)(x - a) - 1 ( f (x) - f (a) 22= 1 f (x)(x - a) - 1 f (h)(x - a)(a h 0 ,所以 f (x) 是单调递增的,故 f (x) f (h) , j(x) 0 ,即j(x) 在a, b 上单调递增的.由于j(a) = 0, 所以j(x) 0, x a, b ,从而 1bj(b) = 2 f (b)

7、+ f (a)(b - a) - a即 S3 S1 .因此, S2 S1 0 , 如果题目改为证明题,则应该用评注所讲的办法去证,而不能用图证. (3) 【答案】(B) 题目考察函数的极值点与拐点问题,分析如下： 由 f (x ) = 0 知 x = x 为 f (x) 的驻点. 把 x = x 代入恒等式 x f (x ) = 1- e- x0 , 即000001 e0x- - x0f (x ) =.由于分子、分母同号,故 f (x ) ,因此驻点=为极小值点.应选00xx00(B). (4) 【答案】(A) 由于函数esin t sin t 是以2p 为周期的函数,所以, x0F (x)

8、= x+2p esin t sin tdt = 2p esin t sin tdt , F (x) 的值与 x 无关.不选 D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关). 估计 2p esin t sin tdt 的值有多种方法. 0方法 1：划分esin t sin t 取值正、负的区间. 00pF (x) = 2p esin t sin tdt = p esin t sin tdt + 2p esin t sin tdt= p esin t sin tdt + p e-sin u (-sin u)du00= p (esin t -e-sin t ) sin tdt0当0 t 0 , esin

9、 t - e-sin t 0, 所以 F (x) 0 .选(A). 方法 2：用分部积分法. F (x) = 2p esin t sin tdt = - 2p esin t d cos t00= - esin t cos t 2p + 2p cos tdesin t00= -e0 (1-1) + 2p esin t cos t 2dt = 2p esin t cos t 2dt 0.00故应选(A). 【评注】本题的方法 1 十分有代表性. 被积函数在积分区间上可以取到正值与负值时,则常将积分区间划分成若干个,使每一个区间内,被积函数保持确定的符号,然后再作适当的变量变换,使几个积分的积分上下

10、限相同,然后只要估计被积函数的正、负即可. (5) 【答案】(D) 题目考察函数的复合问题,分清内层函数的定义域与值域,要注意内层函数的值域又构成了外层函数的定义域. 当 x 0 ,则 g f (x) = f (x) + 2 = x2 + 2 ； 当 x 0 时, f (x) = -x 0 ,则 g f (x) = 2 - f (x) = 2 - (-x) = 2 + x . x2 + 2,故 g f (x) = 2 + x,x 0x 0,因此应选(D). 三、(本题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.) (1) 【分析】这是 型的极限,可以设法约去分子、分母中极限为 的因子,从而转

11、化为确定x2x2x2型的极限.于是分子、分母同除.在计算过程中应注意 x 趋于负无穷. 分子、分母同除,注意= -x (x 0) ,则 原式= limx-= 1 . 4 + 1 - 1 -1- 1xx2x1- sin x x24 -11(2) 题目考察参数方程所确定的函数的微分法. xy = yt , x =1, xt1+ tt2yt 可由第二个方程两边对t 求导得到： tt=. 2 y - 2tyy - y2 + et = 0 , 解得 y =y2 - et.由此,有(1+ t 2 )( y2 - et )t2(1- ty)yx2(1- ty)(3) 题目考察,不定积分的换元与分部积分法,难

12、度不大,具体计算如下： 原式= e2 x (sec2 x + 2 tan x)dx = e2 x sec2 xdx + 2 e2 x tan xdx 分部= e2 xd tan x + tan xde2 x = e2 x tan x + C . (4) 题目考察齐次微分方程的通解,分别利用齐次方程的求解方法和凑全微分方法 计算如下： 方法 1：所给方程是齐次方程. 令 y = xu ,则dy = xdu + udx ,代入原方程得 3(1+ u - u2 )dx + x(1- 2u)du = 0 , 分离变量得 1- 2u 1+ u - u2du = -3 dx , xd (1+ u - u2

13、 )1积 分 得 1+ u - u2= -3 x dx , 即 1+ u - u2 = Cx-3 . 以u = y 代入得通解 x2 + xy - y2 = C . xx方法 2：用凑全微分的方法求解.由于 (3x2 + 2xy - y2 )dx + (x2 - 2xy)dy = 3x2dx + ( yd (x2 ) + x2dy) - ( y2dx + xd ( y2 ) = d (x3 ) + d (x2 y) - d (xy2 ) = d (x3 + x2 y - xy2 ) , 故通解为： x3 + x2 y - xy2 = C . (5) y - y = e- x 与 y - y =

14、 e2 x - e- x 都是相应齐次方程的解, ( y - y ) + ( y - y ) 13121312= e2 x 也是相应齐次方程的解, e- x 与 e2 x 是两个线性无关的相应齐次方程的解；而2y - e- x = xex 是非齐次方程的解.下面求该微分方程： 方法 1：由e- x , e2 x 是齐次解,知r = -1, r= 2 是特征方程的两个根,特征方程为 12(r +1)(r - 2) = 0 ,即r 2 - r - 2 = 0 , 相应的齐次微分方程为： y - y - 2 y = 0 . 设所求非齐次方程为： y - y - 2 y = f (x) ,把非齐次解

