专题04 立体几何（老师版） .docx

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1、专题04 立体几何一、单选题1. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】在三棱锥中，平面，Q是边上的一动点，且直线与平面所成角的最大值为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】三棱锥中，平面，直线与平面所成角为，如图所示；则，且的最大值是，的最小值是，即A到的距离为，在中可得，又，可得；取的外接圆圆心为，作，取H为的中点，使得，则易得，由，解得，由勾股定理得，所以三棱锥的外接球的表面积是.2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】把与直线垂直的向量称为直线的法向量.设是直线的一个方向向量，那么 就是直线的一个法向量.借助直线的法向量，

2、我们可以方便地计算点到直线的距离.已知P是直线外一点，是直线的一个法向量，在直线上任取一点Q，那么在法向量上的投影向量为(为向量与的夹角），其模就是点到直线的距离，即.据此，请解决下面的问题：已知点A(-4，0)，B(2，-1)，C(-1，3)，则点A到直线BC的距离是（ ）AB7CD8【答案】A【解析】由B(2，-1)，C(-1，3)，可得直线方程为，故直线的法向量为：，在直线上取一点，则，根据题目所给距离公式可得：距离.故选：A.3. 【江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为的球面上，球心在三棱锥

3、的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是ABCD【答案】C【解析】设正三棱锥底面中心为O，连接OP，延长CO交AB于D，则CDOCO是三棱锥PABC的外接球球心，OPOC1，CD，BCVPABC故选C4. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】三棱锥中，的面积为，则此三棱锥外接球的体积为（ ）ABCD【答案】D【解析】，又，则，取中点，连接，又由的面积为，可得的高，则可得，在中，由余弦定理，解得，则，可得，根据球的性质可得为三棱锥外接球的直径，则半径为2，故外接球的体积为.故选：D.5. 【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】

4、如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点，则异面直线EF与所成的角为（ ）ABCD【答案】C【解析】连结， 因为为正方形，所以既是中点，又是的中点，所以，所以与所成的角为，而为等边三角形，所以.故选：C6. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】在三棱锥中，面ABC，是边长为2的正三角形，且，则二面角的大小为（ ）ABCD无法确定【答案】B【解析】取的中点，连接、，如图，因为平面ABC，是边长为2的正三角形，所以，所以，所以即为二面角的平面角，又，所以，所以二面角的大小为.故选：B.7. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（

5、三）】直三棱柱中，侧棱，则点C到平面的距离为（ ）ABCD【答案】B【解析】如图所示：设点C到平面的距离为，点B到平面的距离为，由等体积法得则 所以过点B作交于，又因为平面，所以，则平面，所以为B到平面的距离为由 得 在中 所以 得 所以 故选：B8. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期中】正三棱锥中，则该棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】正三棱锥中，,所以,故,同理可得, ,以为棱构造正方体，则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，如图，所以，故球的表面积为,故选：C9. 【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】如图，在边长为2的正方形

6、中，点分别是边的中点，将沿翻折到，在翻折到的过程中，的最大值为（ ）ABCD【答案】B【解析】由题意，由翻折可得，则，可设与交于点，连结，则过点作于点，设，所以，则，即有，由辅助角公式可得，而，所以，即，则，解得， 故选：B10. 【江苏省南通市通州区、启东市2020-2021学年高三上学期期末】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图，正六边形时正六棱锥的

7、底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱，底面边长，底面内切圆半径，,则是等边三角形，侧面中，即.故选：A11. 【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】正三棱锥中，则该棱锥外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】正三棱锥中，,所以,故,同理可得, ,以为棱构造正方体，则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，如图，所以，故球的表面积为,故选：C12. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】棱长为6的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的体积为（ ）AB

8、CD【答案】A【解析】如图，是的外心，是正四面体的高，是外接球球心，在上，设半径为，,由得，解得，所以，所以故选：A二、多选题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】BC【解析】，时，可以相交、平行、或异面，A错；时，内必，而，则，从而，B正确；，则，又，C正确；，可以相交、平行、或异面，D错故选：BC2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】已知边长为2的等边，点、分别是边、上的点，满足且（），将沿直线折到的位置

