考研数学（一）真题评注.doc

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1、1考研数学（一）真题评注考研数学（一）真题评注一、填空题填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1） = .)1ln(102)(coslimxxxe1【分析分析】 型未定式，化为指数函数或利用公式=进1)()(limxgxf)1 ()()1)(lim(xgxfe行计算求极限均可.【详解详解 1】 =,)1ln(102)(coslimxxxx xxecosln )1ln(1lim20而 ，21 2cossinlimcoslnlim)1ln(coslnlim 02020xxxxx xxxxx故 原式=.121ee【详解详解 2】 因为 ，2121lim)

2、1ln(1) 1(coslim22020 xxxx xx所以 原式=.121ee【评注评注】 本题属常规题型，完全类似例题见数学复习指南P.24-25 【例例 1.30-31】.（2） 曲面与平面平行的切平面的方程是22yxz042zyx.542zyx【分析分析】 待求平面的法矢量为，因此只需确定切点坐标即可求出平面方1, 4 , 2n程, 而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定.22yxz1, 4 , 2n【详解详解】 令 ，则22),(yxzzyxF， .xFx2yFy21zF设切点坐标为，则切平面的法矢量为 ，其与已知平面),(000zyx1 ,2,200yx 平行，因此有042z

3、yx2，11 42 2200 yx可解得 ，相应地有 2, 100yx. 52 02 00yxz故所求的切平面方程为 ，即 .0)5()2(4) 1(2zyx542zyx【评注评注】 本题属基本题型，完全类似例题见数学复习指南P.279 【例例 10.28】和 数学题型集粹和练习题集P.112 【例例 8.13】.（3） 设，则= 1 .)(cos02xnxaxnn2a【分析分析】 将展开为余弦级数，)()(2xxxf)(cos02xnxaxnn其系数计算公式为.0cos)(2nxdxxfan【详解详解】 根据余弦级数的定义，有xdxxdxxa2sin12cos20202 2=00222sin

4、2sin1xdxxxx=0002cos2cos12cos1xdxxxxxd=1. 【评注评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分 的计算. 完全类似例题见文登数学全真模拟试卷数学一 P.62 第一大题第（6）小题和 数学复习指南P.240 【例例 8.37】.（4）从的基到基的过渡矩阵为2R 11,0121 21,1121. 2132【分析分析】 n 维向量空间中，从基到基的过渡矩阵 P 满足n,21n,21=P，因此过渡矩阵 P 为：P=n,21n,211 21, n.,21n【详解详解】根据定义，从的基到基的过渡2R 11,0121 21,11213矩阵为P

5、=.1 21, 2111 1011,121=.213221111011 【评注评注】 本题属基本题型，完全类似例题见数学复习指南P.429 【例例 3.35】. （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，yxxyxf其他, 10 , 0,6),(则 .1YXP41【分析分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度 f(x,y)，求满足一定条件的概率，一般可转化为二重积分=进行计算.),(0zYXgP),(0zYXgP 0),(),(zyxgdxdyyxf【详解详解】 由题设，有1YXP 121016),(yxxxxdydxdxdyyxf=.41)126(2102dxxxy1DO 1 x21【

6、评注评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式的公共部分 D，再在其上积分即可. 完全类似例题见文登数学全真模拟1 yx试卷数学一 P.14 第一大题第（5）小题.（6）已知一批零件的长度 X (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取 16) 1 ,(N个零件，得到长度的平均值为 40 (cm)，则的置信度为 0.95 的置信区间是 .)49.40,51.39(注注：标准正态分布函数值.)95. 0)645. 1 (,975. 0)96. 1 (【分析分析】 已知方差，对正态总体的数学期望进行估计，可根据124，由确定临界值，进而确定相应的置信区间.)

