线性方程组解的结构.pdf

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1、1/12 3.4 线性方程组解的结构 当线性方程组有无穷多解时,能否用有限个解把无穷多个解全部表示出来，这就是我们将要讨论的线性方程组解的结构问题.一 齐次线性方程组解的结构 齐次线性方程组(6)表示为 如果为齐次线性方程组(6)的解,则=称为方程组(6)的解向量,它也是矩阵方程的(7)的解.根据矩阵方程（7），我们来讨论解向量的性质。性质 1 若，为（7）的解，则也是（7）的解。证 只要验证满足方程（7）：.即也是方程组(7)的解.证毕 2/12 性质 2 若为（7）的解，为实数，则也是（7）的解.证 .即 也是方程组(7)的解.证毕 性质 3 若为（7）的解,对于的任意一组常数,则其线性组

2、合也是（7）的解.证=即线性组合也是方程组(7)的解.证毕 从第二节齐次线性方程组的例题中可知,对于元齐次线性方程组,若,则有个自由未知量,这时无穷多解的一般表达式中含有个任意常数,它也可以表示为个线性无关的解向量与个任意常数的线性组合,这时我们称其为齐次线性方程组的全部解.当然,我们提到了一个概念“向量组的线性无关”性，可以理解为，对于方程组的求解方法，利用增广矩阵的初等行变换把增广矩阵转化为行最简型，可得同解方程组.对于,我们可得用向量表示的一般解形式,与含有个任意常数相乘的向量就是线性无关的解向量组.在上一节的例6中,系数矩阵的秩,而未知量的个数,则自由未知量的个数为,这时方程组无穷解的

3、一般表达式中含 2 个任意常数,方程组解向量的一般表达式为:3/12=其中,如果在解向量的一般表达式中令和 可得解向量,则是线性无关的解向量组.依据上面的讨论,对于齐次线性方程组给出一个重要的概念.定义 3.1 已知齐次线性方程组有无穷多解,并且含有个自由未知量,若解向量的一般表达式为(为任意常数)则称向量为齐次线性方程组的一个基础解系.根据齐次线性方程组解的性质以及求解过程,我们可以判定齐次线性方程组解的基础解系不唯一,有无穷多组,但是它们含有解向量的个数不变,并且都等于自由未知量的个数.构成基础解系的解向量是线性无关的.从而可得齐次线性方程组解的重要定理.定理 3.1 元齐次线性方程组,若

4、系数矩阵的秩 则齐次线性方程组的基础解系含有个线性无关的解向量,方程组的4/12 全部解可以表示为个基础解系和个任意常数的线性组合.即 那么齐次线性方程组的求解问题转化为求方程组的基础解系问题,而基础解系的求法就是求解线性方程组得到的一般表达式中,与任意常数作线性组合的向量组既是一个基础解系.在例 7 中,基础解系含一个解向量 解向量为所给方程组的一个基础解系.在例 6 中,基础解系含有 2 个解向量,解向量与为所给方程组的一个基础解系.1.已知齐次线性方程组 求方程组的全部解,并求出一组基础解系.5/12 解:对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有 于是,原方程组的同解方程组为 即

5、(为自由未知量)若令 则上式可表示为 6/12(其中为任意常数)若令,则为原方程组的一个基础解系.原方程组的通解可表示为.二 非齐次线性方程组解的结构 设有非齐次线性方程组 (6)通常把上式右端换成零向量所得到的齐次线性方程组 (7)称为与非齐次线性方程组(1)相对应的齐次线性方程组.性质 4 设及都是方程组（6）的解，则为对应齐次方程(7)的解。证 即是方程组（7）的解。性质 5 设是方程组（6）的解，是方程组（7）的解，7/12 则仍是方程组（6）的解。证 即 是方程组（6）的解。证毕 由以上这两个性质即可以证明非齐次线性方程组解的结构定理.定理 3.2 设是非齐次线性方程组的一个解,是相

6、应齐次线性方程组的基础解系,则方程组一般解为 (8)其中为任意常数.证 由性质 1,性质 3 和性质 5 易知，是方程组的解,为证它是的一般解,只要证方程的任意一解都可以表示成的形式即可.设是的任意一解,已知也是的一个解,由性质 4,是的解,又是齐次线性方程组的基础解系,故存在一组常数,使=即 8/12 定理证毕.例 3.求解方程组 解:对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有 可见，故方程组有无穷多解，原方程组的同解方程组为:9/12 即 (为自由未知量)令则方程组的解表示为向量形式:(其中为任意常数)其中,令,则为与原方程组相应的齐次线性方程组的一个基础解系,令,则为原方程组的一个

7、特解.为把解表示得更清楚些，可把它写成.10/12 例 4.求解方程组 解:对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有 可见，故方程组无解.1.已知非齐次线性方程组 求方程组对应的齐次方程组的基础解系,方程组的一般解.解:对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有 11/12 由于,所以方程组有无穷多解.原方程组的同解方程组整理为:亦即（为任意实数）或令，上式简化为 12/12，（）令 则为对应的齐次方程组的一个基础解系;为非齐次方程组的一个特解;原方程组的一般解为 视图就是观看工作的一种方式。为了便于设计者从不同的方式观看自己设计的幻灯片，PowerPoint 提供了多种视图显示模式，可以帮助我们创建演示文稿，包括普通视图、大纲视图、幻灯片视图、幻灯片浏览视图、幻灯片放映视图和备注页视图六种不同的视图。每种视图各有所长，不同的视图方式适用于不同需要的场合。最常使用的两种视图是普通视图和幻灯片浏览视图。