1990-1992考研数学二真题及参考答案.pdf

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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 1 页 1990 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷一）一、填空题：(本题满分15 分，每小题 3 分)(1)过点)1,2,1(M且与直线1432tztytx垂直的平面方程是 x-3y-z+4=0.(2)设a为非零常数，则axxeaxax2)(lim.(3)设函数11,0,1)(xxxf,则)(xff=_1_(4)积分dyedxxy2022的值等于4(1)/2e.(5)已知向量组 1=(1,2,3,4)，2=(2,3,4,5)，3=(3,4,5,6

2、)，4=(4,5,6,7)，则该向量组的秩是 2 二、选择题：(本题满分 15 分，每小题 3 分)(1)设()f x是连续函数，且xexdttfxF)()(则)(xF等于(A)（A）)()(xfefexx(B)()(xfefexx(C)()(xfefexx(D)()(xfefexx(2)已知函数()f x具有任意阶导数，且2)()(xfxf,则当n为大于2的正整数时，()f x的 n 阶导数)()(xfn是 (A)(A)1)(!nxfn (B)1)(nxfn (C)nxf2)(D)nxfn2)(!(3)设为常数，则级数1)sin(12nnnan（C）(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D

3、)收敛性与的取值有关.(4)已知()f x在0 x 的某个邻域内连续，且(0)0f,2cos1)(lim0 xxfx则在点0 x 处()f x(D)(A)不可导(B)可导,且0)0(f (C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1和2是非齐次线性方程组 AX=b 的两个不同的解，21,是对应导出组 AX=0欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 2 页 基础解系，21,kk为任意常数，则方程组 AX=b 的通解（一般解）必是(B)(A)2)(2121211kk(B)2)(2121211kk(C)2)(2121211kk(D

4、)2)(2121211kk三、(本题满分 15 分，每小题 5 分)(1)求dxxx102)2()1ln(.解：11200ln(1)1ln(1)(2)2xdxx dxx110011ln(1)2(1)(2)xdxxxx2 分 101111ln2()ln232(1)3dxxx.5 分(2)设(2,sin)zfxy yx，其中(,)f u v具有连续的二阶偏导数，求yxz2.解：2coszffyxxuv.2 分 2222222(2sincos)sincoscoszffffxyxyxxxx yuu vvv .5 分(3)求微分方程xeyyy244 的通解(一般解).解：特征方程为2440rr的根为1,

5、22r.对应齐次方程的通解为212()xYCC x e，其中12,C C为任意常数.2 分 设原方程的特解为*2()xy xAx e，代入原方程得12A.4 分 因此，原方程的通解为2*2212()()2xxxy xYyCC x ee.5 分 四、(本题满分 6 分)求幂级数 0)12(nnxn的收敛域,并求其和函数.解：因为123limlim121nnnnanan，所以11R.显然幂级数0(21)nnnx在1x 时发散，故此幂级数的收敛域为(1,1).2 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 3 页 又000()(

6、21)2nnnnnnS xnxnxx012()1nnxxx5 分 2221111(1)1(1)xxxxxx.6 分 五、(本题满分 8 分)求曲面积分 I=sdxdyyzdzdx.2其中 S 是球面4222zyx外侧在0z的部分 解：令22140 xySz，其法向量与z轴的负向相同.设1SS和所围成的区域为，则由奥-高公式有12SIyzdzdxdxdyzdxdydz.2 分 而221140,228SSxyyzdzdxdxdydxdy .4 分 2222000cossin4zdxdydzddrrdr.7 分 所以12I.8 分 六、(本题满分 8 分)设不恒为常数的函数)(xf在闭区间,a b上

7、连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()f af b.证明：在(,)a b内至少存在一点,使0)(f.证：因()()()f af bf x且不恒为常数，故至少存在一点(,)ca b，使得()()()f cf af b.于是()()()()f cf af cf a或.2 分 现设()()f cf a，则在,a c上因()f x满足拉格朗日定理的条件，故至少存在一点(,)(,)a ca b，使得1()()()0ff cf aca.6 分 对于()()f cf a情形，类似地可证得此结果.7 分 七、(本题满分 8 分)设四阶矩阵B1000110001100011，C2000120031204

