第8章 应力状态和强度理论教学课件.pptx

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1、第8章 应力状态和强度理论应力状态的概念8.1平面应力状态分析8.2空间应力状态的最大应力、广义胡克定律8.3空间应力状态的应变能密度8.4强度理论8.58.1 应力状态的概念8.1.1 一点处的应力状态在前面章节研究强度问题时，强度计算都是根据杆件横截面上的最大应力建立强度条件来进行的。而实际上杆件的破坏不一定都发生在横截面上，有时也发生在斜截面上。l 铸铁试件压缩时，沿与轴线大约成4555角的斜截面破坏；l 铸铁圆轴扭转时，沿45螺旋面破坏。这些破坏现象表明：斜截面上存在着可能引起杆件破坏的应力。受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的；通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。为了

2、分析各种破坏现象，建立复杂受力情况下的强度条件，必须研究受力构件内一点处不同方位截面上的应力情况。受力构件内某一点处沿各个不同方位截面上应力的集合（即应力的全部情况），称为一点处的应力状态。8.1 应力状态的概念8.1.2 应力状态的表示方法为了研究构件内某点的应力状态，可以围绕该点截取一个微小的正六面体进行研究，称为单元体。单元体上任一截面上的应力都可以利用截面法求出，则该点处的应力状态就可以确定了。因此，可以用单元体的三对相互垂直平面上的应力来表示一点处的应力状态。如图所示轴向拉(压)杆A点处的应力状态,可以用单元体表示，由于单元体上、下与前、后四个面上均没有应力，因此可以简化为平面图形。

3、8.1 应力状态的概念圆轴扭转时一点处的应力状态如图所示，从圆轴上截取一个单元体，该单元体上只有切应力，处于纯剪切应力状态。图示为一悬臂梁，梁m-m截面上的A、B、C、D四点的应力状态，可以用图（c）所示单元体表示, （d）图为单元体的简化图形。8.1 应力状态的概念8.1.3 应力状态的分类单元体表面上一般既有正应力也有切应力。如某平面上 =0，称该面为主平面。主平面上的正应力称为主应力。通过构件内任一点，总可以找到三对相互垂直的主平面，相应的三个主应力为1, 2, 3，且max 1 2 3 min。如果单元体的三对侧面都是主平面，称该单元体为主单元体。2C1218.1 应力状态的概念 按主

4、应力不为零的个数，可将应力状态分为：单向应力状态：只有一个主应力不为零。 （拉、压和纯弯曲时）二向应力状态：有两个主应力不为零。 （圆轴受扭、横力弯曲）三向应力状态：三个主应力都不为零。 (轮轨接触点受力）212121213311单向应力状态二向应力状态（平面应力状态）三向应力状态（空间应力状态）简单应力状态复杂应力状态纯剪切应力状态8.2 平面应力状态分析8.2.1 解析法 本节讨论，在二向应力状态下，已知某一单元体各个面上的应力，求其它斜截面上的应力及主应力。8.2.1.1斜截面上的应力解析法 垂直于xy平面的任意斜截面ef 的外法线n与x轴的夹角为，且角以自x 轴逆时针转至外法线n为正；

5、斜截面上 以拉应力为正，以使其所作用的单元体有顺时针转动趋势为正。dAdAcosadAsina8.2 平面应力状态分析单元体的平衡方程为0sinsindcossind coscosdsincosdd0aaaaaaaaaAAAAAFyyxxn，0 ，0aaaaaaaaacossindsinsindsincosdcoscosddAAAAAFyyxxtaaa2sin2cos22xyxyxaaa2cos2sin2xyx 由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理x=y，可得到求斜截面上应力a，a的公式：8.2 平面应力状态分析主应力公式：002tan2tan(2180 )xxyaa2max2min22xy

6、xyx8.2.1.2主平面与主应力00021arctan,902xxyaaa1045aa由 ，得主平面方位角：aaa2sin2cos22xyxyxaaa2cos2sin2xyx1tan22xyxa0ddaamaxmaxminmin2 max作用面与主平面夹角45度=0a8.2 平面应力状态分析【例8.1】试利用应力状态理论，分析铸铁圆轴扭转时沿45螺旋面破坏的原因。【解】：主单元体如图所示。由以上分析可知，圆轴扭转时主应力1的方向与轴线成-45角。由于铸铁的抗拉强度低于抗剪强度，故铸铁圆轴扭转时沿45螺旋面破坏，如图所示。txyPMW max22min()22xyxyxx 1x20 3x 02