9、，在翻折过程中，下列结论成立的是（ ）A在边上存在点，使得在翻折过程中，满足平面B存在，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面平面C若，当二面角等于60时，D在翻折过程中，四棱锥体积的最大值记为，的最大值为【答案】CD【解析】对于，连接，显然平面平面，若上存在点使得，则，显然与为相交直线，矛盾，故错误；对于，设中点，中点，由等边三角形性质可知，若平面平面，则在底面上的射影为，于是，与矛盾，故错误；对于，若，二面角等于，则，设在底面上的射影为，则，故正确；对于，显然在翻折过程中，当平面平面时，四棱锥的体积最大，故，令可得，当时，当时，当时，取得最大值，故正确故选：3. 【江苏省南通市2020-20

10、21学年高三上学期期中】如图，四棱锥中，平面底面，是等边三角形，底面是菱形，且，为棱的中点，为菱形的中心，下列结论正确的有（ ）A直线与平面平行B直线与直线垂直C线段与线段长度相等D与所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】如图，连接，易知，由线面平行的判定定理得面，正确.在菱形中，为等边三角形.设的中点为，连接，则，由线面垂直的判定定理得出平面，B正确.平面平面，由面面垂直的性质可得为直角三角形设，则，.在中，可得故异面直线与所成角的余弦值为在中，则不是直角，则不是等腰三角形，即与长度不等，故C错误，D正确故选：ABD4. 【江苏省南通市2021届高三下学期3月模拟】已知菱形ABCD中，BAD

11、=60，AC与BD相交于点O将ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）ABDCMB存在一个位置，使CDM为等边三角形CDM与BC不可能垂直D直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60【答案】ABD【解析】对A，菱形中，与相交于点将沿折起，使顶点至点，如图：取的中点，连接，可知，所以平面，可知，故A正确；对B，由题意可知，三棱锥是正四面体时，为等边三角形，故B正确；对C，三棱锥是正四面体时，与垂直，故C不正确；对D，平面与平面垂直时，直线与平面所成的角的最大值为，故D正确故选：ABD5. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图

12、所示，在长方体，若，、分别是、的中点，则下列结论中成立的是（ ）A与垂直B平面C与所成的角为D平面【答案】ABD【解析】连接、，则为的中点，对于A选项，平面，平面，、分别为、的中点，则，A选项正确；对于B选项，四边形为正方形，则，又，平面，平面，B选项正确；对于C选项，易知为等边三角形，则，则与所成的角为，C选项错误；对于D选项，平面，平面，平面，D选项正确.故选：ABD.6. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】在棱长为2的正四面体中，点，分别为棱，的中点，则（ ）A平面B过点，的截面的面积为C与的公垂线段的长为D与平面所成角的大小小于二面角的大小【答案】ACD【解析】

13、对A，点，为棱，的中点，平面，平面，平面，故A正确；对B，取AB中点H，则可得四边形EFGH为截面，由A选项可得，,同理可得，,则且，故四边形EFGH为平行四边形，取BD中点M，则可得，则平面AMC，则，故平行四边形EFGH为正方形，且边长为1，故截面面积为1，故B错误；对C，连接AE，ED，因为正四面体中，可得，同理可得，故EG即为与的公垂线段，由B选项可得，故C正确；对D，如图，易得，即为二面角的平面角，因为四面体的棱长为2，则，则，又，平面GBC，则即为与平面所成角，易得，故，故D正确.7. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】已知正方体的棱长为4，点，分别是棱，的

14、中点，点在四边形内，点在线段上，若，则（ ）A点的轨迹的长度为 B线段的轨迹与平面的交线为圆弧C长度的最小值为 D长度的最大值为【答案】AC【解析】如图，取AD中点O，则MO面ABCD，即MOOP，PM2，所以点P在以O为圆心，以2半径位于平面ABCD内的半圆上点P的轨迹的长度为，故A正确；线段MP的轨迹为以MO为轴的半个圆锥侧面，由圆锥曲线的定义可知，线段MP的轨迹与平面ADC1B1的交线为椭圆弧，故B错误；O到BN的距离减去2即为PQ长度的最小值，作OHBN于H，BON的面积为：，解得OH，PQ长度的最小值为，故C正确；PQ长度的最大值为DB，故D错误故选：AC8. 【江苏省南通市如东县2

15、020-2021学年高三上学期期末】如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）A三棱锥的体积为定值B过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为C直线与平面所成角的正弦值的范围为D当点P与重合时，三棱锥的外接球的体积为【答案】BCD【解析】对于A中，由，所以A不正确；对于B中，过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形平面，此时三角形为边长为的等边三角形，其面积为，所以B正确；对于C中，由正方体的结构特征和性质，可得点P到平面的距离为，当点P在线段上运动时，（P为端点时），设直线与平面所成角为，则，所以C正确；对于D中，当点P与重合时，此时三棱锥为

