数列常见题型总结经典.docx

《数列常见题型总结经典.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列常见题型总结经典.docx（48页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、数列常见题型总结经典数列常见题型总结经典 本文关键词：数列，题型，常见，经典数列常见题型总结经典 本文简介：中学数学数列常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1前n项和法（知求）例1、已知数列的前n项和，求数列的前n项和变式：已知数列的前n项和，求数列的前n项和练习：1、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。答案：2、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。答案：3、设数列的前n项和为，数列的前n数列常见题型总结经典 本文内容：中学数学数列常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1前n项和法（知求）例1、已知数列的前n项和，求数列的前n项和变式：已知数列的前n项和，求数列的前n项和练习：1

2、、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。答案：2、若数列的前n项和，求该数列的通项公式。答案：3、设数列的前n项和为，数列的前n项和为，满意，求数列的通项公式。4.为的前n项和，=3（1），求（nN+）5、设数列满意，求数列的通项公式（作差法）2.形如型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.例1.已知数列an满意,证明例2.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式.例3.已知数列满意，求此数列的通项公式.3.形如型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此数列为等比且=.（2）当f(n)为n的函数时,用

3、累乘法.例1、在数列中，求数列的通项公式。答案：练习：1、在数列中，求。答案：2、求数列的通项公式。4.形如型（取倒数法）例1.已知数列中，求通项公式练习：1、若数列中，,求通项公式.答案：2、若数列中，求通项公式.答案：5形如,其中)型（构造新的等比数列）（1）若c=1时，数列为等差数列;（2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造协助数列来求.方法如下：设,利用待定系数法求出A例1已知数列中，求通项.练习：1、若数列中，,求通项公式。答案：2、若数列中，,求通项公式。答案：6.形如型（构造新的等比数列）(1)若一次函数(k,b是常数，且)，则

4、后面待定系数法也用一次函数。例题.在数列中，,求通项.解：原递推式可化为比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为.即：，故.练习：1、已知数列中，求通项公式(2)若(其中q是常数，且n0,1)若p=1时，即：，累加即可若时，即：，后面的待定系数法也用指数形式。两边同除以.即：,令,则可化为.然后转化为类型5来解，例1.在数列中，且求通项公式1、已知数列中，求通项公式。答案：2、已知数列中，求通项公式。答案：题型二依据数列的性质求解（整体思想）1、已知为等差数列的前项和，则；2、设、分别是等差数列、的前项和，则.3、设是等差数列的前n项和，若（）5、在正项等比数列

5、中，则_。6、已知为等比数列前项和，则.7、在等差数列中，若，则的值为（）8、在等比数列中，已知，则.题型三：证明数列是等差或等比数列A)证明数列等差例1、已知数列an的前n项和为Sn，且满意an+2SnSn1=0（n2），a1=.求证：是等差数列；B）证明数列等比例1、已知数列满意证明：数列是等比数列；求数列的通项公式；题型四：求数列的前n项和基本方法：A）公式法，B）分组求和法1、求数列的前项和.2.3.若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10()A15B12C12D154.求数列1，2+，3+，4+，5.已知数列an是321,6221,9231,12241，写出数列

6、an的通项公式并求其前n项和Sn.C）裂项相消法，数列的常见拆项有：；例1、求和：S=1+例2、求和：.D）倒序相加法，例、设，求：E）错位相减法，1、若数列的通项，求此数列的前项和.2.（将分为和两种状况考虑）题型五：数列单调性最值问题例1、数列中，当数列的前项和取得最小值时，.例2、已知为等差数列的前项和，当为何值时，取得最大值；例3、设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围题型六：总结规律题1已知数列满意，且前2022项的和为403，则数列的前2022项的和为？2数列an满意an+1(1)nan2n1，则an的前60项和为？常见练习1方程的两根的等比中项是（）

7、ABCD2、已知等比数列的前三项依次为，则ABCD3一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最终4项之和是80，全部项之和是210，则此数列的项数为（）A12BC16D184an是等差数列，则使的最小的n值是（）A5BC7D85.若数列前100项之和为0，则的值为（）A.B.C.D.以上的答案均不对6.设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c成A.等差B.等比C.非等差也非等比D.既等差也等比7假如等差数列中，那么()（A）14（B）21（C）28（D）358.设数列的前n项和，则的值为()（A）15(B)37(C)27（D）649.设等比数列的公比，前n项和为，则（）ABCD10.