7、tan2xxy 0045 0009045 8.2 平面应力状态分析【例8.2】如图所示单元体，试用解析法求=-60时斜截面上的应力和主应力值及主平面方位，并画出主单元体。【解】：斜截面上的应力-60cos2 -sin222-3060-3060 cos -2 60 -20 sin -2 6022 15-45cos( 120 )20sin( 120 )20.18 MPaxyxyx （） （） （）-60sin2cos22-3060 sin -2 60-20 cos -2 602 -45sin( 120 )20cos( 120 )48.97 MPaxyx （）（） （）8.2 平面应力状态分析【例8

8、.2】如图所示单元体，试用解析法求=-60时斜截面上的应力和主应力值及主平面方位，并画出主单元体。【解】：主应力值及主平面方位2m a x2m in2222-3 06 0-3 06 0-2 0226 4 .2 41 54 9 .2 4 M P a3 4 .2 4xyxyx（）164.24MPa20334.24MPa 022-20tan2-0.444-30-60 xxy （）0223.96 011.98 由此作出主单元体，如图所示。8.2 平面应力状态分析8.2.2 图解法应力圆法8.2.2.1 应力圆及其作法为便于求得 、 ，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可将上述计算公式以图形来

9、表示即所称的应力圆（莫尔圆）。222222xyxyxaaC2yxR222xyxR22cos2sin222xyxyxaaa222xayRxya222cos2sin2aaaxyx8.2 平面应力状态分析OC,xxxD ,yyyD依单元体x截面上x、x定出点Dx，y截面上y、y（y=-x）定出点Dy，交点C为圆心，CDx为半径作圆。注意：在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点Dx和Dy所夹的圆心角为180，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述 、计算公式中是以2a 为参变量的。8.2 平面应力状态分析8.2.2.2 应力圆的应用求a 斜截面上的应力a，a 只需将

10、应力圆上表示x截面应力的点Dx所对应的半径CDx按的转向转动2角，得到E点，E点的坐标便代表了单元体斜截面上的应力（ Dx为基准）。fOC,xxxD,yyyDE,aa应力圆上的点与单元体上的面之间的对应关系： a.点的坐标对应某个截面的应力（点面对应）。 b.应力圆上两点所对应的圆心角是单元体上对应两个截面夹角的两倍（ Dx为基准，转向相同，夹角二倍）。a2aaxa a=08.2 平面应力状态分析2max2maxminmin22xyx 定主平面、求主应力和切应力极值A1、A2两点的切应力为零，这两点代表的截面为主平面，正应力为主应力，分别为最大和最小应力。max11min2OAOCCAOCCA

11、2max2min22xyxyx02tan2xxyamaxminxy极值切应力所在截面与主平面夹角45。主应力方位角主应力方位角8.2 平面应力状态分析【例8.3】试用图解法求如图所示单元体上（应力单位为MPa）： =45斜截面上的应力； 主应力值与主平面位置， 并画出主单元体。【解】：由图(a)可知40MPax 40MPax 20MPay 40MPay 045 建立-直角坐标系，选取比例尺，如图(b)所示。按选取的比例尺，由x、x、y、y定出D1点的坐标为(-40,-40)；D2点的 坐标为(-20,40) 。连接D1、D2点交O轴于C点，以C点为圆心，CD1为半径作应力圆。从D1点逆时针转2

12、=90的圆心角得E点，E点的坐标即为=45斜截面 上的应力。按选取的比例尺量测E点的坐标，得到04510MPa04510MPa 8.2 平面应力状态分析【例8.3】试用图解法求如图所示单元体上（应力单位为MPa）： =45斜截面上的应力； 主应力值与主平面位置， 并画出主单元体。【解】：(2)从应力圆上按选取的比例尺量得A1和A2两点的横坐标，即为主应力1和3，则111MPa 20 371MPa 量得D1点与A1点所夹的圆心角20=104（逆时针），则在单元体上从x平面逆时针转0=52即得1所在平面，据此可作出单元体，如图（c）所示。8.2 平面应力状态分析梁的主应力迹线图(a)所示受均布荷载

13、作用的矩形截面简支梁，在m-m截面上围绕五个点各取出一个单元体，如图(b)所示。1、5点分别处于梁的上、下边缘处，分别为单向压缩和单向拉伸应力状态，其它各点均处于平面应力状态。根据单元体上的应力，可作出相应的应力圆，如图(c)所示。由这些应力圆所确定的主平面位置，已在相应的单元体上绘出(图(b)。8.2 平面应力状态分析根据上述分析可知，除梁的上、下边缘点外，其它各点处的两个主应力必然一个为主拉应力，另一个为主压应力，两者的方向互相垂直。主拉应力1的方位角沿截面高度从上到下自90连续减至0，在中性轴处为45。在梁的xy平面内可以绘制两组正交的曲线，一组称为主拉应力迹线，其上各点的切线方向为该点

