陕西省西安中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理）试题（含解析）.docx

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1、西安中学2022-2023学年度第二学期期末考试高二数学（理科）（时间：120分钟满分100分）一、选择题：（本题共12小题，每小题3.5分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 2. 已知，则大小关系正确的为（）A. B. C. D. 3. 甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制如图所示）甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；甲同学的平均分比乙同学高；甲同学成绩的极差是18；甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差上面说法正确的是（）A. B. C. D. 4. 若，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 5. 某

2、高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的1000名学生编号：1到1000，再用系统抽样的方法随机抽取50位同学了解他们的学习状况，若编号为213的同学被抽到，则下列几个编号中，可能被抽到的是（）A. 83B. 343C. 253D. 7636. 在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为（）A. B. C. D. 7. 若关于x的不等式在上无解，则（）A. B. C. D. 8. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值是（）A. 2B. C. 3D. 49. 2020年全球经济都受到了新冠疫情影响，但我国在中国共产党的正确领导下防控及时措施得当，很多企业的生产所受影响

3、甚微.我国某电子公司于2020年6月底推出了一款领先于世界的5G电子产品，现调查得到该5G产品上市时间x和市场占有率y(单位：%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2020年8月，2代表2020年9月，5代表2020年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该产品市场占有率的变化趋势，则该产品市场占有率最早何时能超过0.5%(精确到月)（）A. 2021年5月B. 2021年6月C. 2021年7月D. 2021年8月10. 关于的不等式的解集为，且，则实数（）AB. C. 或D. 或11. 已知实数满足则的最小值是（）AB. C. D. 12. 在一

4、组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A. B. C. D. 二、填空题：（本题共4小题，每题3.5分，共14分）13. 若不等式的解集为，则实数的值为_14. 已知x，y满足约束条件，则最大值为_15. 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，则曲线上的点到曲线：为参数上的点的最短距离为_.16. 已知，则的最小值为_.三、解答题：（本题共5小题，17题8分，18，19，20，21每题9分，共44分）17. 已知函数，（1）在直角坐标系中画出和的图象；（2）若恒成立，求的取

5、值范围18. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（+）1（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值19. 新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图规定：成绩在80分及以上的同学成

6、为“防疫标兵”30名女生成绩频数分布表：成绩频数101064（1）根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；男生女生合计防疫标兵非防疫标兵合计（2）设男生和女生样本平均数分别为和，样本的中位数分别为和，求（精确到0.01）附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82820. 在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为2sin.（1）探究直线l与曲线C2的位置关系，并说明理

7、由；（2）若曲线C3极坐标方程为，且曲线C3与曲线C1、C2分别交于M、N两点，求|OM|2|ON|2的取值范围.21. 已知函数（1）当时，求的最小值；（2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：西安中学2022-2023学年度第二学期期末考试高二数学（理科）（时间：120分钟满分100分）一、选择题：（本题共12小题，每小题3.5分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意解一元二次不等式、分式方程并结合交集的概念即可得解.【详解】由题意，或，所以.故选：D.2. 已知，则的大小关系正确的为

8、（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解.详解】解：，指数函数在上单调递减，即，又幂函数在上单调递增，即，故选：B.3. 甲乙两名学生，六次数学测验成绩（百分制如图所示）甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；甲同学的平均分比乙同学高；甲同学成绩的极差是18；甲同学成绩方差小于乙同学成绩的方差上面说法正确的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由茎叶图数据，求出甲同学的极差，甲、乙同学成绩的中位数，平均数，估计方差，从而解决问题【详解】解：根据茎叶图数据知，甲同学成绩的中位数是81，乙同学成绩的中位数是87.5，甲的中位数小

9、于乙的中位数；甲同学的平均分是，乙同学的平均分是，乙的平均分高；甲同学的极差为；甲同学成绩数据比较集中，方差小，乙同学成绩数据比较分散，方差大正确的说法是故选：A4. 若，且，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用特殊值判断A，根据不等式的性质判断B、D，利用作差法判断C.【详解】对于A：当时，故A错误；对于B：因为，所以，故B错误；对于C：因为，则，所以，所以，故C错误；对于D：因为，所以，所以，故D正确；故选：D5. 某高中为了解高三学生对“社会主义核心价值观”的学习情况，把高三年级的1000名学生编号：1到1000，再用系统抽样的方法随机抽取50位同