8、312 且矩阵A满足关系式ECBCEA)(1,其中E为四阶单位矩阵,1C表示C的逆矩阵,C表示 C 的转置矩阵,将上述关系化简并求矩阵 A.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 4 页 解：因11()()()A EC B CA C EC BA CB,故()A CBE2 分因此 1()AC B110002100321043214 分 1000210012100121 6 分 八、(本题满分 8 分)求一个正交变换化二次型32312123222184444xxxxxxxxxf成标准形.解：二次型的矩阵122244244 A1

9、 分 由2122|244(9)244 AE，A的特征值为1230,9.3 分对于120，122122244000244000 AE，从而可取特征向量1011P 及与1P正交的另一特征向量2411P.5 分 对于39，822245254099245000 AE，取特征向量3122P.6 分 将上述相互正交的特征向量单位化，得1234103 23112,323 2211323 2，7 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 5 页 故在正交变换11223341033 2112323 2112323 2xyxyxy下，二次型

10、239fy.8 分 九、(本题满分 8 分)质点 P 沿着以 A,B 为直径的半圆周,从点 A(1,2)运动到点 B(3,4)的过程中受变力F作用（见图），F的大小等于点 P 与原点 O 之间的距离，其方向垂直于线段 OP 且于 y 轴正向的夹角小于2.求变力F对质点 P 所作的功.解：按题意，变力yx Fij.3 分 圆弧AB的参数方程是22cos34432sinxy.5 分 变力F所作的功 ABWydx xdy434 2(32sin)sin2(22cos)cos d 218 分 十、填空题：(本题满分6 分，每小题2 分)(1)已知随机变量 X 的概率密度函数 f(x)=xe21,x，则

11、X 的概率分布函数()F x 1212010 xxexex.(2)设随机事件 A，B 及其事件AB的概率分别为6.0,3.0,4.0和，若_B表示 B 的对立事件，那么积事件BA的概率3.0)BA(P(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量32ZX的数学期望()E Z 4 .十一、(本题满分 6 分)设二维变量(X,Y)在区域 xyxD,10:内服从均匀分布，求关于 X 的边缘概率密度函数及随机变量 Z=2X+1 的方差 D(Z).欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 6 页 解：(,)X Y的联合概

12、率密度函数是1,01,|,(,)0,xyxf x y其它，因此关于 X 的边缘概率密度函数是2,01()(,)0,Xxxfxf x y dy其它.2 分 22D(Z)(21)4()()DXE XE X22XX4()()x fx dxxfx dx 4 分 21132001424224299x dxx dx.6 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 7 页 数 学（试卷二）一、填空题【同数学一 第一题】二、选择题【同数学一 第二题】三、(本题满分 15 分，每小题 5 分)【同数学一 第三题】四、(本题满分 18 分，每

13、小题 6 分)(1)【同数学一 第四、(1)题】(2)求微分方程0)ln(lndxxyxdyx满足条件1exy 的特解.解：将原方程化为11,(1)lnyyxxxx.1 分 由公式()()()P x dxP x dxyeQ x edxC3 分 得2lnln111lnln2dxdxxxxxyeedxCxCxx.4 分 又由|1x ey，可解出12C，所以方程的特解是11ln2lnyxx.6 分(3)过点(1,0)P作抛物线2xy的切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.解：设所作切线与抛物线相切于点00(,2)xx.因00011|2222xx xyxx，故此

14、切线的方程为0012()22yxxxx.1 分 又因该切线过点(1,0)P，所以有03x.从而切线的方程为1(1)2yx.3 分 因此，所求旋转体的体积332121(1)(2)4Vxdxxdx5 分 6.6 分 五、（本题满分 8 分）【同数学一 第五题】六、（本题满分 7 分）【同数学一 第六题】七、（本题满分 6 分）【同数学一 第七题】八、（本题满分 8 分）【同数学一 第八题】九、（本题满分 8 分）【同数学一 第九题】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 8 页 数 学（试卷三）一、填空题：(本题满分15 分，

