成人高考专升本《高等数学二》公式大全 .docx

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1、精品名师归纳总结1、数列极限的四就运算法就第一章节公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 lim xnnA, lim ynnB, 那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim xn nyn lim xnnlim y nABnlimnxnyn lim xnnlim ynABn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim x . y lim x. lim y ）A.Bxnlimlim xnnA B0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nnnnnnnnynlim ynBn可编辑资料 - - - 欢迎

2、下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推 广 ： 上 面 法 就 可 以 推 广 到 有限多 个 数 列 的 情 况 。 例 如 ， 假 设 an， bn，cn有 极 限 ， 就 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limnanbncn lim annlim bnnlim cnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊的，假如C 是常数，那么2、函数极限的四算运就lim C.an nlimnC.lim anCAn可编辑资料 - - - 欢迎下载

3、精品名师归纳总结假如 limf xA, limg xB, 那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf xlimg xlimf xlimg xAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf xlimg xlimf xlimg xA B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf xg xlim limf xg xA B Blimgx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 设 limf1 x, l

4、imf 2 x, limf 3 x,.limf n x, limf x都存在， k 为常数， n 为正整数，就有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim f1 xf1 x. fn xlimf 1 xlimf 2 x.limf n x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim kf xk lim f xlim f x nlimf x n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、无穷小量的比较：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 ,是同一过程中的两个

5、无穷小,且lim0, lim0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 假如lim0 ,就说是比 高阶的无穷小, 记作o;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 2 假如limC C0 , 就说是与同阶的无穷小;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） 特殊的假如 lim1, 就称与 是等价的无穷小量; 记作;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4)

6、假如 limkCC0, k0, 就说是 的k阶的无穷小 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) 假如lim, 就称 是比低阶的无穷小量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常用等级无穷小量的比较：当x0时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin x x,arcsin x x, tanx x, arctanx x,ln1x x, ex1 x,1cosx 1 x 2.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

7、归纳总结重要极限limsin x1.lim 11 x1xe.lim 1xe对数列有lim 11 ne可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0xx0nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 导数的定义：函数 y f x 在 x x0 处的瞬时变化率是其次章节公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf x0 x f x0f limy f x 在 x x处的导数，记作 f x 或 y|x x即 f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0，我们称它为函数0x000可编辑资料 -

8、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 limx0f x0 x f x0.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 导数的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 f x 在 x x0 处的导数就是切线的斜率k，即 k limx0f x0x f x0x f x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 导函数 导数 当 x 变化时， f x 便是 x 的一个函数，我们称它为f x 的导函数 简称导数 ， y f x 的导函数有时也记作y，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x y lim

9、x0f x x f xx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 几种常见函数的导数1 c 0 c 为常数 ， 2xn nxn1 n Z ，3ax axlnaa 0,a1, ex ex1114lnx x， log a x xlog ae= x ln a a 0,a15sinx cos x，6cosx sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7tan x1cos2, 8xcot x1sin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9arcsin x1 11x 2x1 , 10arccosx1 11x2x

10、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11arctan x11x2, 12arc cotx11x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 函数的和、差、积、商的导数 uv u v， uv u v uv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uv u vuvv2， ku cuk 为常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 uvw uvw uvw+ uvw 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结微分公式：1 d coc为常数）（2） d x a ax a1dxa为任意实数）可编辑资料 - -

11、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3xd log a 1x ln adxa0, a1,d ln x1 dx x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） d a x a x ln adxa0, a1dex exdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) d sin xcos xdx(6) d cos xsinxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(7) 7d tan

12、x1cos2 x1dx ,8d cot x1sin 2 x dx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9arcsin x1x2dx , 10arccosxdx1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11d arctan x11x 2dx , 12d arccot x1dx1x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6. 微分的四算运就d u v du dv， duv v du udv可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ud vvduv2udv v0dku k du k 为常数 可编辑资料 - -

13、 - 欢迎下载精品名师归纳总结洛必达法就：在肯定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf xflimxlimf xA或 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xa g xxa g xxa g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 导数的应用：f x =0 的点为函数 f x 的驻点，求极值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) xx0 时，f x0 ; xx0时,f x0 , 就f x0 为f x的极大值，x0为极大值点 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

14、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) xx0 时，f x0 ; xx0时,f x0 , 就f x0 为f x的极大值，x0为微小值点 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 3假如f x在x0的两端的符号相同，那么f x0不是极值，x0不是极值点。;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x =0 的点为函数 f x 的拐点，求凹凸区间。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0的x取值范畴内，曲线 yf x为凸的（下凹）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

15、- - 欢迎下载精品名师归纳总结f x0的x取值范畴内，曲线 yf x为凹的（上凹）第三章学问点概况可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不定积分的定义：函数fx的全体原函数称为函数fx的不定积分，记作f x dx，并称为积分符号，函数f x 为被可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积函数，f x dx为被积表达式， x 为积分变量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结因此 fxdxF xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结不定积分的性质：可编辑资料

