一般线性方程组的基本概念.ppt

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1、一、一般线性方程组的基本概念一、一般线性方程组的基本概念二、消元法解一般线性方程组二、消元法解一般线性方程组三、齐次线性方程组三、齐次线性方程组 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法1一般线性方程组是指形式为一般线性方程组是指形式为(1)是方程的个数是方程的个数;的方程组，其中的方程组，其中 代表代表 个未知量的系数，个未知量的系数，称为方程组的称为方程组的系数系数；称为称为常数项常数项。一、一般线性方程组的基本概念一、一般线性方程组的基本概念 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法2方程组的解方程组的解设设 是是 个数，如果个数，如果 分别用分别用 代入后，代入后，(1)中每一个式子都

2、变成恒等式中每一个式子都变成恒等式,则称有序数组则称有序数组 是（是（1）的一个）的一个解解.(1)的解的全体所成集合称为它的的解的全体所成集合称为它的解集合解集合解集合是空集时就称方程组（解集合是空集时就称方程组（1）无解无解3同解方程组同解方程组如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们是是同解的同解的 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法4方程组的系数矩阵与增广矩阵方程组的系数矩阵与增广矩阵矩阵矩阵称为方程组（称为方程组（1）的）的系数矩阵系数矩阵;而矩阵而矩阵称为方程组（称为方程组（1）的）的增广矩阵增广矩阵 3.1 3.1 消元法消元法消

3、元法消元法1引例引例 解：第二个方程乘以解：第二个方程乘以2 2，再与第一个方程对换次序得，再与第一个方程对换次序得第二个方程减去第一个方程的第二个方程减去第一个方程的2 2倍，倍，二、消元法解一般线性方程组二、消元法解一般线性方程组解线性方程组解线性方程组第三个方程减去第一个方程的第三个方程减去第一个方程的3 3倍，得倍，得 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法第三个方程减去第二个方程的第三个方程减去第二个方程的5 5倍，得倍，得第三个方程乘以第三个方程乘以 ，得，得 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法第一个方程加上第三个方程；第一个方程加上第三个方程；第二个方程加上第三个方程，得

4、第二个方程加上第三个方程，得 这样便求得原方程组的解为这样便求得原方程组的解为或或 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法定义定义线性方程组的初等变换是指下列三种变换线性方程组的初等变换是指下列三种变换 用一个非零的数乘某一个方程；用一个非零的数乘某一个方程；将一个方程的倍数加到另一个方程上；将一个方程的倍数加到另一个方程上；交换两个方程的位置交换两个方程的位置性质性质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组与原线性方程组同解组与原线性方程组同解2线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法如对方程组如对方程组（1）

5、作第二种初等变换作第二种初等变换:简便起见，不妨设把第二个方程的简便起见，不妨设把第二个方程的k k倍加到第一个倍加到第一个方程得到新方程组方程得到新方程组（1）（1）设设 是方程组是方程组（1）的任一解，则的任一解，则 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法所以所以 也是方程组也是方程组（1）的解的解.于是有于是有同理可证的同理可证的（1）任一解也是任一解也是（1）的解的解.故方程组故方程组（1 ）与与（1）是同解的）是同解的.3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法3利用初等变换解一般线性方程组利用初等变换解一般线性方程组（化阶梯方程组）（化阶梯方程组）先检查先检查(1)中中 的系数，若

6、的系数，若 全为零，全为零，则则 没有任何限制，即没有任何限制，即 可取任意值，从而方程组可取任意值，从而方程组(1)可以看作是可以看作是 的方程组来解的方程组来解 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法如果如果 的系数不全为零，不妨设，的系数不全为零，不妨设，分别把第一个方程分别把第一个方程 的倍加的倍加 到第到第i个方程个方程 (3)于是于是(1)就变成就变成其中其中 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法再考虑方程组再考虑方程组(4)即，方程组即，方程组(3)有解当且仅当方程组有解当且仅当方程组(4)有解。有解。(3)是同解的，因此方程组是同解的，因此方程组(1)有解当且仅当有解当且

7、仅当(4)有解有解对方程组对方程组(4)重复上面的讨论，并且一步步作下去，重复上面的讨论，并且一步步作下去，最后就得到一个最后就得到一个阶梯形方程组阶梯形方程组.的一个解；而方程组的一个解；而方程组(3)的解都是方程组的解都是方程组(4)有解。有解。显然，方程组显然，方程组(4)的一个解代入方程组的一个解代入方程组(3)就得出就得出(3)而而(1)与与 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法这时去掉它们不影响这时去掉它们不影响(5)的解的解(5)其中其中方程组方程组(5)中的中的“”这样一些恒等式可能不出现这样一些恒等式可能不出现而且而且(1)与与(5)是同解的是同解的 也可能出现，也可能出

8、现，为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为为了讨论的方便，不妨设所得的阶梯形方程组为 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法考察方程组的解的情况考察方程组的解的情况:由由Cramer法则，此时法则，此时(6)有唯一解，从而有唯一解，从而(1)有唯一解有唯一解(6)i)若若 这时阶梯形方程组为这时阶梯形方程组为 其中其中 时，方程组时，方程组(5)有解，从而有解，从而(1)有解，有解，时，方程组时，方程组(5)无解，从而无解，从而(1)无解无解分两种情况：分两种情况：此时去掉此时去掉“”的方程的方程 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法此时方程组此时方程组(7)有无穷多个解，从而有无穷

9、多个解，从而(1)有无穷多个解有无穷多个解.(7)ii)若若 ，这时阶梯形方程组可化为，这时阶梯形方程组可化为 其中其中 事实上，任意给事实上，任意给 一组值，由一组值，由(7)就唯一就唯一地定出的地定出的 一组值一组值 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法称为一组称为一组自由未知量自由未知量 而而 通过通过一般地，我们可以把一般地，我们可以把这样一组表达式称为方程组这样一组表达式称为方程组(1)的的一般解一般解，表示出来表示出来 线性方程组消元法的矩阵表示线性方程组消元法的矩阵表示不妨设线性方程组不妨设线性方程组(1)的增广矩阵的增广矩阵经过一系列经过一系列初等行变换初等行变换化成阶梯阵

10、化成阶梯阵 3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法其中其中 时，方程组时，方程组(1)无解无解 时，方程组时，方程组(1)有解有解.3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法且方程组且方程组(1)与方程组与方程组(7)同解同解(7)当当 时时，方程组，方程组(1)有无穷多解有无穷多解 所以，当所以，当 时，方程组时，方程组(1)有唯一解；有唯一解；（这样，方程组这样，方程组(1)(1)有没有解，以及有怎样的解，有没有解，以及有怎样的解，都可以通过它的增广矩阵看出。）都可以通过它的增广矩阵看出。）3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法 例解下列方程组例解下列方程组解：对方程组的增广矩阵作初等行变换解：对方程组的增广矩阵作初等行变换从最后一行知，原方程组无解。从最后一行知，原方程组无解。3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法三、齐次线性方程组的解三、齐次线性方程组的解定理定理1 在齐次线性方程组在齐次线性方程组中，如果中，如果 ，则它必有非零解。，则它必有非零解。3.1 3.1 消元法消元法消元法消元法 (1)(2)练习解下列方程组练习解下列方程组