8、设为等比数列的前项和，已知，则公比（）（A）3（B）4（C）5（D）611已知是等比数列，则（）ABCD12.若数列的通项公式是，则()（A）30（B）29（C）-30（D）-2913.已知等比数列满意，且，则当时，（）A.B.C.D.14巳知函数有两个不同的零点,且方程有两个不同的实根.若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数的值为()ABCD15已知等比数列an的前n项和Snt5n2，则实数t的值为()A4B5C.D.16已知等差数列an的前n项和为Sn，a4+a7+a10=9，S14S3=77，则使Sn取得最小值时n的值为（）A4B5C6D717若an是等差数列，首项a10，公差d

9、0成立的最大自然数n是()A4027B4026C4025D402418已知数列满意：a11，an1，(nN*)，若bn1(n)，b1，且数列bn是单调递增数列，则实数的取值范围为()A2B3C2D319、由正数构成的等比数列an，若，则20已知数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大角为21、给定（nN*），定义乘积为整数的k（kN*）叫做“志向数”，则区间1，2022内的全部志向数的和为22设为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满意，则的取值范围为23设正整数数列满意：，且对于任何，有，则24.已知为等比数列,则_.25.设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则_.26、

10、已知函数是一次函数，且成等比数列，设，()（1）求；（2）设，求数列的前n项和。27、已知数列中，其前项和满意（，）（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对随意，都有成立28已知数列中（I）设，求证数列是等比数列；（）求数列的通项公式29已知等差数列满意：.（）求的通项公式；（）若()，求数列的前n项和.30已知数列的前项和为，且.若数列为等比数列，求的值；若，数列前项和为，时取最小值，求实数的取值范围31是一个公差大于0的等差数列,成等比数列,.()求数列的通项公式;()若数列和数列满意等式:=,求数列的前n项和32已知数列满意,其中N*.()设,求证:数列是等差数

11、列,并求出的通项公式;()设,数列的前项和为,是否存在正整数,使得对于N*恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,请说明理由.33已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，设，求数列的前n项和.34一个等比数列中，求这个数列的通项公式.35有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。首末两数和为16，中间两数和为12.求这四个数.36.已知等差数列满意：，数列的前n项和为（）求及；（）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.37.设是公比为正数的等比数列，.（）求的通项公式；（）求数列的前项和.38已知数列的前n项和为，点在直线上.（

12、）求数列的通项公式；（）设，求数列的前n项和为，并求使不等式对一切都成立的最大正整数k的值7篇2：中学数学数列学问点总结(经典)中学数学数列学问点总结(经典) 本文关键词：数列，学问点，中学数学，经典中学数学数列学问点总结(经典) 本文简介：导航教化独家经典讲义数列基础学问点和方法归纳1.等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和性质：是等差数列（1）若，则（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的中学数学数列学问点总结(经典) 本文内容：导航教化独家经典

13、讲义数列基础学问点和方法归纳1.等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和性质：是等差数列（1）若，则（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.当，由可得达到最小值时的值.(6)项数为偶数的等差数列，有，.（7）项数为奇数的等差数列，有，.2.等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.等比中项：成等比数列，或.前项和：（要留意！）性质：是等比数列（1）若，

14、则（2）仍为等比数列,公比为.留意：由求时应留意什么？时，；时，.3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列，求解时，时，得：，练习数列满意，求留意到，代入得；又，是等比数列，时，（2）叠乘法如：数列中，求解，又，.（3）等差型递推公式由，求，用迭加法时，两边相加得练习数列中，求（）（4）等比型递推公式（为常数，）可转化为等比数列，设令，是首项为为公比的等比数列，（5）倒数法如：，求由已知得：，为等差数列，公差为，(附：公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4.求数列前n项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之

15、和，使之出现成对互为相反数的项.如：是公差为的等差数列，求解：由练习求和：（2）错位相减法若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.如：时，时，（3）倒序相加法把数列的各项依次倒写，再与原来依次的数列相加.相加练习已知，则由原式(附：a.用倒序相加法求数列的前n项和假如一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采纳把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学学问时，不但要知其果，更要索其因，学问的得出过程是学问的源头，也是探讨同一类学问的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

16、b.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可干脆用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的留意事项：首先要留意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。d.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。e.用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列an满