15、每小题 3 分)(1)曲线tytx33sincos上对应于6t点处的法线方程是13 xy.(2)设xeyxtg1sin1，则 y1tan221111(secsincos)xexxxx.(3)101dxxx15/4(4)下列两个积分的大小关系是：dxedxexx121233.(5)【同数学一 第一、(3)题】二、选择题：(本题满分 15 分，每小题 3 分)(1)已知0)1(lim2baxxxx，其中,a b常数，则(C)(A)1,1ab(B)1,1ab(C)1,1ab(D)1,1ab (2)设函数)(xf在),(上连续，则)(dxxfd等于(B)(A)(xf(B)dxxf)(C)cxf)(D)

16、dxxf)(3)【同数学一 第二、(3)题】(4)【同数学一 第二、(4)题】(5)设0),0(0,)()(xfxxxfxF，其中()f x在0 x 处可导，(0)0,(0)0ff，则0 x 是()F x的（B）(A)连续点(B)第一类间断点 (C)第二类间断点（）连续点或间断点不能由此确定三、(本题满分 15 分，每小题 3 分)(1)已知9)(limxxaxax，求常数a.解：因2(1)lim()lim(1)xxaxxxaxaxeaxax3 分 故29ae,ln3a.5 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 9

17、页(2)求由2()ln()yxxyxy所确定的函数()yy x的微分dy.解：对方程两边求微分2()ln()()dxdydydxdxdyxyxyxy,3 分 故2ln(),3ln()2xyxdydxdydxxyxy或.5 分(3)求曲线)0(112xxy的拐点.解：2222 3231,2(1)(1)xxyyxx.2 分 令0y,解得13x.因在13x 的左右邻近y变号,故13x 是拐点的横坐标.所以曲线的拐点是13(,)43.5 分(4)计算 dxxx2)1(ln.解：原式1ln1xdxln11(1)xdxxxx2 分 10ln11()11xdxxxx4 分 ln|1|ln1xxCxx.5 分

18、(5)见【数学二 第四（2）题】四、(本题满分 9 分)在椭圆12222byax的第一象限部分上求一点，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积为最小（其中0,0ab）.解：设00(,)P xy为所求之点，则此点处的切线方程为00221xxyyab.2 分 令0 x，得该切线在y轴上的截距20by.令0y，得该切线在x轴上的截距20ax.4 分 于是所围图形的面积为2200011,(0,)24abSabxaxy.6 分 求S的最小值时，不妨设220000bxAx yaxa，则2202202axbAaax.7 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您

19、提供优质的文档！1990 年 第 10 页 令0A,解得在(0,)a内唯一驻点02ax.8 分 由A在02ax 点处的左侧为正，右侧为负，得知02ax 为A的极大点，即S的极小点.所以02ax 时，S为最小，此时02by,即(,)22ab为所求之点.9 分 五、(本题满分 9 分)证明：当0 x 时，有不等式 21xarctgx.解：考虑函数1()arctan,02f xxxx.2 分 有2211()0,01fxxxx.4 分 所以()f x在(0,)上是单调减少的.5 分 又lim()0 xf x 7 分 知当10,()arctan02xf xxx时.8 分 即1arctan2xx.9 分

20、六、(本题满分 9 分)设dtttxfx11ln)(,其中0,x 求 1()().f xfx解：111ln()1xtfdtxt.令1ty，得11ln()(1)xyfdyxyy.3 分 于是111lnln()()(1)(1)xxttf xfdtdtxttt111()ln(1)(1)xtdtttt5 分 1111()ln11xtdtttt 7 分 21ln1ln2xtdtxt.9 分 七、（本题满分 9 分）【同数学二 第四、（3）题】八、(本题满分 9 分)求微分方程axeyyy 44之通解，其中a为实数.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文

21、档！1990 年 第 11 页 解：特征方程为2440rr，特征根为1,22r.对应齐次方程的通解为212()xyCC x e.2 分 当2a 时，设非齐次方程的特解为*()axy xAe，3 分 代入原方程，可得21(2)Aa,*21()(2)axyxea.当2a 时，设非齐次方程的特解为*21()xy xAx e.代入原方程，得12A,*21()2xy xx e.8 分 故通解为212222121()2(2)()()()22xaxxCC x eeaay xxy xCC xea，当，当.9 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！19