16、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结1f xdx f x或df xdxf xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2F x dxF xC或 dF xF xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 f xx.xdxf xdx xdx. x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(4) 4kf xdxkf xdxk为常数且 k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结基本积分公式：可编辑资料 - - - 欢迎

17、下载精品名师归纳总结10dxC2ax dx1xa 1a1Ca131 dx xln xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4xa dx1axln aC a0, a1 5ex dxexC 6sinxdxcos xC7cos xdxsin xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结891cos2 x dx1sin2 x dxtan xCcot xC101dx 1- x2arcsinxC1111x 2 dxarctan xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结换元积分凑微分法：1. 凑微分。对不定积分g xdx ，将被

18、积表达式 gxdx凑成g x dx x xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u2. 作变量代换。 令 x, 就dud x xdx代入上式得：g xdx凑微分f x xdx变换带量f udu3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结用公式积分， ，并用 ux 换式中的 uf udu公式 F uC回代F xC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常用的凑微分公式主要有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） f axbdx11 f ax abd ax

19、b （2） fax kb xk11dx11f axkka1bd axkb1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） f xdx2 f xx d x（4） f x2 dxxf d xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x（5） f e exdxf ex dex （6） fln x1 dx xf lnxd ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（7） f sin xcos xdx1f sin x d sin x（8） f cos x sinxdxf cos

20、xd cos x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（9） f tan xcos2 x dx1f tanx d tan x（10） f cot xsin 2 x dxf cotx) d cot x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（11）farcsin xdx1x 2f arcsin xd arcsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（12）f arccosx1dx 1x 2f arccosxd arccosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（13） farctan x11dx x

21、2f arctan xd arctan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（14） x dx xd ln(x) x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分部积分法：d uvvduudv两边对x积分得 uvvduudv移项得udvuvvdu或vduuvudv 适用于分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结部积分法求不定积分的常见题型及u 和 dv 的选取法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） eaxPx dx设uPx, dveaxdx（2） P

22、x sin axdx设uP x, dvsin axdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（3） P x cos axdx设uPx, dvcosaxdx（4） P x lnxdx设uln x, dvP x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5） Px arcsinxdx设uarcsin x, dvPxdx（6） P x arctan xdx设uarctan x, dvPxdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（7） eax sin bxdx其中 u,v为

23、任意选取， eax cos bxdx其中 u, v为任意选取，上述式中的 Px 为 x 的多项式， a,b 为常数。一些简洁有理函数的积分，可以直接写成两个分式之和，或通过分子加减一项之后，很简洁将其写成一个整式与一个分式之和或两个分式之和，再求出不定积分。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定积分 :bf xdxalim nnf i xi此式子是个常数i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（0）1 定积分的值是一个常数，它只与被积函数fx及积分区间 a,b有关，而与积分变量的字母无关，即应有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结bf xdxabf t d

24、ta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2在定积分的定义中，我们假定ab; 假如 ba，我们规定：bf xdxaa-f xdxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 a=b, 就规定：af xdx0a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3对于定义在 a, a上的连续奇偶函数f x ，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结af xdxa0f x 为奇函数a

25、f xdxaa2f xdx0f x 为偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定积分的性质：b（1）kf xdxbkf xdxk为常数）（2） f xg x dxbf x dxbg xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b（3） f x dxcf xdxbf xdxc为a,b的内外点）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4） 假如在区间 a, b上总有f xg x, 就bf xdxbg x d（

26、x单调性）（5）b1dxba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（6） 设 M和m分别是f x在区间 a, b上的最大值和最小值，就有 mbabf xdxaM ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（7） 积分中值定理：假如b函数f x在闭区间 a,b上连续，就在a, b上至少存在一点，定积分的运算：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使得下式成立：af xdxf ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一、变上限函数可编辑资料 - - - 欢

27、迎下载精品名师归纳总结设函数f x 在区间a, b上连续，并且设 x 为a, b上的任一点，于是，f x 在区间xa,b上的定积分为xf x dxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这里 x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为f t dta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如上限 x 在区a,b间上任意变动， 就对于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在a, b 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义了一个以 x 为自变量的函数x ，我们把x 称为函数xf x 在区间a, b上变上限函数可编辑资

28、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xf记为at dt axb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推理： xxf t dtaf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 xb xa xf tdt f bxb xf axa x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定积分运算公式利用定义运算定积分的值是非常麻烦的，有时甚至无法运算。因此，必需寻求运算定积分的简便方法。b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们知道：假如物体以速度v tv t0 作直线运动，

29、那么在时间区间a, bs上所经过的路程 s 为v t dta可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另一方面，假如物体经过的路程s 是时间 t 的函数s t ，那么物体从 t=a 到 t=b 所经过的路程应当是见图5-11 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即图 5-11bv t dtas bs av tb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由导数的物理意义可知：s tv t 即 s t是 v t一个原函数， 因此，为了求出定积分v t dta，应先求出被积函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的原函数s t ，再求 s t在区间a, b上的增量 s as b 即可。b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x dx假如抛开上面物理意义，便可得出运算定积分a的一般方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设函数 fx 在闭区间a,b上连续， Fx 是 fx 的一个原函数，即bF xf x ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这个公式叫做牛顿