17、意an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把全部的式子加到一起，经过整理，可求出an，从而求出Sn。f.用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先依据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。)5篇3：20XX届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的

18、综合同步单元双基双测B卷文2022届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测B卷文 本文关键词：立体几何，不等式，数列，向量，滚动2022届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合同步单元双基双测B卷文 本文简介：滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.【2022河南名校联考】已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（）A.B.C.D.【答案】D2.庄子天下篇中记述了一个闻名命题：“一尺之棰，日取其半，万2022届高考数学滚动检测05向量数列不等式和立体几何的

19、综合同步单元双基双测B卷文 本文内容：滚动检测05向量数列不等式和立体几何的综合（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.【2022河南名校联考】已知公比不为1的等比数列的前项和为，且成等差数列，则（）A.B.C.D.【答案】D2.庄子天下篇中记述了一个闻名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”反映这个命题本质的式子是（）ABCD【答案】D【解析】试题分析：由题得:是求首项为,公比为等比数列的前项和.所以:故选D.考点：等比数列求和.3.设是两个非零的平面对量，下列说法正确的是（）若，则有；若存在实数，使得，则；若，则存在实数，使得.A.B.C.D.

20、【答案】B【解析】考点：平面对量数量积的应用.4.【2022辽宁凌源两校联考】若实数，满意不等式组，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】画出可行域如图所示,令=,化简得,即过定点(-1,2)的直线系的斜率的取值范围,由图知当直线过定点(-1,2)与交点(-3,1)连线时斜率为,此时斜率最小,则的取值范围为,故选A.5.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且，则球的表面积为（）ABC.D【答案】A【解析】考点：三棱柱外接球【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题

21、，再利用平面几何学问找寻几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两相互垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解6.【2022黑龙江齐齐哈尔八中三模】如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】该几何体是由两个小三棱锥和一个圆锥组成，所以体积为，故选A。7.【2022江西宜春调研】如图（1），五边形是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成，其中，现将进行翻折，使得平面平面，连接，所得四棱锥如图（2）所示，则四棱锥的外

22、接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C故选C.点睛：本题考查了多面体的外接球，把不易求其外接球半径的几何体转化为易求半径的几何体是解题的关键，体现了补体的方法.8.设为两个非零向量、的夹角，已知对随意实数，的最小值为1,（）A若确定，则唯一确定B若确定，则唯一确定C若确定，则唯一确定D若确定，则唯一确定【答案】B【解析】考点：1、平面对量的模；2、平面对量的夹角9.【2022湖南浏阳五校联考】已知直线，平面且给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确的命题是A.B.C.D.【答案】A【解析】若，且m?m，又l?ml，所以正确。若,且m?m，又l?，则m与l可能平行，可能异面，

23、所以不正确。若ml，且m，l?与可能平行，可能相交。所以不正确。若ml，且m?l又l?，正确。故选：B.10.已知数列中，则的前100项和为（）A1250B1276C1289D1300【答案】C【解析】试题分析：由条件得，则因为，所以，故选C考点：1、数列的性质；2、等差数列的前项和11.已知实数、满意条件,若目标函数的最小值为,则的值为（）A.B.C.D.【来源】【百强校】2022届广东汕头市一般高考高三其次次模拟数学（文）试卷（带解析）【答案】B【解析】考点：简洁的线性规划.【方法点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简洁题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求

24、”：（1）作出可行域（肯定要留意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最终通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（）【答案】B【解析】考点：函数图象.【思路点晴】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特别情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，依据图形的相像，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，比照选项，即可得出答案.本题

25、考查数形结合的数学思想方法，考查特别值、小题小作的小题技巧.二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.若非零向量满意,则夹角的余弦值为_【答案】【解析】试题分析：由，得，即，所以考点：1、平面对量的数量积运算；2、平面对量的夹角14.如图是棱长为1的正方体，是高为1的正四棱锥，若点在同一个球面上，则该球的表面积为_【答案】【解析】试题分析：按如图所示作协助线，为球心，设，则，同时由正方体的性质知，则在中，即，解得，所以球的半径，所以球的表面积为考点：1、多面体的外接球；2、球的表面积【思路点晴】解答本题的关键是求出外接球的半径，如何利用题设条件建构含球的半径的方程是解答好本题的关键之所在

