辽宁省（点石联考）2023-2024学年高二下学期6月份阶段考试数学试卷含答案.pdf

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1、绝密启用前（点石联考）辽宁省（点石联考）辽宁省（点石联考）20232024 学年度下学期高二年级学年度下学期高二年级 6 月阶段考试月阶段考试数学数学本卷满分本卷满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟注意事项注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动

2、，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第第卷（选择题，共卷（选择题，共 58 分）分）一一、单选题单选题（本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题所给的四个选项中在每小题所给的四个选项中，有且只有且只有一项是符合题目要求的）有一项是符合题目要求的）1已知集合22,340Ax yxBxxxN，则AB（）A1,0,1,2B2,3,4C0,1,2D1,22已知函数 f x的定义域为2,2，则函数 1f xF xx的定义域为（）A

3、1,3B3,1C1,00,3）（D3,00,1）（3奇函数 f x对任意xR都有120f xfx，且 41f，则2024f（）A1B0C1D24已知命题“21,3,10 xxmx 成立”是假命题，则实数m的取值范围是（）A,0B8,3C0,D8,35在等比数列 na中，26,a a是函数 2110ln2fxxxm x的两个极值点，若3544a aa，则m的值为（）A8B9C16D246已知函数 2522,0,31log 2,322,0,xx xf xafbfcfxx x，则（）AcbaBacbCcabDbac7已知数列 na满足*1cos 2,nnanan nN，若nS为数列 na的前n项和，

4、则48S（）A408B672C840D12008已知函数 f x的定义域为 0,fx为其导函数，若对0,x，()ln0 xfxf xxf x，则不等式 0f x 的解集是（）A0,1B1,C0,D二二、多选题多选题（本大题共本大题共 3 小题小题，每小题每小题 6 分分，共共 18 分分在每小题所给的四个选项中在每小题所给的四个选项中，有多项有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）分）9已知等差数列 na的前n项和为nS，公差为d，且323031SSS，则下列说法正确的是（）A310aB0d C当

5、31n 时，nS取得最小值D使0nS 成立的n的最大值为 6210下列命题是真命题的是（）A若lnlnab，则11abB若0ab，则bcbacaC若22ab，则244abD若正实数,a b满足111ab，则1411ab的最小值为 411已知函数 f x的定义域为1,2fxR是偶函数，2xf x 是奇函数，则（）A 5112ffB 5102ffC 2101443nnnkf kD不等式525522xxff的解集为 2,2log 6,第第卷（非选择题，共卷（非选择题，共 92 分）分）三三、填空题（本大题共填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分）分）12已知函数

6、,6cos 2f xxfx是 f x的导函数，则6f_13已知函数 225f xxx在,m n上的值域为4,4mn，则mn的值为_14 若正整数集*N的非空子集T满足：至少含有 2 个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于 1，则称T为数集*N的超子集 对于集合*1,2,3,3nAnnnN，记nA的超子集的个数为na，则5a _，na与12,5nnaan的关系为_四四、解答题解答题（本大题共本大题共 5 小题小题，共共 77 分分解答时应写出必要的文字说明解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步证明过程或演算步骤）骤）15（13 分）已知函数 32f xxaxb在2x 处取得极小值 0（1）

7、求,a b的值，并说明 f x的单调性；（2）若 f x的一条切线l恰好经过点2,0，求切线l的方程16（15 分）已知等差数列 na的前 9 项和981S，且136aa若数列 nb满足12bb*321nnbbnN（1）求数列 ,nnab的通项公式；（2）若数列 nc满足nnncab，求数列 nc的前n项和nT17（15 分）2023 年 12 月 28 日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为 300 万元，每生产x万件产品，每件产品需可变成本 p x万元，当产量不足 50 万件时，21160

