2007年考研数学一真题评注.pdf

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1、 第-1-页 共 12 页 -1-2007 年考研数学一真题 一、选择题（本题共10 小题，每小题4 分，满分40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当0 x时，与x等价的无穷小量是()A.1xe B.1ln1xx C.11x D.1 cosx(2)曲线y=1ln(1xex),渐近线的条数为 ()A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2的图形分别是直径为2 的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt.则下列结论正确的是 ()A.

2、F(3)=3(2)4F B.F(3)=5(2)4F C.F(3)=3(2)4F D.F(3)=5(2)4F(4)设函数f（x）在x=0 处连续，下列命题错误的是 ()A.若0()limxf xx存在，则f（0）=0 B.若0()()limxf xfxx 存在，则f（0）=0 C.若0()limxf xx 存在，则(0)f=0 D.若0()()limxf xfxx 存在，则(0)f=0(5)设函数f（x）在（0,+）上具有二阶导数，且()fxo,令nu=f(n)=1,2,.n,则下列结论正确的是()A.若12uu，则nu必收敛 B.若12uu，则nu必发散 C.若12uu，则nu必收敛 D.若1

3、2uu，则nu必发散(6)设曲线L：f(x,y)=1(f(x,y)具有一阶连续偏导数），过第象限内的点M 和第象限内的点N,T为 L 上从点M 到 N 的一段弧，则下列小于零的是 ()A.(,)rx y dx B.(,)rf x y dy C.(,)rf x y ds D.(,)(,)xyrfx y dxfx y dy（7）设向量组1，2，3线形无关，则下列向量组线形相关的是：()（A）,122331 （B）,122331 （C）1223312,2,2 （D）1223312,2,2 （8）设矩阵A=2111 2111 2，B=1 0 00 1 00 0 0，则A 于 B ()(A)合同，且相似

4、 (B)合同，但不相似(C)不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p01p，则此人第4 次射击恰好第 第-2-页 共 12 页 -2-2 次命中目标的概率为：()（A）23(1)pp (B)26(1)pp (C)223(1)pp(D)226(1)pp(10)设随即变量（X，Y）服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，()Xfx，()Yfy分别表示X，Y 的概率密度，则在Y y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)XYfx y为 ()（A）()Xfx (B)()Yfy (C)()Xfx()Yfy (D)()()XYfxfy 二填空题：

5、11 16 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）31211xe dxx _.（12）设(,)f u v为二元可微函数，(,)yxzf xy，则zx _.(13)二阶常系数非齐次线性方程2 4 32xyyye的通解为y _.(14)设曲面：|1xyz，则(|)xy ds _.(15)设矩阵A0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0，则3A的秩为_.（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为_.三 解答题：1724 小题，共86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.2222

6、22(,)2(,)4,0f x yxyx yDx y xyy(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。22(18)(10)23,1(01)4Ixzdydzxydzdxxydxdyyzxz 本题满分分计算曲面积分其中为曲面的上侧.第-3-页 共 12 页 -3-(19)()(),(),(,)()(),()()(,)()().f x g xa ba bf ag af bg ba bfg本题是11分设函数在上连续，在内二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得 02(20)(10)(,)()240,(0)0,(0)12(1),1,2,;1(2)()nnnnna xy xyxyyyy

7、aa nny x 本题满分分设幂级数在内收敛，其和函数满足证明求的表达式.1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)xxxxxaxxxa xxxxaa本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求 的值及所有公共解.(22)设 3 阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2,1(1,1,1)T是 A 的属于1的一个特征向量,记534BAAE其中E为 3 阶单位矩阵()I验证1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量；()II求矩阵B.(23)设二维变量(,)x y的概率密度为 2(,)0 xyf x y 01,01xy其他()I求2 P XY；()II求zXY的概率

