三角函数公式典型例题大全.doc

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1、. .高中三角函数公式大全以及典型例题2009年07月12日 星期日 19:27三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tan(A-B) =cot(A+B) =cot(A-B) =倍角公式tan2A =Sin2A=2SinA?CosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3co

2、s3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tanatan(+a)tan(-a)半角公式sin()= cos()=tan()= cot()=tan()=和差化积 sina+sinb=2sincos sina-sinb=2cossincosa+cosb = 2coscos cosa-cosb = -2sinsintana+tanb=积化和差 sinasinb = -cos(a+b)-cos(a-b) cosacosb = cos(a+b)+cos(a-b)sinacosb = sin(a+b)+sin(a-b) cosasinb = sin(a+b)-sin(a-b)诱导公式 sin

3、(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(-a) = cosa cos(-a) = sinasin(+a) = cosa cos(+a) = -sinasin(-a) = sina cos(-a) = -cosasin(+a) = -sina cos(+a) = -cosatgA=tanA =万能公式sina= cosa=tana=其它公式a?sina+b?cosa=sin(a+c) 其中tanc=a?sin(a)-b?cos(a) =cos(a-c) 其中tan(c)=1+sin(a) =(sin+cos)2 1-sin(a) = (sin-cos)2其他非重点三角函数c

4、sc(a) = sec(a) =公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2k）= sin cos（2k）= cos tan（2k）= tan cot（2k）= cot 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin（）= -sin cos（）= -cos tan（）= tan cot（）= cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系： sin（-）= -sin cos（-）= cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系： sin（-）= sin cos（

5、-）= -cos tan（-）= -tan cot（-）= -cot 公式五： 利用公式-和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系： sin（2-）= -sin cos（2-）= cos tan（2-）= -tan cot（2-）= -cot 公式六： 及与的三角函数值之间的关系： sin（+）= cos cos（+）= -sin tan（+）= -cot cot（+）= -tan sin（-）= cos cos（-）= sin tan（-）= cot cot（-）= tan sin（+）= -cos cos（+）= sin tan（+）= -cot cot（+）= -tan sin（-）

6、= -cos cos（-）= -sin tan（-）= cot cot（-）= tan (以上kZ) 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 正切定理:(a+b)/(a-b)=Tan(a+b)/2/Tan(a-b)/2三角函数 积化和差 和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦： 3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(2)sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2

7、)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1.已知sin=m sin(+2), |m|1,求证tan(+)=(1+m)/(1-m)tan解:sin=m sin(+2) sin(a+-)=msin(a+) sin(a+)cos-cos(a+)sin=msin(a+)cos+mcos(a+)sin sin(a+)cos(1-m)=cos(a+)sin(m+1) tan(+)=(1+m)/(1-m)tan三角函数

8、典型例题1 设锐角的内角的对边分别为,.()求的大小;()求的取值X围.【解析】:()由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得.() .2 在中,角A BC的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C()求角B的大小;20070316()设且的最大值是5,求k的值. 【解析】:(I)(2a-c)cosB=bcosC,(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)A+B+C=,2sinAcosB=sinA 0A,sinA0.cosB=. 0B1,t=1时,取最大值.依题意得,-2+4k+1=5

9、,k=.3 在中,角所对的边分别为,.I.试判断的形状; II.若的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I. ,所以此三角形为直角三角形.II.,当且仅当时取等号,此时面积的最大值为.4 在中,a、b、c分别是角A BC的对边,C=2A, ,(1)求的值;(2)若,求边AC的长?【解析】:(1) (2) 又 由解得a=4,c=6,即AC边的长为5.5 已知在中, ,且与是方程的两个根.()求的值;()若AB,求BC的长.【解析】:()由所给条件,方程的两根. (),.由()知, ,为三角形的内角,为三角形的内角, 由正弦定理得: .6 在中,已知内角A BC所对的边分别为a、b、c,向量,且

10、?(I)求锐角B的大小;(II)如果,求的面积的最大值?【解析】:(1) 2sinB(2cos2-1)=- cos2B2sinBcosB=-cos2B tan2B=- 02B,2B=,锐角B= (2)由tan2B=- B=或当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ABC的面积SABC=acsinB=acABC的面积最大值为 当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+ac2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)ac4(2-) ABC的面积SABC=acsinB=ac 2-ABC的面积最大值为2- 7 在中,角A BC所对的边分别是a,b,c,且(1)求的值;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB=+cos2B= (2)由b=2, +=ac+42ac,得ac, SABC=acsinB(a=c时取等号)故SABC的最大值为8 已知,求的值?【解析】; . .word.