14、处主拉应力1的方向；另一组称为主压应力迹线，其上各点的切线方向为该点处主压应力3的方向，如图(a)所示。图中实线表示主拉应力迹线；虚线表示主压应力迹线。在钢筋混凝土梁内主要承受拉力的纵向钢筋，应大致按照主拉应力迹线来配置，以承担梁内各点处的最大拉应力。8.3 空间应力状态的最大应力、广义胡克定律8.3.1 空间应力状态的最大应力沿斜截面abcd将单元体截开，并研究左边部分的平衡图(b)。由于主应力3在两平面上自相平衡，因此该斜截面上的应力、与3无关，仅由1和2决定。于是该斜截面上的应力，可按平面应力状态由1和2作出的应力圆上的点表示图(c)。同理，与1（或2）所在主平面垂直的斜截面上的应力，可

15、由2、3（或1、3）作出的应力圆上的点表示图(c)。8.3 空间应力状态的最大应力、广义胡克定律可以证明，对于与三个主平面斜交的任意斜截面上的应力、，必可以用上述三个应力圆所围成的阴影线内的点表示图(c)。max113max2由于最大切应力在1和3所决定的应力圆上，因此最大切应力所在截面与2所在主平面垂直，并与1和3所在的主平面各成45角。最大正应力最大切应力8.3 空间应力状态的最大应力、广义胡克定律8.3.2 广义胡克定律对于各向同性材料，在任何方向上的弹性性质都相同，即它在各个方向上应力与应变之间的关系相同。可以证明，在小变形情况下，切应力引起的线应变很微小，可以忽略不记。因此认为： (

16、1) 正应力只产生线应变，不会发生切应变； (2) 切应力只会在切应力构成的平面内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会产生线应变。可利用叠加原理计算三向应力状态下的应变。8.3 空间应力状态的最大应力、广义胡克定律22213,EE 123132112233对各向同性体、小变性、弹性范围内。以主应力表示空间应力状态的广义胡克定律。112322133312111EEE 式中，1，2，3分别为沿主应力1，2，3方向的线应变。11123,EE 33312,EE 1238.3 空间应力状态的最大应力、广义胡克定律因为正应力只产生线应变，不会发生切应变；切应力只会在切应力构成的平面内产生

17、切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切应变；也不会产生线应变。1yxzxxyzEEEE 11yyxzzzxyEE GGGzxzxyzyzxyxy，广义胡克定律一般形式：8.3 空间应力状态的最大应力、广义胡克定律平面应力状态(z0，xz=zx=0，yz=zy=0)，则胡克定律为11xxyyyxzxyxyxyEEEG 各向同性材料的三个弹性常数E，G，m 之间存在如下关系：2 1EGm11222131211EEEm8.3 空间应力状态的最大应力、广义胡克定律【例8.4】正立方体钢块无空隙的放置在刚性槽内，如图所示。在钢块的顶面上作用p=150MPa的均布压力，已知材料的泊松比=0.3，试求钢块内

18、的主应力。【解】：钢块在刚性槽内均匀受压，x、y、z均不为零，钢块内各点的应力状态，如图所示。150MPayp 0 xz11()0.3( 150MPa)0 xxyzxzEE 11()0.3(150MPa)0zzxyzxEE 64.3MPaxz 1264.3MPa 3150MPa 8.4 空间应力状态的应变能密度对于单向拉（压）杆，若力F与变形量L之间的关系是线性的，则外力所做的功为 。由能量守恒原理，弹性应变能V在数值上应等于外力所做的功。每单位体积内所积蓄的应变能称作应变能密度（也称作变形比能），记为，则12F l122VF LvALAL在空间应力状态下，弹性应变能在数值上仍应等于外力所做的

19、功，且只取决于外力和变形的最终值而与中间过程无关。因为在外力和变形的最终值不变的情况下，若施力和变形的中间过程会使弹性变形能不同，则沿不同路径加、卸载后将出现能量的多余或缺失，这就违反了能量守恒原理。因此，可以假定三个主应力按比例同时从零增加到最终值，于是弹性应变能密度可以写为：1 12233111222v 8.4 空间应力状态的应变能密度整理可得：22212312233112 ()2vE 在一般情况下，单元体的变形包括体积改变和形状改变两部分。故应变能密度由体积改变能密度v和形状改变能密度d两部分组成，即：vdvvv如图(a)所示空间应力状态的主单元体可分解为图(b)、(c)所示的两单元体1