10、学了解他们的学习状况，若编号为213的同学被抽到，则下列几个编号中，可能被抽到的是（）A. 83B. 343C. 253D. 763【答案】C【解析】【分析】先计算间隔为20，再由题意得到第一组抽取的编号，进而得到每一组抽到编号的通项公式，依次检验选项是否符合通项即得结果.【详解】根据系统抽样特征，1000名学生中抽取50位同学，间隔为为20，故若编号为213的同学被抽到，则第一组抽取编号为13的同学，即第i组抽取同学的编号为，.选项A中，令，则无满足题意的解，选项B中，令，则无满足题意的解，选项C中，令，解为，有满足题意的解，选项D中，令，则无满足题意的解.故选：C.6. 在极坐标系中，过点

11、且与极轴垂直的直线方程为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出点的直角坐标，根据题意得到所求直线方程的直角坐标方程，再化为极坐标方程，即可得出结果.【详解】因为点的直角坐标为，即，所以过点，且与极轴垂直的直线方程为：，因此其极坐标方程为：.故选：B.【点睛】本题主要考查求满足题意的直线的极坐标方程，属于基础题型.7. 若关于x的不等式在上无解，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】关于x的不等式在上无解，则，再根据绝对值三角不等式求出即可.【详解】关于x的不等式在上无解，则，而，当时，等号成立，所以，所以.故选：D.8. 已知实数x，y满足约束条件，则的

12、最大值是（）A. 2B. C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】作出可行域，根据的几何意义，即可求得答案.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示（阴影部分），解方程组 ，得，故，解，可得，故，表示的是可行域内的点与原点连线的斜率，,根据的几何意义可知的最大值为2，的最大值为.故选：C.9. 2020年全球经济都受到了新冠疫情影响，但我国在中国共产党的正确领导下防控及时措施得当，很多企业的生产所受影响甚微.我国某电子公司于2020年6月底推出了一款领先于世界的5G电子产品，现调查得到该5G产品上市时间x和市场占有率y(单位：%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中，横轴1代表2020年

13、8月，2代表2020年9月，5代表2020年12月，根据数据得出y关于x的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该产品市场占有率的变化趋势，则该产品市场占有率最早何时能超过0.5%(精确到月)（）A. 2021年5月B. 2021年6月C. 2021年7月D. 2021年8月【答案】D【解析】【分析】先算平均值，确定线性回归方程，再利用回归方程可得解.【详解】根据表中数据，计算，代入回归方程得，解得.所以线性回归方程为：，由解得，预计上市13月时，即最早在2021年8月，市场占有率能超过.故选:D10. 关于的不等式的解集为，且，则实数（）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】由

14、已知得出与为方程的两个根，根据韦达定理得出，即可由，化简代入，即可解出的值，再根据不等式的运算验证即可得出答案.【详解】不等式的解集为，与为方程两个根，则，即，解得，当时，即，则，满足条件，当时，即，则，不满足条件，综上，故选：B.11. 已知实数满足则的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件把转化为圆的标准方程，可得到圆心坐标及半径，而可转化为即可看到圆上的点到直线距离的最小值.【详解】，即圆心，半径，可看到圆上的点到直线距离，圆上的点到直线距离的最小值为圆心到直线距离减去半径即，圆上的点到直线距离的最小值为，的最小值为故选：A【点睛】本题考查了圆上的点到

15、定直线的距离的最小值，考查了学生的计算能力，属于一般题.12. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A选项，该组数据的平均数为，方差为；对于B选项，该组数据的平均数为，方差为；对于C选项，该组数据的平均数为，方差为；对于D选项，该组数据平均数为，方差为.因此，B选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：（本题共4小题

16、，每题3.5分，共14分）13. 若不等式的解集为，则实数的值为_【答案】【解析】【详解】因为不等式的解集（舍），,，故答案为.14. 已知x，y满足约束条件，则最大值为_【答案】24【解析】【分析】根据题意作出可行域，结合目标函数的几何意义求最大值.【详解】画出可行域如图阴影部分（含边界）所示，表示斜率为，纵截距为的直线，平移直线，当表示的直线经过点A时，z取得最大值，联立方程组，解得，即，所以故答案为：24.15. 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，则曲线上的点到曲线：为参数上的点的最短距离为_.【答案】#【解析】【分析】把曲