16、，设的中点为，因为，可得 所以三棱锥的外接球的球心为的中点，其半径为，所以三棱锥的外接球的体积为，所以D正确.故选BCD.9. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】设，是两个相交平面，则下列说法正确的是（ ）A若直线，则在平面内一定存在无数条直线与直线m垂直B若直线，则在平面内一定不存在与直线m平行的直线C若直线，则在平面内一定存在与直线m垂直的直线D若直线，则在平面内一定不存在与直线m平行的直线【答案】AC【解析】对于A,若直线,则直线m垂直于平面内的所有直线,则在平面内,一定存在无数条直线与直线m垂直.故A正确;对于B,若直线,如果，互相垂直,则在

17、平面内,存在与直线m平行的直线.故B错误;对于C,若直线,则在平面内,一定存在与直线m垂直的直线.故C正确;对于D,若直线,则在平面内,存在与直线m平行的直线.故D错误.故选:AC.10. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M是边CD的中点，将沿AM翻折到，连结PB，PC，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（ ）A四棱锥的体积的最大值为B当面平面时，二面角的正切值为C存在某一翻折位置，使得D棱PB的中点为N，则CN的长为定值【答案】ABD【解析】在翻折到的过程中，因为四棱锥的底面积为定值，定值为，所以当四棱锥的高取得最大值时，其体积

18、达到最大，当面平面时，四棱锥的高取得最大值,其最大值为直角三角形的斜边上的高，其值为，所以四棱锥的体积的最大值为，故A正确；当面平面时，过作，垂足为，则平面，所以，过作，垂足为，连，因为，所以平面，所以，所以为二面角的平面角，在直角三角形中，在直角三角形中，因为，所以，在直角三角形中，所以，所以，所以二面角的正切值为，故B正确；连接，如图：假设，因为，所以平面，所以，所以，又，二者相矛盾，故假设不成立，故与不垂直，故C不正确；取的中点，连，如图：因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以，在直角三角形中，所以，即CN的长为定值，故D正确.故选：ABD11. 【江苏省南通市如皋市2020-2021

19、学年高三上学期期中】在正方体中，若，分别为，的中点，则（ ）A直线平面B直线平面C平面平面D平面平面【答案】BD【解析】如图，取的中点G，连接，可证，得四边形为平行四边形，则，若直线平面，则/平面ACD或平面，与平面矛盾，故A错误；由正方体的结构特征可得平面，连接A1D，则，又平面 ，得，同理可证，又， 直线平面ACD1，故B正确;而B1D平面，平面平面ACD1，故D正确;连接，由，可得四边形 AA1C1C为平行四边形，则平面A1BC1，AC平面A1BC1，平面A1BC1，同理AD1平面A1BC1，又ACAD1=A，平面A1BC1/平面ACD1，若平面A1EF平面ACD1，则平面A1EF与平面

20、A1BC1重合，则EF 平面A1BC1，与EF平面A1BC1矛盾，故C错误故选：BD12. 【江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试】在四面体中，是边长为2的正三角形.，二面角的大小为，则下列说法正确的是（ ）AB四面体的体积的最大值为C棱的长的最小值为D四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为【答案】BCD【解析】由题意可知，对于选项A，若，可取的中点为点，由是正三角形，可得，平面，由平面，而平面，则，则是正三角形，已知中不一定是正三角形，所以选项A错误；对于选项B，点在以为弦的圆弧上，点对的张角为，到的距离最大值为（此时为正三角形），四面体的体积（为三棱锥的高），高

21、最大时，到边的距离最大（因为二面角固定不变），为正三角形，为二面角的平面角，大小为，此时，体积达到最大值，且，所以选项B正确；由选项B可知，同样由对称性当高最大时(或为正三角形时)，此时最小，所以选项C正确；对于选项D，和都是正三角形，是外心，可过点作平面，是外心，过作平面，与交于点，则为外接球球心，易知延长交于点为中点，（二面角的平面角），由上面所作线面垂直得，所以，所以，所以，则外接球的表面积为，所以选项D正确故选：BCD.13. 【江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期教学质量调研（二）】在正方体中，若，分别为，的中点，则（ ）A直线平面B直线平面C平面平面D平面平面【

