32线性方程组的一般理论.pps

《32线性方程组的一般理论.pps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《32线性方程组的一般理论.pps（14页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、3.2线性方程组的一般理论,回顾：线性方程组,当,称为非齐次线性方程组,当,称为齐次线性方程组,通常称线性方程组有解为相容，无解为不相容,这一节将考虑线性方程组相容的充要条件，以及当相容时方程组有唯一解还是无数解。,一.非齐次线性方程组解的研究,定理3.1 n元线性方程组相容的充分必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。,证,必要性,则 的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，,设,因此，,即可得方程组的一个解,充分性.,证毕,其余 个作为自由未知量,把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,设：,则 的行阶梯矩阵中含 个非零行，,小结：,相容线性方程组解法：,设 ，对增广矩

2、阵 进行适当的初等行变换。找出不等于零的 阶子式，并使对应的 阶子式变为单位阵，这样的方程组与原方程组同解。,例1 求解线性方程组,解 对增广矩阵 进行初等变换,方程组不相容。,例2 求解线性方程组,解 对增广矩阵 进行初等变换，化为阶梯形矩阵,记,故方程有唯一解。,化简 ，使它左上角三阶子阵为单位阵：,故方程有唯一解：,可以看出：当 位于不等于零的 阶子式所在的行所对应的 个方程构成的线性方程组的必满足其余的 个方程。,例3 求解线性方程组,解 对增广矩阵 进行初等变换，化为阶梯形矩阵,化简,记,故方程有无数解。,化简 ，使它1，2，4列的三阶子阵为单位阵：,该矩阵对应的线性方程组：,对应系

3、数构成单位阵，,作为自由,自变量，可以得出方程通解：,注意：增广矩阵不为零的子式不唯一，方程组的通解表达方式可以不一样，但是 解集是相同的。,二.齐次线性方程组解的研究,定理3.2 齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于未知量的个数；有非零解的充分必要条件是秩小于未知量的个数（通解形式2.11，见课本）。,两个命题为逆否命题，证明一个即可。证明第二个命题。充分性：若存在非零解，则由定义可知系数矩阵通过一系列变换，至少能消除一行，即矩阵的秩小于未知量的个数。,推论 具有n个未知量及n个方程的齐次线性方程组只有零解的充分必要条件是系数行列式 ；有非零解的充分必要条件是 。,必要性：若系数矩阵的秩小于未知量的个数，则化为上三角矩阵后，能求出通解，即存在非零解。证毕。,例3 求解线性方程组,解 将系数矩阵进行初等行变换,行变换,将 作为自由自变量，得通解：,