22、90 年 第 12 页 数 学（试卷四）一、填空题：(本题满分15 分，每小题 3 分)(1)极限lim(3)nnnnn2(2)设函数()f x有连续的导函数，0)0(f且bf)0(，若函数00,sin)()(xxAxxaxfxF在0 x 处连续，则常数 A a+b .(3)曲线2yx与直线2yx所围成的平面图形的面积为 4.5 .(4)若线性方程组414343232121axxaxxaxxaxx有解，则常数4321,aaaa应满足条件04321aaaa(5)一射手对同一目标独立的进行四次射击，若至少命中一次的概率为8180，则射手的命中率为2/3二、选择题：(本题满分15 分，每小题 3 分

23、)(1)设函数xetgxxxfsin)(，则)(xf是 （B）（A）偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数(2)设函数()f x对任意x均满足等式(1)()fxa f x，且有bf)0(,其中,a b为非零常数，则 (D)（A）()f x在1x 处不可导（B）()f x在1x 处可导，且af)1(（C）()f x在1x 处可导,且 f(1)b（D）()f x在1x 处可导，且 f(1)ab.(3)向量组s,21 线性无关的充分条件是(A)s,21 均不为零向量(B)s,21 中任意两个向量的分量不成比例(C)s,21 中任意一个向量均不能由其余1s个向量线形表示(D)s,21 中有一

24、部分向量线形无关(4)设 A，B 为两随机事件，且AB，则下列式子正确的是 (A)(A)P(A+B)=P(A)(B)P(AB)=P(A)(C)P(AB)=P(B)(D)P(B-A)=P(B)-P(A)欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 13 页(5)设随机变量 X 和 Y 相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是 (C)(A)X=Y(B)0P XY(C)P XY21(D)1P XY三、(本题满分 20 分，每小题 5 分)(1)求函数()I x dttttxe12ln2在区间2,ee上的最大值.解：由222lnln()

25、0,21(1)xxI xxe exxx,1 分 可知()I x在2,e e上单调增加,故 222lnmax()(1)ee x eetI xdtt 21ln1eetdt22ln1111eeeetdtttt 3 分 22121ln11eeteet11lnln(1)11eeeeee.5 分(2)计算2yDxedxdy，其中 D 是曲线24yx和29yx在第一象限所围成的区域.解：原式2302yyyedyxdx2 分 20111()249yyy edy3 分 205572144yyedy.5 分(3)求级数的12)3(nnnx收敛域.解：21nan,121(1)nan，212limlim1(1)nnn

26、nanan,2 分 因此当131x，即24x级数收敛.3 分 当2x 时，得交错级数211(1)nnn；当4x 时，得级数211nn，二者都收敛，于是原级数的收敛域为2,4.5 分 m-1 1；m-1 1 mXP2121mYP2121欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 15 页 当0a 时，在0,a和,b ab上分别应用拉格朗日定理,有 11()(0)()(),0,0f aff afaaa；3 分 22()()()()(),(

27、)f abf bf abf bfb ababba.4 分 显然120ababc.因()fx在0,c上单调减少，故21()()ff.从而有()()()f abf bf aaa.5 分 故由0a，有()()()f abf af b.6 分 六、(本题满分 8 分)已知线性方程组 1234512345234512345323022654332xxxxxaxxxxxxxxxbxxxxx(1)问,a b为何值时，方程组有解?(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系；(3)方程组有解时,求出方程组的全部解.解：(1)考虑方程组的增广矩阵 1111111111321130012263012260

28、00003543312000002 2aaaAbbaa2 分 当30ba且220a，即13ab且时，方程组的系数矩阵与增广矩阵之秩相等，故1,3ab时，方程组有解.3 分(2)当1,3ab时，有1111110115201226 3012263000000000000000000000000aaA，因此，原方程组的同解方程组为13452345522263xxxxxxxx，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 16 页 故导出组的基础解系为123115226,100010001vvv.6 分(3)令3450 xxx，得原方程