22、答案】BD【解析】如图，取的中点G，连接，可证，得四边形为平行四边形，则，若直线平面，则/平面ACD或平面，与平面矛盾，故A错误；由正方体的结构特征可得平面，连接A1D，则，又平面 ，得，同理可证，又， 直线平面ACD1，故B正确;而B1D平面，平面平面ACD1，故D正确;连接，由，可得四边形 AA1C1C为平行四边形，则平面A1BC1，AC平面A1BC1，平面A1BC1，同理AD1平面A1BC1，又ACAD1=A，平面A1BC1/平面ACD1，若平面A1EF平面ACD1，则平面A1EF与平面A1BC1重合，则EF 平面A1BC1，与EF平面A1BC1矛盾，故C错误故选：BD14. 【江苏省如

23、东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学2020-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，正方体的棱长为1，E为的中点（ ）A直线与直线是异面直线B在直线上存在点F，使平面C直线与平面所成角是D点B到平面的距离是【答案】BCD【解析】如图，由是中点，则它也是的中点，连接，由知共面，显然在这个平面内，与共面，A错； 连接，与的交点为，则平面，连接，正方体中，分别是中点，则，由平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，则得平面，即平面，B正确； 由B的讨论，连接交于点，连接，则是直线与平面所成角，在直角三角形中，C正确；点B到平面的距离就是，D正确故选：BCD15. 【江苏省南通市学科基地2020-

24、2021学年高三上学期第一次联考】如图，在半圆柱中，AB为上底面直径，DC为下底面直径，AD，BC为母线，ABAD2，点F在上，点G在上，BFDG1，P为DC的中点.则（ ）ABFPGB异面直线AF与CG所成角为60C三棱锥PACG的体积为D直线AP与平面ADG所成角的正弦值为【答案】ABD【解析】取AB中点O，连接 FO，FBFOOB1，FBO60，设G在上底面的投影为E，连接BE、 AE、 EO、则EOGPAO=1，AOE60，所以BFEOGP，故A选项正确；由A选项知CGBE，直线AF、CG所成角等于BE与AF夹角，等于60，故B选项正确；，故C选项错误；取DG中点H，连接HP、 AH则

25、易知sinPAH即为所求，故D选项正确.综上，选ABD.故选: ABD16. 【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】下列命题中正确的是（ ）A是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面B已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底C若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线D若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为【答案】ABD【解析】对于A，是空间中的四点，若不能构成空间基底，则共面，则共面，故A对；对于B，已知为空间的一个基底，则不共面，若，则也不共面，则也是空间的基底，故B对；对于C，因为，则，若，则，但选项中没有条件，有可能会出现，故

26、C错；对于D，则则直线与平面所成角的正弦值为，故D对；故选：ABD三、填空题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】已知在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上下底面及母线均相切.过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球O的交线长为_.【答案】【解析】设球的半径为r，则，而， .作于H,底面, ABP为圆柱底面圆弧的中点，AP=BP又为AB中点，AB又, ，又且, ， 平面与球O的交线为一个圆，其半径圆周长为.故答案为：2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】如图所示，在边长为的菱形中，

27、现将沿对角线折起，得到三棱锥.则当二面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】【解析】易知，为边长为的等边三角形.取的外心为，设为球心，连接，则平面，取的中点，连接，过作于点.易知为二面角的平面角，即，于是得.连接，设.连接，则，三点共线，易知，所以，所以.在中，即，所以.故答案为：.3. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期1月调研】在三棱锥中，与均为边长为1的等边三角形，四点在球的球面上，当三棱锥的体积最大时，则球的表面积为_【答案】【解析】当三棱锥的体积最大时，则平面平面，设与外接圆的圆心分别为，取中点，连接，则为靠近的三等分点，为靠近的三等分点，过点，分

28、别作平面和平面的垂线，交于一点，则该点即为三棱锥外接球的球心.连接，则为外接球的半径，设，则在中，由题知，,所以，所以球的表面积为.故答案为： 4. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期12月测试】九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体为鳖臑，平面ABC，且，则二面角的正弦值为_.【答案】【解析】依据题意建立如图所示的空间直角坐标系：，设平面APC的法向量为，不妨设，则，设平面PBC的法向量为，不妨设，则，设为，则，.故答案为：5. 【江苏省南通市海安高级中学2020-2021学年高三上学期