8、密度.(24)设总体X的概率密度为 1021(,)12(1)0 xf xx其他 第-4-页 共 12 页 -4-1X,2X,nX是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值()I求参数的矩估计量；()II判断24X是否为2的无偏估计量,并说明理由.第-5-页 共 12 页 -5-2007 年考研数学一真题解析 一、选择题（本题共10 小题，每小题4 分，满分40 分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（2）当0 x时，与x等价的无穷小量是 (B)A.1xe B.1ln1xx C.11x D.1 cosx(2)曲线y=1ln(1xex),渐近线的条数为 (

9、D)A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间-3，-2，2，3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周，在区间-2，0，0，2的图形分别是直径为2 的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt.则下列结论正确的是 (C)A.F(3)=3(2)4F B.F(3)=5(2)4F C.F(3)=3(2)4F D.F(3)=5(2)4F(4)设函数f（x）在x=0 处连续，下列命题错误的是 (C)A.若0()limxf xx存在，则f（0）=0 B.若0()()limxf xfxx 存在，则f（0）=0 C.若0()limxf xx 存在，则(0)f=0 D.若0()()

10、limxf xfxx 存在，则(0)f=0(5)设函数f（x）在（0,+）上具有二阶导数，且()fxo,令nu=f(n)=1,2,.n,则下列结论正确的是(D)A.若12uu，则nu必收敛 B.若12uu，则nu必发散 C.若12uu，则nu必收敛 D.若12uu，则nu必发散(6)设曲线L：f(x,y)=1(f(x,y)具有一阶连续偏导数），过第象限内的点M 和第象限内的点N,T为 L 上从点M 到 N 的一段弧，则下列小于零的是 (B)A.(,)rx y dx B.(,)rf x y dy C.(,)rf x y ds D.(,)(,)xyrfx y dxfx y dy（7）设向量组1，2

11、，3线形无关，则下列向量组线形相关的是：(A)（A）,122331 （B）,122331 （C）1223312,2,2 （D）1223312,2,2 （8）设矩阵A=2111 2111 2，B=1 0 00 1 00 0 0,则 A 于 B，(B)(A)合同，且相似 (B)合同，但不相似(C)不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p01p，则此人第4 次射击恰好第 第-6-页 共 12 页 -6-2 次命中目标的概率为：(C)（A）23(1)pp (B)26(1)pp (C)223(1)pp(D)226(1)pp(10)设随即变量（X

12、，Y）服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，()Xfx，()Yfy分别表示X，Y 的概率密度，则在Y y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)XYfx y为 (A)（A）()Xfx (B)()Yfy (C)()Xfx()Yfy (D)()()XYfxfy 二填空题：11 16 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。（11）31211xe dxx1212e.（12）设(,)f u v为二元可微函数，(,)yxzf xy，则zx112(,)ln(,)yxyxyxfxyyxyyfxy.(13)二阶常系数非齐次线性方程2 4 32xyyye的通解为y32122xxxC eC

13、 ee.(14)设曲面：|1xyz，则(|)xy ds 4 33.(15)设矩阵A0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0，则3A的秩为.（16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为34.三、解答题：1724 小题，共86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。222222(,)2(,)4,0f x yxyx yDx y xyy(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。【详解】：第-7-页 共 12 页 -7-33222222222222220(1)(,)(0,0)(0)420(,)(2,

14、1)(2)040(3)4,0(,)2(4)0222042204xyfxyxyx yffxyx yx yfyxyyF x yxyx yxyFFFxyzxxyxyx yyxy 求驻点或；(2)考察边界，此时最大值为，最小值为考察边界222222531,222740,484,04028000 xyxyxy 此时数值为，此时数值为，此时数值为综上所述x ，y 时，取得为最小值x ，y 取得为 22(18)(10)23,1(01)4Ixzdydzxydzdxxydxdyyzxz 本题满分分计算曲面积分其中为曲面的上侧【详解】112211142323yxoyxIxzdydzzydzdxxydxdyxzdy

15、dzzydzdxxydxdy 取为平面上被椭圆所围部分的下侧，记 为由与围成的空间闭区域，则 123Gaussxzdydzzydzdxxydxdy 公式(3)zz dxdydz 22101433yxzzdxdydzdzzdxdy 第-8-页 共 12 页 -8-221142330,.yxxzdydzzydzdxxydxdyxydxdyI而(19)()(),(),(,)()(),()()(,)()()f x g xa ba bf ag af bg ba bfg本题是11分设函数在上连续，在内二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得【详解】证明：设(),()f xg x在(,)a b内某点(,