20、2313m（）8.4 空间应力状态的应变能密度图(b)中，在平均应力m作用于单元体的三个主平面时，单元体各棱边将产生相同变形，因而此时只有体积改变，而不发生形状改变。其应变能密度中只包含体积改变能密度v 222v13(12 )(32 (3)22mmmvvEE2v123(12 )()6vE在图(c)所示单元体中，三个主应力之和为零，故其体积不变，仅发生形状改变。2221223311()()() 6dvE8.5 强度理论8.5.1 强度理论的概念单向应力状态和纯剪切应力状态的强度条件可表示为 max max许用应力和是通过材料试验测出材料失效时的极限应力再除以安全系数得到的。对于复杂应力状态，三个

21、主应力1、2和3之间，有无穷多种比例关系，要在每一种比例关系下都通过对材料的直接试验确定其极限值，几乎是不可能实现的。8.5 强度理论长期以来，人们对材料的破坏现象和引起破坏的因素进行分析，认为无论材料破坏的表面现象如何复杂，其破坏形式主要可分为两类： 一类是脆性断裂破坏； 一类是塑性屈服破坏。认为材料某种形式的破坏主要是由某一因素引起的，与材料的应力状态无关，只要导致材料破坏的该因素达到极限值，材料就会破坏。这样就可以利用简单应力状态的试验结果来建立复杂应力状态下的强度条件。关于材料破坏因素的假说称为强度理论。8.5 强度理论8.5.2 常见的四种强度理论按材料破坏的两种形式，强度理论也分为

22、两类：一类是关于脆性断裂破坏的最大拉应力和最大拉应变理论；一类是关于塑性屈服破坏的最大切应力、形状改变能密度理论。最大拉应力理论第一强度理论该理论认为，引起材料脆性断裂破坏的主要因素是最大拉应力。即无论材料处于何种应力状态，只要构件内危险点处的最大拉应力1达到材料单向拉伸断裂时的极限应力值 ，材料就会发生脆性断裂破坏。断裂破坏的条件为1b考虑安全系数，该理论的强度条件为 1bn试验表明，铸铁等脆性材料在轴向拉伸和扭转时的破坏现象与该理论一致。但该理论的缺点是没有考虑另外两个主应力的影响，也不能在没有拉应力的应力状态下应用。8.5 强度理论最大伸长线应变理论第二强度理论该理论认为，引起材料脆性断

23、裂破坏的主要因素是最大拉应变。即无论材料处于何种应力状态，只要构件内危险点处的最大拉应变1达到材料单向拉伸断裂时的极限应变值b，材料就会发生脆性断裂破坏。断裂破坏的条件为1bbE由广义胡克定律可知11231()E 123()b 据此建立的强度条件为123()bn 试验表明，该理论可以很好地解释混凝土等脆性材料在受压时的破坏现象。但该理论与许多试验结果相差很大，因此目前很少采用。8.5 强度理论最大切应力理论第三强度理论该理论认为，引起材料塑性屈服破坏的主要因素是最大切应力。即无论材料处于何种应力状态，只要构件内危险点处的最大切应力max达到材料单向拉伸屈服时的极限应力值s，材料就会发生塑性屈服

24、破坏。屈服破坏的条件为max2ss因为最大切应力13max213s据此建立的强度条件为 13sn试验表明，该理论与塑性材料的许多试验结果较接近，计算也较简单，在工程设计中得到广泛应用。该理论的缺点是没有考虑 对材料破坏的影响。28.5 强度理论形状改变能密度理论第四强度理论该理论认为，引起材料塑性屈服破坏的主要因素是形状改变能密度。即无论材料处于何种应力状态，只要构件内危险点处的形状改变能密度d达到材料单向拉伸屈服时的形状改变能密度的极限值d,s，材料就会发生塑性屈服破坏。2221223311()()() 6dvE材料单向拉伸屈服时的形状改变能密度的极限值为2,13d ssvE屈服破坏的条件为