29、组的特解23000u，于是原方程组的全部解为1231234521153226010000100001xxuxcccxx，其中123,c c c为任意常数.8 分 七、(本题满分 5 分)已知对于 n 阶方阵A，存在自然数k，使得0kA，试证明矩阵EA可逆，并写出 其逆矩阵的表达式（E为 n 阶单位阵）.解：由0kA 及1kkEA EAAEA()()，得 1kEA EAAE()()3 分 可知EA可逆，且有11()kEAEAA.5 分 八、(本题满分 6)设 A 为 n 阶矩阵，1和2是 A 的两个不同的特征值，21,xx是分别属于1和2的特征向量，试证明：21xx 不是 A 的特征向量.解：因

30、11 122212,Axx Axx,故12121 122()A xxAxAxxx2 分 设21xx 是 A 的特征向量，则1212()()A xxxx，即1 12212()xxxx，于是有1122()()0 xx.4 分 由于12,x x属于不同的特征值，所以12,x x线性无关，故有120,0，即12，这与假设矛盾，因此21xx 不是 A 的特征向量.6 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 17 页 九、(本题满分4 分)从 0,1,2,9 等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率：1A 三个数字中

31、不含 0 和 5 ；2A 三个数字中含 0 但不含 5 解：3813107()15CP AC 2 分 33982310214()15CCP AC.4 分 十、(本题满分 5 分)一电子仪器由两个部件构成，以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)，已知 X 和 Y 的联合分布函数为：它其00,01),()(5.05.05.0yxeeeyxFyxyx.(1)问 X 和 Y 是否独立?(2)求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率.解 X的分布函数1()F x和Y的分布函数2()Fy分别为：0.511,0;()(,)0,0 xexF xF xx 若若，0.521,0;()(,)0,0

32、yeyF yFyy 若若2 分 显然12(,)()()F x yF x F y，故X和Y独立，3 分 于是0.1,0.10.10.1P XYP XP Y 4 分 0.050.050.1121(0.1)1(0.1)FFeee.5 分 十一、(本题满分 7 分)某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成绩为 72 分，96 分以上的占考生总数的 2.3%，试求考生的外语成绩在 60 分至 84 分之间的概率.附表 （表中)(x是标准正态分布函数）解：设X为考生的外语成绩，由题设知2(,)XN，其中72.1 分 由条件知960.023P X，即96720.023XP，亦即

33、24()0.977，由()x的数值表，可见242.因此12.这样2(72,12)XN.4 分 所求概率为607284726084 111212XXPXPP(1)(1)2(1)12 0.841 10.682 .7 分 x0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0)(x0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 18 页 数 学（试卷五）一、填空题(本题满分15 分，每小题3 分)(1)【同数学四 第一、(1)题】(2)【同数学四 第一、(

34、2)题】(3)【同数学四 第一、(3)题】(4)【同数学四 第一、(4)题】(5)已知随机变量(3,1),(2,1)XNYN,且,X Y相互独立，设随机变量27ZXY,则 Z N(0,5).二、选择题 (本题满分15分，每小题 3 分)(1)【同数学四 第二、(1)题】(2)【同数学四 第二、(2)题】(3)【同数学四 第二、(1)题】(4)设 A 为 n 阶可逆矩阵,*A是 A 的伴随矩阵，则*A=(A)(A)1nA(B)A(C)nA(D)1A(5)已知随机变量 X 服从二项分布，且 EX=2.4，DX=1.44，则二项分布的参数n，p的值为 (B)(A)n=4，p=0.6(B)n=6，p=

35、0.4(C)n=8，p=0.3(D)n=24，p=0.1三、(本题满分20分，每小题 5 分)(1)求极限dtetxxtxx22)1(1lim20解：原式22222202(1)(1)limlim(12)xtxxxxxte dtx exex e3 分 22(1)1lim(12)2xxx.5 分(2)求不定积分dxxxx34sin2cos.解 443333coscoscos1222sin88sincossin222xxxxxxdxdxdxxxxx2 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 19 页 3211sinsinsi

36、n42282xxxxdxd 3 分 22111sin828sin2xxdxx 4 分 21cot428sin2xxCx211csccot8242xxxC.5 分(3)设)(22yzyzx，其中为可微函数，求 yz.解 将原式两边同时对y求偏导，得2112()()()zzzzzyzyyyy yy 3 分 解出zy，得()()()()2()2()zzzzzyzzyyyyyzzyzyzyyy.5 分(4)【同数学四 第三、(2)题】四、（本题满分 9 分）【同数学四 第四题】五、(本题满分 6 分)证明不等式221ln(1)1,()xxxxx 证：记22()1ln(1)1f xxxxx，有 2222