16、)ca b同时取得最大值，则()()f cg c，此时的c 就是所求点()()fg使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max(),()max()f cf x g dg x故有()()0,()()0f cg cg df d，由介值定理，在(,)c d内肯定存在()()fg使得由罗尔定理在区间(,),(,)ab内分别存在一点1212,()()ff 使得 0在区间12(,)内再用罗尔定理，即(,)()()a bfg存在，使得 02(20)(10)(,)()240,(0)0,(0)12(1),1,2,;1(2)()nnnnna xy xyxyyyyaa nny x 本题满分分设幂级数在内收敛，

17、其和函数满足证明求的表达式【详解】(1)将已知条件中0nnna x幂级数代入到微分方程中，整理即可得到：22,1,2,;1nnaa nn(2)解题如下 第-9-页 共 12 页 -9-20122423153759735790211(0)00(0)112011214221 162 321 1 182 3 411 11 1 122 32 3 41!nnnnnnnxnyayaaaaaanaaaaaaaaa xxxxxxxxxen 故 1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)xxxxxaxxxa xxxxaa本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求 的值及所有公共解【详解】

18、：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组 1231232123123020(3)4021xxxxxaxxxa xxxxa的解.即距阵211 100201401211aaa211100110001000340aaa方程组(3)有解的充要条件为 1,2aa.当1a 时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)T此时的公共解为：,1,2,xkk 第-10-页 共 12 页 -10-当2a 时，方程组(3)的系数距阵为11 10111012200110144000011 1 110000此时方程组(3)的解

19、为1230,1,1xxx，即公共解为：(0,1,1)Tk (22)设 3 阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2,1(1,1,1)T是 A 的属于1的一个特征向量,记534BAAE其中E为 3 阶单位矩阵()I验证1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值的特征向量；()II求矩阵B.【详解】：（）可以很容易验证111(1,2,3.)nnAn，于是 5353111111(4)(41)2BAAE 于是1是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与 A 的关系得到，即 53()()4()1BAA，所以B 的全部特征值为2，1，1.前面已经求得1为 B 的属于2 的特征值，而A

20、为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1 的特征向量为123(,)Tx x x，所以有方程如下：1230 xxx 于是求得B 的属于1 的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)TT （）令矩阵123111,101110P ，则1(2,1,1)P BPdiag，所以 第-11-页 共 12 页 -11-1111333111112(2,1,1)101(2,1,1)333110121333BP diagPdiag 011101110 (23)设二维变量(,)x y的概率密度为 2(,)0 xyf x y 01,01xy其

21、他()I求2 P XY；()II求zXY的概率密度.【详解】：（）2(2)DP XYxy dxdy，其中D 为01,01xy中2xy的那部分区域；求此二重积分可得112002(2)xP XYdxxy dy 1205()8xxdx 724（）()ZFzP ZzP XYz 当0z 时，()0ZFz；当2z 时，()1ZFz；当01z时，32001()(2)3zz xZFzdxxy dyzz 当12z时，1132115()1(2)2433Zzz xFzdxxy dyzzz 第-12-页 共 12 页 -12-于是222,01()44,120,Zzzzfzzzz其他(24)设总体X的概率密度为 1021(,)12(1)0 xf xx其他 1X,2X,nX是来自总体X的简单随机样本，X是样本均值()I求参数的矩估计量；()II判断24X是否为2的无偏估计量,并说明理由.【详解】：（）记EX，则 1022(1)xxEXdxdx 1142，解出122，因此参数的矩估计量为122X；（）只须验证2(4)EX是否为2即可，而 22221(4)4()4()4()EXE XDXEXDXEXn，而 1142EX，221(12)6EX，22251()481212DXEXEX，于是222533131(4)1233nnnEXnnn 因此24X不是为2的无偏估计量.