25、,dd svv据此建立的强度条件为 2221223311()()() 2sn试验表明，在平面应力状态下，对塑性材料该理论与最大切应力理论相比更符合试验结果。8.5 强度理论8.5.3 强度理论的选用原则强度理论的统一形式以上四种强度理论，可用统一形式表示为 r式中，r称为相当应力，四种强度的相当应力为1121233132224122331()1()()() 2rrrr 8.5 强度理论强度理论的选用原则塑性材料通常发生塑性屈服破坏，宜采用第三或第四强度理论。脆性材料通常发生脆性断裂破坏，宜采用第一强度理论。在二向拉压状态下，当压应力值较大时，可采用第二强度理论。在三向拉伸应力状态下，若三个拉应

26、力接近，无论是塑性材料还是脆性材料，都将发生脆性断裂破坏，宜采用第一强度理论。在三向压缩应力状态下，若三个压应力接近，无论是塑性材料还是脆性材料，都将发生塑性屈服破坏，宜采用第三或第四强度理论。8.5 强度理论8.5.4 强度理论的应用平面应力状态下的强度条件对于梁等受力构件，危险点常处于如图所示的平面应力状态，由主应力公式可得单元体的主应力为221()2220223()22按第三强度理论建立的强度条件为 2234r按第四强度理论建立的强度条件为 2243r8.5 强度理论薄壁圆筒的强度条件12ypD24xpD30按第三强度理论建立的强度条件为 32rpD按第四强度理论建立的强度条件为 434

27、rpD8.5 强度理论【例8.5】工字形截面简支梁，如图(a)所示。已知翼缘板对形心轴z的静矩为Sz*=164cm3、惯性矩Iz=4586cm4，材料的许用正应力=150MPa。试按第三强度理论校核危险截面上k点的强度。8.5 强度理论【解】：【例8.5】工字形截面简支梁，如图(a)所示。已知翼缘板对形心轴z的静矩为Sz*=164cm3、惯性矩Iz=4586cm4，材料的许用正应力=150MPa。试按第三强度理论校核危险截面上k点的强度。确定危险截面作梁的剪力、弯矩图，如图(b)所示。C（或D）截面剪力、弯矩值最大，故危险截面位于 C（或D）截面。max48kN mM,max120KNSF分析

28、危险截面上 点的应力33max8448 10 N m 108 10 m113MPa4586 10 mkkzMy*363,max843120 10 N 164 10 m42.9MPa4586 10 m10 10 mszkzFSb k点的应力状态，如图(d)所示。k8.5 强度理论【解】：【例8.5】工字形截面简支梁，如图(a)所示。已知翼缘板对形心轴z的静矩为Sz*=164cm3、惯性矩Iz=4586cm4，材料的许用正应力=150MPa。试按第三强度理论校核危险截面上k点的强度。校核k点的强度由第三强度理论 222234(113MPa)4 (42.9MPa)142MPa150MParkk 所以

29、，该梁危险截面上 点的强度满足要求。p 本章小结 一点处的应力状态反映了构件内某一点在各个方位截面上应力的大小和方向的情况。一点处的应力状态可以用单元体三对相互垂直平面上的应力来表示。 应力状态可按主应力不为零的数目分为单向应力状态、二向应力状态 （平面应力状态）和三向应力状态（空间应力状态）。 单元体上切应力为零的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力。主 应力按代数值大小顺序排列为：12 3。在受力构件的任一点处，总 可以找到由三个相互垂直的主平面组成的主单元体。 平面应力状态下的重要公式有： 任意斜截面上的应力cos2sin222xyxyxaaasin2cos22xyxaaap 本章小结

30、 主应力 主平面方位角 平面应力状态下，可以用图解法（应力圆法）求解斜截面上的应力、主平面方位及主应力数值。应力圆周上的点与单元体上的面有对应关系。 梁的主拉应力迹线上各点的切线方向，为该点处主拉应力1的方向；主 压应力迹线上各点的切线方向，为该点处主压应力3的方向。主拉应力 迹线与主压应力迹线正交。 三向应力状态的最大切应力 ，最大切应力所在截面与2所 在主平面垂直，与1和3所在主平面各成45角。max22min()22xyxyx02tan2xxya13max2p 本章小结 广义胡克定律反映了一点处正应力与线应变、切应力与切应变之间的关系。其表达式为 强度理论是关于引起材料破坏原因的假说。常用的四个强度理论的表达式可统一为r，相当应力r分别为 强度理论的选用不仅取决于材料的性质，还与危险点所处的应力状态、温度以及加载情况等有关。1()1()1()xxyzyyxzzzxyEEE xyxyyzyzzxzxGGG11r2123()r 313r22241223311()()() 2r