29、期中】已知三棱锥中，两两垂直，且，以为球心，为半径的球面与该三棱锥表面的交线的长度之和为_.【答案】【解析】如图所示，设的中点分别为,在平面内的射影为，由已知可得为底面正三角形的中心.，两两垂直，且，,=以为球心，为半径的球面与该三棱锥表面的交线是各侧面内以为圆心，以为半径的3个四分之一圆弧和底面正三角形的内切圆，交线的长度之和为,故答案为：.6. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期阶段质量检测（一）】如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_【答案】【解析】由题意，

30、某中螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥P-ABC构成的几何体，该正三棱锥P-ABC的底面三角形ABC内接于半球底面的大圆，顶点P在半球面上，设BC的中点为D，连结AD，过点P作PO平面ABC，交AD于点O，则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=，所以，所以挖去的正三棱锥的体积为.7. 【江苏省南通市海安市2020-2021学年高三上学期期末】已知某空心圆锥的母线长为，高为，记该圆锥内半径最大的球为球，则球与圆锥侧面的交线的长为_.【答案】【解析】圆锥的轴截图如图所示，由题可知，圆锥的高，母线，设的内切圆与圆锥的母线相切与点E，则，则该圆锥内半径最大的球即以为圆心，OE为半径

31、的球，在直角三角形ABF中，由圆的切线性质可得，所以，在直角三角形AFB和直角三角形AEO中，因为，所以，所以，则可得，过点E作，D为垂足，则球O与圆锥的侧面的交线是以DE为半径的圆，因为，所以，所以球O与圆锥的侧面的交线长为.故答案为：.8. 【江苏省南通市海安市实验中学2020-2021学年高三上学期第三次学情检测】某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个实心工艺品（如图所示）该工艺品可以看成一是个球体被一个棱长为的正方体的个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径为_；现给出定义：球面被平面所截得的一部分叫做球冠截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的

32、直径被截得的一段叫做球冠的高如果球面的半径是，球冠的高是，那么球冠的表面积计算公式是 . 由此可知，该实心工艺品的表面积是_.【答案】 【解析】设截面圆半径为，球的半径为，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即此距离为，根据截面圆的周长可得，得，故，得，所以球的表面积如图，且，则球冠的高，得所截的一个球冠表面积，且截面圆面积为，所以工艺品的表面积故答案为：；.9. 【江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中】在我国古代数学名著九章算术中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，则这个“堑堵”的外接球的表面积为_.【答案】【解析】因为，所以，所

33、以，所以可将三棱柱补成一个长方体，如图：则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径，所以，所以.所以外接球的表面积为.故答案为：10. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期10月第一次教学质量调研】在梯形中，将沿对角线AC翻折到，连结MD当三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】在梯形，为等腰直角三角形，在中，,由余弦定理，即，则，所以为等腰直角三角形，.将沿对角线AC翻折到，当平面平面时，三棱锥的体积最大时，取的中点，的中点，连结，则，因为平面，所以平面，因为，所以，又平面，所以平面，过作，则平面，因为的外接圆圆心为，平面，所以三棱锥的外接球球

34、心在直线上，因为的外接圆圆心为，平面，所以三棱锥的外接球球心在直线上，因为，所以外接球球心为，则外接球的半径为，外接球的表面积为.故答案为：.11. 【江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期教学质量调研（三）】如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，三角形为正三角形，且平面平面，则四棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】如下图所示：圆柱的底面圆的直径为，母线长为，则的中点到该圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球的球心，设球的半径为，则.如下图所示： 四边形为正方形，则，平面平面，平面平面，平面，所以，平面，将四棱锥补成直三棱柱，作出的外接圆圆，作出的外接圆圆，则直三棱柱

35、的外接球与圆柱的外接球为同一个球，设该球的半径为，正的外接圆直径为，所以，.因此，四棱锥外接球的表面积为.故答案为：.12. 【江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高三上学期第五次阶段性测试】我国古代九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童有外接球，且，平面与平面的距离为1则，该刍童外接球的体积为_.【答案】【解析】设为刍童外接球的球心，分别为矩形，的中心，由球的几何性质可知：，三点共线，连接，如图所示：由题知：平面，平面，所以.因为，设，在中，因为，在中，设外接球的半径为，则，所以，解得.所以，.故答案为：13. 【江苏省如东高级中学、丹阳高级中学、如皋中学20