37、211()ln(1)ln(1)11xxxfxxxxxxxxx.2 分 令()0fx，知0 x 为驻点.由21()01fxx4 分 可知0 x 为极小值点，亦即最小值点.()f x的最小值为(0)0f，于是，对于一切(,)x ,有()0f x，即221ln(1)1,()xxxxx .6 分 六、(本题满分 4 分)设 A 为1010矩阵00001010000.001000001010,计算行列式EA，其中 E 为 10 阶单位矩阵，为常数.欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1990 年 第 20 页 解：1010000100().000

38、110000AE按第一列展开 1 分 101000100000100100010.000100011000000012 分 9101010()()1010.4 分 七、(本题满分 5 分)设方阵A满足条件TA AE，其中TA是A的转置矩阵，E为单位阵.试证明所对应的 特征值的绝对值等于 1.证：设x是 A 的实特征向量，其所对应的特征值为，则Axx，即TTTx Ax，于是有2TTTx A Axx x，即2TTx xx x，2(1)0Tx x.3 分 因为x为实特征向量，故0Tx x，所以得210，即|1.5 分 八、（本题满分 8 分）【同数学四 第六题】九、（本题满分 5 分）【同数学四 第

39、九题 分值不同】十、(本题满分 6 分)甲乙两人独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2，乙的为0.5，以 X 和 Y 分别表示甲和乙的命中次数，试求 X 和 Y 联合概率分布.解：XY和都服从二项分布，参数相应为(2,0.2)和(2,0.5).因此XY和的概率分布分别为：0120.640.320.04X，0120.250.50.25Y 3 分 故由独立性，知XY和的联合分布为X Y 0 1 2 0 0.16 0.08 0.01 1 0.32 0.16 0.02 2 0.16 0.08 0.01 6 分 十一、(本题满分 7 分)【同数学四 第十一题】欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于

40、互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1991 年 第 1 页 1991 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷一）一、填空题：(本题满分15 分，每小题 3 分)(1)设tytxcos12，则22dxyd34cossintttt.(2)由方程2222zyxxyz所确定的函数(,)zz x y在点(1,0,1)处的全微分 2dzdxdy.(3)已知直线 L1和 L2的方程 1123:101xyzL和221:211xyzL，则过 L1且平行于 L2的平面方程是 x-3 yz+2=0 .(4)已知当0 x 时，21/2(1)1xa与cos1x是等

41、阶无穷小，则常数a 3/2.(5)设 4 阶方阵 A=1100210000120025,则 A 的逆矩阵1A12002500001/32/3001/31/3.二、选择题：(本题满分15 分，每小题 3 分)(1)曲线2211xxeey（D）(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数 f(x)满足关系式2ln)2()(20 xdttfxf，则 f(x)等于 (B)（A）2lnxe（B）2ln2xe（C）2lnxe（D）2ln2xe.(3)已知级数5,2)1(11211nnnnnaa，则级数 1nna等于(C)（A）3（B）7（C）8

42、（D）9(4)设 D 是 XOY 平面上以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角区域，D1是 D 在第一象限的部分，则(cos sin)Dxyxy dxdy 等于（A）欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1991 年 第 2 页(A)12cos sinDxydxdy(B)12Dxydxdy(C)14(cos sin)Dxyxy dxdy(D)0.(5)设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有(D)(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA=E三、(本题满分 1

43、5 分，每小题 3 分)(1)求0lim(cos)xxx解 原式ln os0limcxxxe0limln osxcxxe2 分 0sin1limcos2xxxxe4 分 2e.5 分(2)设n是曲面632222zyx在点 P(1,1,1)处的指向外测的法向量，求函数zyxu2286在点 P 处沿方向n的方向导数 解：462nijk.1 分 22661468PPxzxxyu，22881468PPyzxyyu,2226814PPuzxyz.3 分 从而cos(,)cos(,)cos(,)PPuuuun in jn kxyzn 62832111471414141414.5 分(3)求dvzyx)(2

44、2，其中是由曲线022xzy绕 z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z 所围成的立体 解2284222002()()rxyz dvdrdrrz dz2 分 835052(48)8rrrdr4 分 2563.5 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1991 年 第 3 页 四、(本题满分6 分)在过点 O(0,0)和 A(0,)的曲线族)0(sinaxay中，求一条曲线 L，使沿该曲线从 O 到 A 的积分Ldyyxdxy)2()1(3的值最小.解：330()1sin(2sin)cos I aaxxax ax dx,2 分 3443aa.