7、1 , 0(1NnX112unXP2u【详解详解】 由题设，可见 于是查标准正态分布表知95. 01.05. 0本题 n=16, , 因此，根据 ，有.96. 12u40x95. 096. 11nXP，即 ，故的置信度为 0.95 的置95. 096. 116140P95. 049.40,51.39P信区间是 .)49.40,51.39(【评注评注】 本题属基本题型，完全类似例题见数学复习指南P.608 【例例 6.16】.二、选择题二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数 f

8、(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有),(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. C yO x【分析分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点， 共 4 个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不 存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值 点，一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧

9、一阶导数为负，可见 x=0 为极大值点， 故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 【评注评注】 本题属新题型，类似考题 2001 年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知 f(x)的图象去推导的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串)(xf 讲班上介绍过.（2）设均为非负数列，且,则必有,nnncba0lim nna1lim nnb nnclim(A) 对任意 n 成立. (B) 对任意 n 成立.nnba nncb 5(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. D nnnca limnnncb lim【分析分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大

10、小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限nnnca lim0属型，必为无穷大量，即不存在.nnncb lim1【详解详解】 用举反例法，取，则可立即排除(A),nan21nb), 2 , 1(21nncn(B),(C)，因此正确选项为(D). 【评注评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见数学最后冲刺P.179.（3）已知函数 f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则1)(),(lim2220, 0yxxyyxfyx(A) 点(0,0)不是 f(x,y)的极值点. (B) 点(0

11、,0)是 f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是 f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为 f(x,y)的极值点. A 【分析分析】 由题设，容易推知 f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为 f(x,y)的极值，关键看在点 (0,0)的充分小的邻域内 f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号. 【详解详解】 由知，分子的极限必为零，从而有 f(0,0)=0, 且1)(),(lim2220, 0yxxyyxfyx充分小时） ，于是222)(),(yxxyyxfyx,(.)()0 , 0(),(222yxxyfyxf可见当 y=x 且充分小时，；而当 y

12、= -x 且充分小时，x04)0 , 0(),(42xxfyxfx. 故点(0,0)不是 f(x,y)的极值点，应选(A).04)0 , 0(),(42xxfyxf【评注评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新， 有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想， 类似分析思想的例题见数学复习指南P.43 【例例 1.71】.（4）设向量组 I：可由向量组 II：线性表示，则r,21s,21(A) 当时，向量组 II 必线性相关. (B) 当时，向量组 II 必线性相关.sr sr (C) 当时，向量组 I 必线性相关. (D)

13、 当时，向量组 I 必线性相关.sr sr D 【分析分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组 I：可由向量组 II：线性表示，则当时，向量组 I 必线性相r,21s,21sr 关. 或其逆否命题：若向量组 I：可由向量组 II：线性表示，且r,21s,216向量组 I 线性无关，则必有. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到sr 答案.【详解详解】 用排除法：如，则，但 10,01,0021121100线性无关，排除(A)；，则可由线性表示，21, 01,01,0012121,1但线性无关，排除(B)；，可由线性表示，但1 10,01,01211121

14、,线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).1【评注评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案， 若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见数学复习指南P.409 定理定理 11. （5）设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0, 其中 A,B 均为矩阵，现有 4 个命题：nm 若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解； 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 则 Ax=0 与 Bx=0 同解. 以上命题中正确的是(A) .

15、 (B) . (C) . (D) . B 【分析分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但 两个命题的反例比较复杂一些， 关键是抓住 与 ，迅速排除不正确的选项. 【详解详解】 若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题成立， 可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出 Ax=0 与 Bx=0 同解，如，则秩(A)=秩(B)=1，但 Ax=0 与 Bx=0 不同解，可见命题不 0001A 1000B成立，排除(D),故正确选项为(B). 【评注评注】 文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题： 【例例】 齐次线性方

16、程组 Ax=0 与 Bx=0 同解的充要条件 (A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵. (C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. C 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.（6）设随机变量，则21),1)(XYnntX(A) . (B) .)(2nY) 1(2nY(C) . (D) . C ) 1 ,(nFY), 1 (nFY7【分析分析】 先由 分布的定义知，其中，再将其代tnVUX )(),1 , 0(2nVNU入，然后利用 F 分布的定义即可.21 XY 【详解详解】 由题设知，其中，于是nVUX )(),1 , 0(2nVNU=，这里，根

