2009年考研数学一真题评注.pdf

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1、 第 1 页 共 21 页 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、选择题（1 8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）（1）当0 x 时，sinfxxax与 2ln 1gxxbx等价无穷小，则（）A11,6ab.B11,6ab.C11,6ab .D11,6ab.（2）如图，正方形,1,1x yxy被其对角线划分为 四个区域1,2,3,4kDk，coskkDIyxdxdy，则 14maxkkI（）A1I.B2I.C3I.D4I.（3）设函数 yfx在区间1,3上的图形为：则函数 0 xFxft d

2、t的图形为（）A.B.()f x0 2 3 x1-2-1 1()f x0 2 3 x1-2-1 1 1()f x-2 0 2 3 x-1 O-1-1 1 1 x y 1D 2D 3D 4D 第 2 页 共 21 页 C.D.（4）设有两个数列 ,nnab，若lim0nna，则（）A当1nnb收敛时，1nnna b收敛.B当1nnb发散时，1nnna b发散.C当1nnb收敛时，221nnna b收敛.D当1nnb发散时，221nnna b发散.（5）设123,是 3 维向量空间3R的一组基，则由基12311,23到基 122331,的过渡矩阵为（）A101220033.B120023103.C

3、111246111246111246.D111222111444111666.（6）设,AB均为2 阶矩阵，*,AB分别为,AB的伴随矩阵，若2,3AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为（）A*32OBAO.B*23OBAO.C*32OABO.D*23OABO.()f x0 2 3 x1-2-1 1()f x0 2 3 x1-1 1 第 3 页 共 21 页（7）设随机变量X的分布函数为 10.30.72xFxx，其中 x为标准正态分布函数，则EX（）A0.B0.3.C0.7.D1.（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布0,1N，Y的概率分布为1012P YP Y，记 ZFz为随机

4、变量ZXY的分布函数，则函数 ZFz的间断点个数为（）A0.B1.C2.D3.二、填空题（9-14 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.）（9）设函数,fu v具有二阶连续偏导数，,zfx xy，则2zx y 。（10）若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby的通解为12xyCC x e，则非齐次方程yaybyx满足条件 02,00yy的解为y 。（11）已知曲线2:02Lyxx，则Lxds 。（12）设222,1x y zxyz，则2z dxdydz 。（13）若3 维列向量,满足2T，其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值为 。(14)设12,mXXX为来自二项分布

5、总体,B n p的简单随机样本，X和2S分别为样本均值和样本方差。若2XkS为2np的无偏估计量，则k 。三、解答题（15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分9 分）求二元函数22(,)2lnfx yxyyy的极值。（16）（本题满分9 分）设na为曲线nyx与11,2,.nyxn所围成区域的面积，记 122111,nnnnSaSa，求1S与2S的值。（17）（本题满分11 分）椭球面1S是椭圆22143xy绕x轴旋转而成，圆锥面2S是过点 第 4 页 共 21 页 4,0且与椭圆22143xy 相切的直线绕x

6、轴旋转而成。（）求1S及2S的方程（）求1S与2S之间的立体体积。（18）（本题满分11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数 fx在,a b上连续，在(,)a b可导，则存在,a b，使得 fbfafba（）证 明：若 函 数 fx在0 x 处 连 续，在0,0内 可 导，且 0limxfxA，则 0f存在，且 0fA。（19）（本题满分10 分）计算曲面积分32222xdydzydzdxzdxdyIxyz，其中是曲面 222224xyz的外侧。（20）（本题满分11 分）设111111042A 1112（）求满足21A的2.231A的所有向量2,3.（）对中的任意向量2,3证明1,2,3无

7、关。（21）（本题满分11 分）设二次型2221231231323,122fxxxaxaxaxx xx x（）求二次型f的矩阵的所有特征值；（）若二次型f的规范形为2212yy，求a的值。（22）（本题满分11 分）袋中有1 个红色球，2 个黑色球与3 个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以,X Y Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（）求10pXZ；（）求二维随机变量,X Y概率分布。第 5 页 共 21 页（23）（本题满分11 分）设总体X的概率密度为2,0()0,xxexfx其他，其中参数(0)未知，1X，2X,nX是来自总体X的简单随机样本()求参数的矩估计量