45、4 分 令2()4(1)0I aa,得1,(1)aa 舍去，且1a 是()I a在+)(0，内的唯一驻点 5 分 由于(1)80I,()I a在1a 处取到最小值.故所求曲线是sin(0)yxx 6分 五、(本题满分 8 分)将函数()2(11)f xxx 展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并由此求级数121nn的和.解：由于()2(11)f xxx 是偶函数，所以1002(2)5ax dx，1 分 1122002(cos1)2(2)cos()2cos(),1,2,nnaxn x dxxn x dxnn3 分 0,1,2,nbn4 分 因所给函数在 1,1满足收敛定理的条件，故22221052

46、(cos1)54cos(21)2cos()22(21)nknkxxn xnk，1,1x 5 分 令0 x，有 22054122(21)kk，即2201(21)8kk于是22222000111111(21)(2)84kkknnkkn，因此222114386nn.8 分 六、(本题满分 6 分)设函数 f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，且1233()(0)f x dxf，证明在(0,1)内存在一点c，使()0fc.解：由积分中值定理知,在2,13上存在一点1c，使23111()()3f x dxf c，3 分 从而有1()(0)f cf,4 分 故()f x在区间10,c上满足罗尔定理的条

47、件，因此在1(0,)c内存在一点c，使得(c)0.f 1(0,)(0,1)cc.7 分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！郝海龙：考研数学复习大全配套光盘1991 年数学试题参考解答及评分标准 1991 年 第 4 页 七、(本题满分6 分)已知)3,2,0,1(1，)5,3,1,1(2，)1,2,1,1(3a，)8,4,2,1(4a，)5,3,1,1(b，问：(1),a b为何值时，不能表示成4321,的线性组合？(2),a b为何值时，有1234,的唯一线性表示式？并写出表示式.解：设11223344,xxxx则123423412

48、34123412123(2)4335(3)5xxxxxxxxxaxxbxxxax2 分 因 11111011212324335135aba1111101121011000010aba4 分 故当1,0ab 时，不能表示成4321,aaaa的线性组合.5 分 当1a 时，表示式唯一，且1234210111babbaaaaaaa.8 分 八、(本题满分 6 分)设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 1.解一：因A是正定阵，故存在正交阵Q，使121nQ AQ.1 分 其中0(1,2,)iin是A的特征值.故111()QAE QQ AQQ Q1122111nnE.

49、4 分 在上式两端取行列式得11(1)|()|niiQAEQAE，从而|1AE.6 分 解二：因A是正定阵，故A的特征值0(1,2,)iin1 分 于是AE的特征值1 1(1,2,)iin 4分 因此A+E的行列式12|1111nAE 6分 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！1991 年 第 5 页 九、(本题满分6 分)在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 段 PQ 长度的倒数（Q 是法线与 x 轴的交点），且曲线在点(1,1)处的切线与 X 轴平行.解：曲线()yy x在点(,)x

50、y处的法线方程是1(),(0)YyXxyy,1 分 它与x轴的交点是(,0)xyy，从而该点到x轴之间的法线段 PQ 的长度是12222()(1)yyyyy（0y 也满足上式）2 分 故由题意得微分方程3122221(1)(1)yyyy，即21yyy 3 分 且当1x 时，1,0yy.4 分 令 yp，则dpypdy，代入方程得21dpyppdy，或21pdydppy积分并注意到1y 时，0p，使得21yp6 分 代入dypdx，得221,1dyyydxy 积分上式，并注意到1x 时1y，得2ln(1)(1)yyx.因此所求曲线方程为2(1)1(1)11()2xxxyyeyee 即.8 分 十