17、据 F 分布的定义知21 XY 122UnVUnV ) 1 (22U故应选(C).).1 ,(12nFXY 【评注评注】 本题综合考查了 t 分布、分布和 F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常2用统计量分布的定义, 见文登数学全真模拟试卷数学一 P.57 第二大题第（6）小题（事 实上完全相当于原题）和数学复习指南P.592 的定义和 P.595 的【解题提示解题提示】.三三 、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 过坐标原点作曲线 y=lnx 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A; (2) 求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体

18、积 V. 【分析分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积 A; 旋转体体积可用一大立 体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解详解】 (1) 设切点的横坐标为，则曲线 y=lnx 在点处的切线方程是0x)ln,(00xx).(1ln0 00xxxxy由该切线过原点知 ，从而 所以该切线的方程为01ln0x.0ex .1xey 平面图形 D 的面积10. 121)(edyeyeAy（2） 切线与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体xey1积为 .312 1eV曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线

19、 x=e 旋转所得的旋转体体积为，dyeeVy2102)(8因此所求旋转体的体积为).3125(6)(3121022 21eedyeeeVVVyy1DO 1 e x【评注评注】 本题不是求绕坐标轴旋转的体积，因此不能直接套用现有公式. 也可考虑用 微元法分析，完全类似例题见数学复习指南P.197 的【例例 7.34】和 P.201 的【例例 7.42】.四四 、 （本题满分（本题满分 12 分）分）将函数展开成 x 的幂级数，并求级数的和.xxxf2121arctan)(012) 1(nnn【分析分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变 形、求导或积分等，转化

20、为可利用已知幂级数展开的情形。本题可先求导，再利用函数x11的幂级数展开即可，然后取 x 为某特殊值，得所求级数的nxxxx2111和.【详解详解】 因为).21,21(,4) 1(2412)(202xxxxfnnnn又 f(0)=, 所以4dttdttffxfnnxxnn4) 1(24)()0()(2000 =).21,21(,124) 1(24120xxnnnnn因为级数收敛，函数 f(x)在处连续，所以012) 1(nnn21x.21,21(,124) 1(24)(120xxnxfnnnn令，得21x9,012 012) 1( 421 124) 1(24)21(nnn nnnnf再由，得

21、0)21(f.4)21(412) 1(0fnnn【评注评注】 完全类似例题见数学复习指南P.228 的【例例 8.25】.五五 、 （本题满分（本题满分 10 分）分）已知平面区域，L 为 D 的正向边界. 试证：0 ,0),(yxyxD(1) ;dxyedyxedxyedyxexLyxLysinsinsinsin(2) .22sinsindxyedyxexLy【分析分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭 正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果. 【详解详解】 方法一方法一：(1) 左边=dxedyexy0sin0sin=， 0si

22、nsin)(dxeexx右边= 00sinsindxedyexy=， 0sinsin)(dxeexx所以 .dxyedyxedxyedyxexLyxLysinsinsinsin(2) 由于，故由（1）得2sinsinxxee.2)(20sinsinsinsindxeedxyedyxexxxLy方法二：方法二： （1） 根据格林公式，得，DxyxLydxdyeedxyedyxe)(sinsinsinsin.DxyxLydxdyeedxyedyxe)(sinsinsinsin因为 D 具有轮换对称性，所以=，Dxydxdyee)(sinsinDxydxdyee)(sinsin10故 .dxyedy

23、xedxyedyxexLyxLysinsinsinsin(2) 由(1)知 DxyxLydxdyeedxyedyxe)(sinsinsinsin=dxdyedxdyeDDxysinsin= （利用轮换对称性）dxdyedxdyeDDxxsinsin=.22)(2sinsindxdydxdyeeDDxx【评注评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期 望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证 第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的. 本题完全类似例题见数学复习指南P.325 的【例例 12

24、.15】, 相当于此例题中取，也就是说，本题是【例例 12.15】的特殊情形.xexsin)(六六 、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的 阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为 k,k0）. 汽锤第一次击打将桩打进地下 a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一 次击打时所作的功之比为常数 r(00 时，).(2)(tGtF【分析分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式