15、xex 代入,便得 f (x) = (xex ) - (xex ) - 2(xex ) = (1- 2x)ex . 所求方程为： y - y - 2 y = (1- 2x)ex . 12方法 2：由于通解为： y = c e- x + c e2 x + xex ,求出 y = -c e- x + 2c e2 x + (x +1)ex , y = c e- x + 4c e2 x + (x + 2)ex , 1212并消去c , c ,便得微分方程 y - y - 2 y = (1- 2x)ex . 12021(6)【答案】 000 000由题设条件 A2 - AB = E ,把 A 提出来得

16、A( A - B) = E ,因为 11-1A = 011 = -1 0 , 00-1由此知道 A 是满秩的,所以 A 可逆,两边左乘 A-1 ,从而有 A - B = A-1 , B = A - A-1 . (或 A2 - AB = E , AB = A2 - E, A 可逆,两边左乘 A-1 ,得 B = A-1 ( A2 - E ) = A - A-1 ). 用矩阵的初等变换求 A-1 . 11-1M100 1+3(-1) 110 M10-1 2+3 AM E = 011 M010010 M011 00-1M00100-1M001 1+2(-1) 100M1-1-23(-1) = -1

17、010M011 EM A 001M00-11-1-2得 A-1 = 011 , 00-111-11-1-2021从 而 得 B = A - A-1 = 011 - 011 = 000 . 四、(本题满分 8 分.) 00-100-1000方法 1：对原方程组的增广矩阵作初等行变换： 2l-1M 1 2+1 2l-1M 1 3+1(-5) AMb = l-11 M 2 l + 2l -10 M 3 45-5M-1 -6-5l + 50 M-63+252l-1M1 l + 2l -10 M35l + 400 M94M当 l -且l 1 时, r ( A) = r A b = 3 ,即方程组的系数矩

18、阵与增广矩阵的秩相等54且等于未知量的个数,故原方程组有唯一解. 当 l = - 5 时, r ( A) = 2 r AMb = 3 ,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,故原方程组无解. 当l = 1 时,原方程组的同解方程组为 2x1 + x2 - x3 = 1x= , 1x1 = 1,原方程组有无穷多解,其通解为x = -1+ k , ( k 为任意常数). 2x = k. 3123(或x ,x ,x T = 1,-1,0T + k 0,1,1T ( k 为任意常数) 方法 2：原方程组系数矩阵的行列式 2l-12ll -1A = l-11 = l-10= (l -1)(5l + 4

19、) , 45-54504M故知：当l -且l 1时, r ( A) = r A b = 3 ,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等54且等于未知量的个数,故原方程组有唯一解. 当l = -时,对原方程组的增广矩阵作初等行变换,得 512-M4-15 15 10-4-5 M5 10-4-5 M5 4 25 3+2 AMb = - 5-11M2 -4-55M 10 -4-55M 10 45-5 M-1 45-5 M-1 000M9 r ( A) r AMb,即方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,故原方程组无解. 当l = 1 时,对原方程组的增广矩阵作初等行变换,得 2112-1M 1 2+1(

20、-2) 13+23-11 M 2 211-11 M 2 3+1(-4) 31-11 M 2 03-3M-3 01-1M-1 45-5M-109-9M-9000 M 0 r ( A) = r AMb = 2 0 , a = -5 是极小值点15315也是最小值点.(易验证,此时 f (x) = - 15 x2 + 9x 在(0,1 恒正.) 2 七、(本题满分 8 分.) 【分析】通过变换将j(x) 化为积分上限函数的形式,此时 x 0 ,但根据limx0f (x) x= A ,知 1f (0) = 0 ,从而j（0）= 0 f (0)dt = 0 ,由此,利用积分上限函数的求导法则、导数在一点

21、处的定义以及函数连续性的定义来判定j(x) 在 x = 0 处的连续性. 由题设lim f (x) = A 知, f (0) = 0, f (0) = A, 且有j(0) = 0 .又 xx0x10 f (u)duj(x) = 0 f (xt)dt u = xt xx(x 0), 从而 j(x) = xf (x) - 0x2f (u)du(x 0) . 由导数定义,有 xj(0) = lim 0f (u)du f (x) A= lim=. x0x2x0 2x2xx由于 limj(x) = lim xf (x) - 0 f (u)du = lim f (x) - lim 0f (u)du x0x

22、0x2x0xx0x2 = A - A = A = j(0) , 22从而知j(x) 在 x = 0 处连续. 八、(本题满分 8 分) 设 f (x) = x - p2psin x ,研究 f (x) 在(0,) 内的极值情况,从而判定它与水平线2y = k的 交点个 数 . 由f (x) = 1- p cos x = 0 解得 f (x)2p在 (0,)2内的 唯一 驻点 x = arccos 2 ；由cos x 在(0, p ) 单调减, f (x) 在点 x 由负变正, x 是 f (x) 的极小点也是0p200pp最小点.最小值 f (x0 ) = x0 - 2 sin x0 y0 ；由此,最大值 f (0) = f ( 2 ) = 0 (显然 y0 0 ). 当 k 0 或 k y0 时, y = f (x) 与 y = k 没有交点；当 k = y0 时,两者有唯一交点；当y0 k 0 时,两者有两个交点. p评注：也可以设 g(x) = x - sin