26、求解时充分借助正方体和正四棱锥都是对称图形，将球心设在四棱锥与正方体底面的中心的连线上，借助截面圆的圆心与球心连线垂直于截面圆，运用勾股定理求出了半径15.若直线过点，则的最小值为【来源】【百强校】2022-2022学年辽宁庄河中学高二10月考文数试卷（带解析）【答案】【解析】考点：基本不等式的应用.【方法点睛】本题主要考查的是基本不等式求最值，整体代入并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属于基础题，对于此类题目而言，首先利用已知条件求出之间的关系，即，然后利用乘法对进行处理，发觉，可利用基本不等式进行计算，即可求解，因此此类题目敏捷运用基本不等式是解题的关键.16.【2022湖南五

27、市十校联考】某几何体的三视图如图所示，若该几何体的全部顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_【答案】【解析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，球的表面积.点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有肯定的空间想象实力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球须要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找

28、到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再依据半径，顶点究竟面中心的距离，球心究竟面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知等差数列的公差为，是它的前项和，成等比数列，（1）求和；（2）设数列的前项和为，求。【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(1)结合题意求得数列的首项为，则其通项公式为，利用等比数列前n项和公式可得：；(2)结合(1)中求得的数列的

29、前n项和可得,裂项求和可得：.试题解析：（1）因为，而，成等比数列，所以，即，解得所以，（2）由（1）知所以点睛：运用裂项法求和时，要留意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不行漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的18.在中，角的对边分别是，已知向量，且（1）求的值；（2）若，的面积，求的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先依据向量平行关系得，再由正弦定理，化角得，最终依据两角和正弦公式及诱导公式得（2）由三角形面积公式得，即，再依据余弦定理得，解方程组得试题解析：解：（1），由正弦定理，得，化简，得，又，考点：正余弦定理，两角

30、和正弦公式及诱导公式19.已知数列的首项，且.（）证明：数列是等比数列.（）设，求数列的前项和.【答案】（）详见解析（）【解析】试题分析：（）证明数列为等比数列，一般方法为定义法，即确定相邻两项的比值为非零常数：利用代入化简，再说明不为零即可（）由（）先依据等比数列通项公式求，即得，代入，可得，因此其前项和应用错位相减法求试题解析：解（）证明：又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.（）解：由（）知，即.于是，由-得，即，数列的前项和.考点：等比数列定义及通项，错位相减法求和。20.【2022四川成都七中一模】如图，四棱锥中，平面，为线段上一点，为的中点.（1）证明：（2）求四面体的体积.【

31、答案】（1）见解析（2）解析：（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，即又，即故四边形为平行四边形，于是因为所以（2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为取得中点，连接，由得由得到的距离为，故，所以四面体的体积为21.如图所示，在四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，平面平面，且，,分别为，的中点（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求四棱锥的体积【答案】（1）（2）见解析（3）四棱锥的体积【解析】试题分析：（1）要证平面，由线面平行的判定定理，既要证平行于平面内的一条直线，通过分析，证明即可；（2）要证平面平面，由面面垂直的判定定理，只要证明平面即可；（3）证明四棱锥的的高为，

32、则体积可求试题解析：（1）如图，连接，四边形为矩形且是的中点，也是的中点又是的中点，平面，平面，平面（2）证明：面平面，平面平面，平面，平面，平面平面（3）取的中点为，连接，平面平面，为等腰直角三角形，平面，即为四棱锥的高，又，四棱锥的体积考点：线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，椎体的体积公式22.如右图，已知是边长为2的正方形，平面，设，（1）证明：；（2）求四面体的体积；（3）求点到平面的距离【答案】（1）见解析；（2）2；（3）2【解析】试题解析：（1）由已知，是正方形，所以对角线，因为平面，所以，因为，相交，所以平面，从而（2）四面体的体积，所以四面体的体积为2（3）先求的三条边长，在直角梯形中易求出，由余弦定理知，所以，；点到平面的距离为，由体积法知：，解得，所以点到平面的距离为2考点：1、线面垂直的性质；2、线线垂直的判定；3、余弦定理；三角形面积公式；4、多面体的体积；5、空间距离本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第48页 共48页第 48 页 共 48 页第 48 页 共 48 页第 48 页 共 48 页第 48 页 共 48 页第 48 页 共 48 页第 48 页 共 48 页第 48 页 共 48 页第 48 页 共 48 页第 48 页 共 48 页第 48 页 共 48 页