36、20-2021学年高三上学期12月三校联考】如图，三棱锥中，.点Q在棱上且，则直线与平面所成的角是_.【答案】【解析】由可得,由，可得,故如图，将底面补成矩形ACBD，连PD，因为,所以,又,所以平面，可得,同理可得平面,又所以PD底面ACBD ,作QE PD交BD于点E，连CE，则么QCE就是直线CQ与平面ABC所成的角，因为，所以,求得QE= , ，所以，故，即直线CQ与平面ABC所成的角是.故答案为：14. 【江苏省南通市学科基地2020-2021学年高三上学期第一次联考】某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小

37、三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(1)m，则水晶球的表面积为_m2.【答案】4【解析】如图，原边长为2正方形的四个顶点为，四个边的中点分别是，且四边形是边长为的正方形，折起后正方形四个点在底面上的射影分别为，是正方形的中点，且是边长为1的正方形，其对角线长为，所以，即则四个小三角形的项点所在平面截球面得小圆的半径为，由勾股定理求得球心到小圆圆心的距离为，小圆面到底座的距离为，设球的半径为R，由条件得R1，解得R1，所以水晶球的表面积4m2.故答案为：4.15. 【江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期第三次调研考试】正方体的棱长为1，分别为，

38、的中点则平面截正方体所得的截面面积为_；以点为球心，以为半径的球面与对角面的交线长为_【答案】 【解析】如图，连接，则，等腰梯形为平面截正方体所得截面图形，由正方体棱长为1，得，则到的距离为，平面平面，且平面平面，过作于，则平面，为中点，以点为球心，以为半径的球面与对角面的交线为圆弧，其半径为，由，得，所求交线为劣弧，长度为故答案为：；四、解答题1. 【江苏省南通，徐州，淮安，泰州，宿迁，镇江，连云港等七市2021届高三下学期2月第一次调研】如图，在正六边形中，将沿直线翻折至，使得平面平面，O，H分别为和的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析

39、；（2）.【解析】（1）如图，取的中点G，连结.又因为H是的中点，所以，.又因为正六边形中，所以同，.又O为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.（2）由条件可知.分别以为x轴正方向为y轴正方向为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.设正六边形的边长为2，则，所以，.设平面的法向量为，由得取，可得.设平面的法向量为，由得取，可得.设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.2. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期12月月考模拟】如图，在四棱锥中，底面，.（1）求证：；（2）若，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.【

40、答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：取的中点，连接，因为，所以，又因为，所以四边形是平行四边形.因为所以四边形是矩形.所以.又所以.所以是直角三角形，即.又底面，底面，所以.又平面，平面，且.所以平面.又平面，所以.（2）如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，由（1）知，.，所以.所以所以.设平面的法向量为，则所以，即，取，则，所以平面的一个法向量为.又平面的一个法向量为所以所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为.3. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期末模拟】如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB，点E满足.（1）证明：；

41、（2）求二面角A-PD-E的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】（1）证明：在中，由勾股定理，得.因为，所以.所以，所以.因为平面PAB，平面PAB，所以.又因为，所以平面ABCD.又因为平面ABCD，所以.（2）由得.所以点E是靠近点A的线段AB的三等分点.所以.分别以所在方向为y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则.设平面PDE的法向量为，由，得.令，则；设平面APD的法向量为，由，得，令，则.设向量与的夹角为，则.所以二面角的余弦值为.4. 【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中】已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PDPB，H为PC上的点，

42、过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD平面AMHN.（1）证明：MNPC；（2）当H为PC的中点，PAPCAB，PA与平面ABCD所成的角为60，求AD与平面AMHN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接AC、BD且ACBDO，连接PO.因为ABCD为菱形，所以BDAC，因为PDPB，所以POBD，因为ACPOO且AC、PO平面PAC，所以BD平面PAC，因为PC平面PAC，所以BDPC，因为BD平面AMHN，且平面AMHN平面PBDMN，所以BDMN，MN平面PAC，所以MNPC.（2）由（1）知BDAC且POBD，因为PAPC，且O为AC的中点，所以POAC，所以PO平面ABCD，所以PA与平面ABCD所成的角为PAO，所以PAO60，所以，因为，所以以，分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设PA2，所以O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，0)，C(1，0，0)，D(0，0)，P(0，0，)，所以，设平面AMHN的法向量为n(x，y，z)，所