25、作适当的恒等变形后，构)(tF造辅助函数，再用单调性进行证明即可. 【详解详解】 (1) 因为， ttttrdrrfdrrrfrdrrfddrrrfdd tF020222002200022)()(2)(sin)( )(， 202022)()()()( 2)( rdrrfdrrtrrfttf tFtt 所以在上，故 F(t) 在内单调增加.), 0( 0)( tF), 0( （2） 因， ttdrrfrdrrf tG0202)()( )(要证明 t0 时，只需证明 t0 时，即)(2)(tGtF0)(2)(tGtF. 0)()()( 00202222tttrdrrfdrrfdrrrf令 ，ttt

26、rdrrfdrrfdrrrftg 00202222)()()()(则 ，故 g(t)在内单调增加.0)( )()()(2022drrtrftftgt), 0( 因为 g(t)在 t=0 处连续，所以当 t0 时，有 g(t)g(0). 又 g(0)=0, 故当 t0 时，g(t)0,因此，当 t0 时，).(2)(tGtF【评注评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证 明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：，dxxgdxxfdxxgxfbababa)()()()(222在上式中取 f(x)为，g(x)为即可.rrf)(2)(2rf14完全类

27、似例题见数学题型集粹与练习题集P.129【例例 9.21】 、 【例例 9.24】和数学 复习指南P.305 的【例例 11.26】.九九 、 （本题满分（本题满分 10 分）分）设矩阵，求 B+2E 的特征值与特征 322232223 A 100101010 PPAPB*1向量，其中为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵.*A【分析分析】 可先求出，进而确定及 B+2E，再按通常方法确定其1*,PAPAPB*1特征值和特征向量；或先求出 A 的特征值与特征向量，再相应地确定 A*的特征值与特征 向量，最终根据 B+2E 与 A*+2E 相似求出其特征值与特征向量. 【详解详解】 方法一：

28、 经计算可得， ， 522252225 *A 1000011101P=.PAPB*1 322452007从而， 522472009 2EB，)3()9( 522472009 )2(2 EBE故 B+2E 的特征值为. 3, 9321当时，解，得线性无关的特征向量为9210)9(xAE, 0111 , 1022 所以属于特征值的所有特征向量为92115，其中是不全为零的任意常数. 102011212211kkkk21,kk当时，解，得线性无关的特征向量为330)3(xAE， 1103所以属于特征值的所有特征向量为，其中为任意常数.33 110333kk03k方法二：设 A 的特征值为，对应特征向

29、量为，即 . 由于，A07 A所以. 0又因 ，故有 EAAA*.*AA于是有 ，)()(*)(1111PAPPAPPB.)2()2(11PAPEB因此，为 B+2E 的特征值，对应的特征向量为2A.1P由于 ，)7() 1( 3222322232 AE故 A 的特征值为. 7, 1321当时，对应的线性无关特征向量可取为， 121 0111. 1012 当时，对应的一个特征向量为 73. 1113 16由 ，得，. 1000011101P 01111P 11121P 11031P因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3. 对应于特征值 9 的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数；

30、1110112121 211 1kkPkPk21,kk对应于特征值 3 的全部特征向量为，其中是不为零的任意常数. 110331 3kPk3k【评注评注】 设，若是 A 的特征值，对应特征向量为，则 B 与 A 有相同APPB1的特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值的特征向量为.1P本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力。不过利 用相似矩阵有相同的特征值以及 A 与 A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量， 这方面可参见类似例题考研数学大串讲P.214【例例 5】 ， 数学最后冲刺P.136【例例 3】.十十 、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 已知

31、平面上三条不同直线的方程分别为，:1l032cbyax，:2l032acybx.:3l032baycx试证这三条直线交于一点的充分必要条件为. 0cba 【分析分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩 阵与增广矩阵的秩均为 2. 【详解详解】 方法一方法一：必要性设三条直线交于一点，则线性方程组321,lll(*) ,32,32,32baycxacybxcbyax有唯一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为 2，于是 accbba A 222 bacacbcba A 32323217. 0A由于 )(6 323232222bcacabcbacba bacacbcba