17、线和曲线的方程化为直角坐标方程，求圆心到直线的距离，可得圆上点到直线的最短距离为【详解】曲线化为，配方为，则圆心为，圆的半径为，曲线：为参数，消去化为，圆心到直线的距离圆上的点到直线的最短距离为，故答案为：16. 已知，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式中“”的代换即可求解.【详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：三、解答题：（本题共5小题，17题8分，18，19，20，21每题9分，共44分）17. 已知函数，（1）在直角坐标系中画出和的图象；（2）若恒成立，求的取值范围【答案】（1）作图见解析（2）【解析】【分析】（1）将表示为分段函

18、数的形式，进而画出图象.（2）通过平移的图象来求得的取值范围.【小问1详解】函数，画出和的图象如图；【小问2详解】，说明把函数的图象向上或向下平移单位以后，的图象在的上方，由图象观察可得：，所以的取值范围为18. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos（+）1（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；（2）已知点M（2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值【答案】（1）l：，C方程为；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）

19、利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果【详解】(1)曲线C的参数方程为（m为参数），两式相加得到，进一步转换为直线l的极坐标方程为cos（+）1，则转换为直角坐标方程为（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），所以，所以【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19. 新型冠状病毒疫情已经严重影响了我们正常的学习、工作和生活某市为了遏制病毒的传播，利用各种宣传工具向市民宣传防治病毒传播的科学知识某校为了解学生对新型冠状病毒的防护认识，

20、对该校学生开展防疫知识有奖竞赛活动，并从女生和男生中各随机抽取30人，统计答题成绩分别制成如下频数分布表和频率分布直方图规定：成绩在80分及以上的同学成为“防疫标兵”30名女生成绩频数分布表：成绩频数101064（1）根据以上数据，完成以下列联表，并判断是否有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关；男生女生合计防疫标兵非防疫标兵合计（2）设男生和女生样本平均数分别为和，样本的中位数分别为和，求（精确到0.01）附：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有95%的把握认为“防疫标兵”与

21、性别有关；（2），.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图及频数分布表完善列联表，再计算的观测值并与临界值表比对作答.（2）利用频率分布直方图、频数分布表求出平均数、中位数作答.【小问1详解】由频率分布直方图，可得30名男生中成绩大于等于80分的频率为，因此30名男生中“防疫标兵”人数为人，“非防疫标兵”人数为12人，由频数分布表，可得30名女生中“防疫标兵”人数为10人，“非防疫标兵”人数为20人，于是列联表为：男生女生合计防疫标兵181028非防疫标兵122032合计303060则的观测值为，所以有95%的把握认为“防疫标兵”与性别有关【小问2详解】由频率分布直方图知，由频数分布表知，由

22、频率分布直方图知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此，则由，解得，由频数分布表知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，因此，则由，解得，所以，.20. 在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为2sin.（1）探究直线l与曲线C2的位置关系，并说明理由；（2）若曲线C3的极坐标方程为，且曲线C3与曲线C1、C2分别交于M、N两点，求|OM|2|ON|2的取值范围.【答案】（1）相离，理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）将直线和曲线都化成直角坐标方程后，用圆心到直线的距离与半径比较大小可得

23、；（2）用曲线和的极坐标方程联立，用极径的几何意义可求解【详解】(1)由题意得22sin，令ysin，x2+y22，得曲线C2的直角坐标方程为x2+y22y0，即x2+(y1)21，由直线l：cos()2得cossin4，所以直线l的直角坐标方程为xy40，因为圆心(0，1)到直线l的距离为1，所以直线l与曲线C2相离.(2)由题意得曲线C1的普通方程为21，故其极坐标方程为2sin21，则|OM|2，|ON|24sin2，即|OM|2|OB|2，因为0，所以0sin1，所以|OM|2|ON|2(0，4)，即|OM|2|ON|2的取值范围是(0，4)【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题21. 已知函数（1）当时，求的最小值；（2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分段求解的最小值和范围，即可求得结果；（2）转化为，结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明.小问1详解】当时，当，；当，；当，；当时，的最小值为2【小问2详解】，当时，可化为，令，当且仅当时取得等号；又当时，故.