8、；（）求参数的最大似然估计量 第 6 页 共 21 页 第 7 页 共 21 页 2009 年考研数学一真题解析 一、选择题：1 8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0 x 时，sinfxxax与 2ln 1gxxbx等价无穷小，则（）A11,6ab.B11,6ab.C11,6ab .D11,6ab.【答案】A 【解析】2()sin,()(1)fxxax g xx lnbx为等价无穷小，则 222200000()sinsin1cossinlimlimlimlimlim()ln(1)()36xxxxxfx

9、xaxxaxaaxaaxg xxbxxbxbxbx 洛洛230sinlim166xaaxabbaxa 36ab 故排除,B C。另外201coslim3xaaxbx存在，蕴含了1cos0aax0 x 故1.a 排D。所以本题选A。（2）如图，正方形,1,1x yxy被其对角线划分为 四个区域1,2,3,4kDk，coskkDIyxdxdy，则 14maxkkI（）A1I.B2I.C3I.D4I.【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。24,DD两区域关于x轴对称，而(,)cos(,)fxyyxfx y ，即被积函数是关于y的奇函数，所以240II;13,DD两区域关于y轴对称，

10、而(,)cos()cos(,)fx yyxyxfx y，即被积函数是关于x的偶函数，所以1(,),012cos0 x yyxxIyxdxdy；3(,),012cos0 x yyxxIyxdxdy.所以正确答案为A.-1-1 1 1 x y 1D 2D 3D 4D 第 8 页 共 21 页（3）设函数 yfx在区间1,3上的图形为：则函数 0 xFxft dt的图形为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()yfx的图形可见，其图像与x轴及y轴、0 xx所围的图形的代数面积为所求函数()F x，从而可得出几个方面的特征：0,1x 时，()0F x，且单调递减。1,

11、2x 时，()F x单调递增。2,3x 时，()F x为常函数。()f x0 2 3 x1-2-1 1()f x0 2 3 x1-1 1()f x0 2 3 x1-2-1 1()f x0 2 3 x1-2-1 1 1()f x-2 0 2 3 x-1 O 第 9 页 共 21 页 1,0 x 时，()0F x 为线性函数，单调递增。由于F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为D。（4）设有两个数列 ,nnab，若lim0nna，则（）A当1nnb收敛时，1nnna b收敛.B当1nnb发散时，1nnna b发散.C当1nnb收敛时，221nnna b收敛.D当1nnb发散时，221nn

12、na b发散.【解析】方法一：举反例 A 取1(1)nnnabn B 取1nnabn D 取1nnabn 故答案为（C）方法二：因为lim0,nna 则由定义可知1,N使得1nN时，有1na 又因为1nnb收敛，可得lim0,nnb 则由定义可知2,N使得2nN时，有1nb 从而，当12nNN时，有22nnna bb，则由正项级数的比较判别法可知221nnna b收敛。（5）设123,是 3 维向量空间3R的一组基，则由基12311,23到基 122331,的过渡矩阵为（）A101220033.B120023103.第 10 页 共 21 页 C111246111246111246.D1112

13、22111444111666.【解析】因为1212,nnA ，则A称为基12,n到12,n 的过渡矩阵。则由基12311,23到122331,的过渡矩阵M满足 12233112311,23M 12310111,22023033 所以此题选 A。（6）设,AB均为2 阶矩阵，*,AB分别为,AB的伴随矩阵，若2,3AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为（）A*32OBAO.B*23OBAO.C*32OABO.D*23OABO.【解析】根据CCC E，若111,CC CCCC 分块矩阵00AB的行列式2 2012360AA BB（），即分块矩阵可逆 11110000066000100BBAAABBB

14、BAAA 第 11 页 共 21 页 10023613002BBAA 故答案为（B）（7）设随机变量X的分布函数为 10.30.72xFxx，其中 x为标准正态分布函数，则EX（）A0.B0.3.C0.7.D1.【答案】C【解析】因为 10.30.72xFxx，所以 0.710.322xFxx，所以 10.30.352xEXxFx dxxxdx 10.30.352xxx dxxdx 而 0 xx dx，11221222xxxdxuuu du 所以00.3520.7EX。（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布0,1N，Y的概率分布为1012P YP Y，记 ZFz为随机变量ZXY的