32、 A =,)()()(3222accbbacba但根据题设 ，故0)()()(222accbba. 0cba充分性：由，则从必要性的证明可知，故秩0cba0A. 3)(A由于)( 2)(22222bbaabaccbba=，043)21(222bba故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩=2.)(A因此方程组(*)有唯一解，即三直线交于一点.321,lll方法二方法二：必要性设三直线交于一点，则为 Ax=0 的非零解，其中),(00yx 100 yx. 323232 bacacbcba A于是 .0A而 )(6 323232222bcacabcbacba bacacbcba A=,)()()(32

33、22accbbacba但根据题设 ，故0)()()(222accbba. 0cba18充分性：考虑线性方程组(*) ,32,32,32baycxacybxcbyax将方程组(*)的三个方程相加，并由 a+b+c=0 可知，方程组(*)等价于方程组(* *) .32,32 acybxcbyax因为 )( 2)(22222bbaabaccbba=-,0)(222baba故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线交于一点.321,lll【评注评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可 转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.

34、 完全类似例题见数学最后冲刺P.196【例例 5】.十一十一 、 （本题满分（本题满分 10 分）分） 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅 装有 3 件合格品. 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【分析分析】 乙箱中可能的次品件数为 0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学 期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概 率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组. 【详解详解】 (1) X

35、 的可能取值为 0，1，2，3，X 的概率分布为， k=0,1,2,3.3 63 33CCCkXPkk 即 X 0 1 2 3P 201 209 209 201因此.23 2013209220912010EX(2) 设 A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品” ，由于，0X1X，构成完备事件组，因此根据全概率公式，有2X3X 30)(kkXAPkXPAP19= 303061 6kkkXkPkkXP=.41 23 61 61EX【评注评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设, , 1, 0件产品是次品从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第 iiXi 则的概率分布为iX0 1iXP 2

36、1 21. 3 , 2 , 1i因为，所以321XXXX.23321EXEXEXEX完全类似例题见考研数学大串讲P.256【例例 20】 ，利用分解法求数字特征的思想见 数学题型集粹与练习题集P.280【例例 3.18-21】.十二十二 、 （本题满分（本题满分 8 分）分） 设总体 X 的概率密度为 , 0,2)()(2xxexfx其中是未知参数. 从总体 X 中抽取简单随机样本，记0nXXX,21).,min( 21nXXX(1) 求总体 X 的分布函数 F(x);(2) 求统计量的分布函数；)(xF(3) 如果用作为的估计量，讨论它是否具有无偏性.【分析分析】 求分布函数 F(x)是基本

37、题型；求统计量的分布函数，可作为多维相)(xF互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验是否成立.E【详解详解】 (1) 20., 0,1)()()(2 xxedttfxFxx(2) ),min()(21xXXXPxPxFn=),min(121xXXXPn=,121xXxXxXPn=nxF)(1 1=., 0,1)(2 xxexn(3) 概率密度为., 0,2)()()(2 xxnedxxdFxfxn因为 dxnxedxxxfExn)(2 2)(=，n21所以作为的估计量不具有无偏性.【评注评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量

38、的函数 求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点. 将数理统计的概念与随机变量求分 布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式. 完全类似例题见文登数学全真模拟试卷试卷（七）第十二题（从题型到求解方法 完全一致）,数学题型集粹与练习题集P.292【例例 5.8】,在文登学校辅导班上也介绍过几 乎完全一致的例题（参加过辅导班的同学可查看笔记）.注： 1.数学复习指南 （2003 版，理工类）世界图书出版公司 主编: 陈文灯、黄先开2.数学题型集粹与练习题集 （2003 版，理工类）世界图书出版公司 主编: 陈文灯、黄先开3.文登数学全真模拟试卷 （2003 版，理工类）世界图书出版公司 主编: 陈文灯、黄先开214.数学最后冲刺 （2003 版，理工类）世界图书出版公司主编: 陈文灯、黄先开5.考研数学大串讲 （2002 版，理工类）世界图书出版公司 主编: 黄先开、曹显兵、施明存(文登学校供稿)