34线性方程组解的结构.pps

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1、3.4线性方程组解的结构,一.齐次线性方程组的基础解系,考虑：齐次线性方程组,接下来：用向量线性相关性理论来研究它的解。,定义3.8 设 是齐次线性方程组的一组解向量，若它满足条件：,（1）线性无关；（2）齐次线性方程组的任意一组解都能表示为 的线性组合，则称 为齐次线性方程组的基础解系。,基础解系的存在性：,定理3.10 齐次线性方程组有非零解时，一定有基础解系 ，且基础解系含有 个解，其中 是未知量的个数， 是系数矩阵的秩。,由定理的证明可以得出求齐次线性方程组基础解系的方法：(1).求齐次线性方程组的通解；(2).再分别另 个任意常数为(4.3)式中的 组数，就可以得到 个解，这就是所求

2、的基础解系。,注意：只需所取的 组数构成的 阶行列式不等于零，就保证相应得到的 个解线性无关，这样就能保证得到基础解系。,例1 求解齐次线性方程组的基础解系,解 将系数矩阵进行初等行变换,行变换,记,化简 ，使它1，2，3行；1，3，5列的三阶子阵为单位阵。,得到齐次线性方程组的通解：,令：,基础解系,例2 设A为 矩阵，且 ，求证：必存在 一个秩为 的 的矩阵B，使,证明：考虑齐次线性方程组,由定理3.10可知，必存在基础解系，且含有 个解，设 为其基础解系。,令：,显然：,是一个 的矩阵，秩为,且,证毕。,二.非齐次线性方程组解的结构,考虑：非齐次线性方程组,对应的齐次线性方程组,定理3.11 若 是方程组 的一个特定的解（一般称为特解）， 是相应齐次线性方程组 的通解，则方程组 的通解为：,若 是齐次线性方程组的基础解系，则非齐次线性方程组的通解可以表示为：其中 为任意常数 。,例1 求解齐次线性方程组的基础解系,解 将增广矩阵进行初等行变换,通解：,向量形式：,（ 为任意常数）,