15、分布函数，则函数 ZFz的间断点个数为（）A0.B1.C2.D3.【答案】B【解析】第 12 页 共 21 页()()(0)(0)(1)(1)1(0)(1)21(00)(1)2ZFzP XYzP XYz YP YP XYz YP YP XYz YP XYz YP Xz YP Xz Y,X Y独立 1()(0)()2ZFzP XzP Xz（1）若0z，则1()()2ZFzz（2）当0z，则1()(1()2ZFzz 0z为间断点，故选（B）二、填空题：9-14 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数,fu v具有二阶连续偏导数，,zfx xy，则2zx y 。【

16、答案】12222xffxyf【解析】12222xffxyf 12zffyx，21222212222zxffyxfxffxyfx y （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby的通解为12xyCC x e，则非齐次方程yaybyx满足条件 02,00yy的解为y 。【答案】2xyxex 【解析】由12()xycc x e，得121，故2,1ab 微分方程为2yyyx 设特解*yAxB代入，,1yA A 第 13 页 共 21 页 220,2AAxBxBB 特解*2yx 12()2xycc x ex 把 (0)2y ，(0)0y代入，得120,1cc 所求2xyxex （11）已知曲线2:0

17、2Lyxx，则Lxds 。【答案】136【解析】由题意可知，2,02xx yxx，则 22214dsxydxx dx，所以222220011414148Lxdsxx dxx dx 2320121314836x （12）设222,1x y zxyz，则2z dxdydz 。【答案】415【解析】方法一：212222000sincosz dxdydzddd 2124000coscosddd 30cos1423515d 方法二：由轮换对称性可知2z dxdydz2x dxdydz2y dxdydz 第 14 页 共 21 页 所以，212222400011sin33z dxdydzxyzdxdydz

18、ddrdr 140002214sinsin33515dr drd （13）若3 维列向量,满足2T，其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值为 。【答案】2【解析】2T 2TT ,T的非零特征值为2.(14)设12,mXXX为来自二项分布总体,B n p的简单随机样本，X和2S分别为样本均值和样本方差。若2XkS为2np的无偏估计量，则k 。【答案】1 【解析】2XkS为2np的无偏估计 22()E XkXnp 2(1)1(1)(1)11npknppnpkppkppk 三、解答题：15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题

19、满分9 分）求二元函数22(,)2lnfx yxyyy的极值。【解析】2(,)2(2)0 xfx yxy 2(,)2ln10yfx yx yy 故10,xye 2212(2),2,4xxyyxyfyfxfxyy 第 15 页 共 21 页 则 12(0,)1(0,)1(0,)12(2)0 xxexyeyyefeffe 0 xxf 而2()0 xyxxyyfff 二元函数存在极小值11(0,)fee （16）（本题满分9 分）设na为曲线nyx与11,2,.nyxn所围成区域的面积，记 122111,nnnnSaSa，求1S与2S的值。【解析】由题意，nyx与n+1y=x在点0 x 和1x 处相

20、交，所以112111111a()()001212nnnnnxxdxxxnnnn，从而1111111111Slimlim(-)lim()23122+22NnnNNNnnaaNNN 2211111111111111=)22+1232N2N+123456nnnSann（）（由2(1)1(1)2nnxxn ln(1+x)=x-取1x 得 22111ln(2)1()11ln 2234SS（17）（本题满分11 分）椭球面1S是椭圆22143xy绕x轴旋转而成，圆锥面2S是过点4,0且与椭圆22143xy相切的直线绕x轴旋转而成。（）求1S及2S的方程（）求1S与2S之间的立体体积。第 16 页 共 21

21、 页【解析】（I）1S的方程为222143xyz，过点4,0与22143xy的切线为122yx，所以2S的方程为222122yzx。（II）记1122yx，由22143xy，记223 14xy，则424222221200001324344Vy dxy dxxxdxxdx 4232300114431243xxxxx （18）（本题满分11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数 fx在,a b上连续，在(,)a b可导，则存在,a b，使得 fbfafba（）证明：若函数 fx在0 x 处连续，在0,0内可导，且 0limxfxA，则 0f存在，且 0fA。【解析】（）作辅助函数()()()()(

22、)()f bf axfxf axaba，易验证()x满足：()()ab；()x在闭区间,a b上连续，在开区间,a b内可导，且()()()()f bf axfxba。根据罗尔定理，可得在,a b内至少有一点，使()0，即()f()()0,()()()()f bf af bf afbaba（）任取0(0,)x，则函数()fx满足；在闭区间00,x上连续，开区间00,x内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在000,0,xx，使得000()(0)0 xfxffx*第 17 页 共 21 页 又由于 0limxfxA，对上式（*式）两边取00 x时的极限可得：0000000000()00limli

23、m()lim()0 xxxxxfxffffAx 故(0)f存在，且(0)fA。（19）（本题满分10 分）计算曲面积分32222xdydzydzdxzdxdyIxyz，其中是曲面 222224xyz的外侧。【解析】2223/2()xdydzydxdzzdxdyIxyz，其中222224xyz 2222223/22225/22(),()()xyzxxxyzxyz 2222223/22225/22(),()()yxzyyxyzxyz 2222223/22225/22(),()()zxyzzxyzxyz +=2223/22223/22223/2()()()0()()()xyzxxyzyxyzzxyz

24、 由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）222211:.016xyzRR有 1132223/233313434()3xdydzydxdzzdxdyxdydzydxdzzdxdyRdVxyzRRR （20）（本题满分11 分）设111111042A 1112 求满足21A的2.231A的所有向量2,3.对中的任意向量2,3证明1,2,3无关。第 18 页 共 21 页 【解析】（）解方程21A 1111111111111,111100000211042202110000A ()2r A 故有一个自由变量，令32x，由0Ax 解得，211,1xx 求特解，令120 x

25、x，得31x 故21101021k，其中1k为任意常数 解方程231A 2220220440A 21111022012,2201000044020000A 故有两个自由变量，令21x，由20A x 得131,0 xx 求特解21200 故 321121000k ，其中2k为任意常数（）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)222210kkkkk kkkkkkkk 102 故123,线性无关.第 19 页 共 21 页 （21）（本题满分11 分）设二次型2221231231323,122fxxxaxaxaxx xx x（）求二次型f的矩阵的所有特征值；（）

26、若二次型f的规范形为2212yy，求a的值。【解析】（）0101111aAaa 0110|01()1111111aaaEAaaaa 222()()(1)10()()()(1)2()2219()(12)24()(2)(1)aaaaaaaaaaaaaaaaa 123,2,1aaa（）若规范形为2212yy，说明有两个特征值为正，一个为0。则 1)若10a，则 220 ，31，不符题意 2)若20，即2a，则120，330，符合 3)若30，即1a ，则110 ，230，不符题意 综上所述，故2a （22）（本题满分11 分）袋中有1 个红色球，2 个黑色球与3 个白球，现有回放地从袋中取两次，每次

27、取一球，以,X Y Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（）求10pXZ；（）求二维随机变量,X Y概率分布。【解析】（）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 第 20 页 共 21 页 12113324(10)9CP XZCC（）X，Y 取值范围为0，1，2，故 1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20CCCCPXYPXYCCCCCCCPXYPXYCCCCC

28、CPXYPXYCCCCPXYCCPXYPXY X Y 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9 0 0 （23）（本题满分11 分）设总体X的概率密度为2,0()0,xxexfx其他，其中参数(0)未知，1X，2X,nX是来自总体X的简单随机样本 ()求参数的矩估计量；（）求参数的最大似然估计量 【解析】（1）由EXX 而22022xEXx edxXX为总体的矩估计量（2）构造似然函数 12111L,.,;niinnxnniiiixxfxxe 取对数11ln2lnlnnniiiiLnxx 第 21 页 共 21 页 令111ln222001ninniiiiidLnnxdxxn 故其最大似然估计量为2X