8、120p xx；当产量不小于 50万件时，264001460201p xxx每件产品的售价为 200 元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完（1）求利润函数的解析式；（2）求利润函数的最大值18（17 分）已知函数 1,lnf xxg xa xx，其中aR（1）直接写出 f x的单调区间；（2）若当1,x时，f xg x恒成立，求a的取值范围；（3）证明：*11ln11nkknk kN19（17 分）意大利画家列奥纳多达芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式 coshxxaa，其中a为悬链

9、线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式eecosh2xxx，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为eesinh2xxx（1）证明：22coshsinh1xx；22cosh2coshsinhxxx（2）求不等式：sinh 21sinh20 xx的解集（3）已知函数 sinh24 sinh42f xxbxbx存在三个零点，求实数b的取值范围20232024 学年度下学期高二年级学年度下学期高二年级 6 月阶段考试月阶段考试数学数学 参考答案及评分标准参考答案及评分标准1C【解析】因为集合22Ax yxx x，2340140,1,2,3,4Bxxxxx NN，所以0,1,2AB 故选：C2D【

10、解析】由题意可知，要使 F x有意义，则212,0,xx 解得31,0,xx 所以函数 F x的定义域为3,00,1）（故选：D3A【解析】因为 f x对任意xR都有120f xfx，又 0fxf x，所以 12f xfxf x，所以函数 f x的周期为 12，所以2024169 124ff 441ff 故选：A4A【解析】由命题“21,3,10 xxmx 成立”是假命题，则命题“1,3x，210 xmx 成立”是真命题，即11,3,xmxx 恒成立 令 1f xxx，则 minmf x，且函数 f x在1,3上为增函数，当1x 时，min0f x，所以0m故选：A5C【解析】因为 na为等比

11、数列，35440a aa，所以235444a aaa，解得44a 或40a（不合题意，舍去），所以226416aaa又 100mfxxxx令 0fx，即2100 xxm由题意得，26,a a是方程2100 xxm的两个相异正根，则2616,1004 160aam ，符合题意故选：C6B【解析】函数 f x的定义域为R当0 x 时，0 x，所以22fxxx 22xxf x同理，当0 x 时，fxf x成立，所以函数 f x为偶函数，且 f x在0,上单调递减，在,0上单调递增又55311log 2log 2,322affbfcff，且551log 2log52，311323，即511log 22

12、3，于是513log 223fff，即acb故选：B7D【解析】由*1cos 2,nnanan nN，所以213243542,4,6,8,aaaaaaaa当*2,nk kN时，212212cos 2 4kkkkakaaak，当*21,nkkN时，22212221cos 21 42kkkkakaaak，两式相加，得*22282,kkaakkN，所以 2464824684648aaaaaaaaaa1 231281 35232 1282411762 当22,nkkN时，23222322cos 22 44kkkkakaaak由222142kkaak，两式相减，得23212,kkaakN，所以 1354

13、7135745472 1224aaaaaaaaaa，所以123481176241200aaaa故选：D8C【解析】令 lnf xg xxx，则 22ln1ln0 xfxf xxf xxfxf xf xgxxxxxx，所以 g x在0,上单调递减因为当1x 时，11ln101fg，所以当1x 时，0g x；当01x时，0g x 由于当1x 时，ln0 xg xfxx且ln0 xx，所以 0f x；当01x时，ln0 xg xf xx且ln0 xx，所以 0f x；当1x 时，因为 ln0 xfxfxxfx，令1x，得 10f，所以在0,上 0f x 恒成立故选：C9AC【解析】由题意可知3130

14、310SSa，故 A 不正确；又3231320SSa，所以32310daa，故B不正确；即131320aaa，所以当31n 时，nS取得最小值，故C正确；因为16116261316231326162610,31022aaaaSaSaa，所以使0nS 成立的n的最大值为 61，故 D 不正确故选：AC10ACD【解析】对于A，由lnlnab，得0ab，所以110ab，故A正确；对于B，要证bcbaca成立，只需证abacabbc，即证acbc因为0ab，当0c 时，显然acbc，故 B 不正确；对于C，因为22ab，所以22242 242 222 24abababab，当且仅当24ab，即11,

15、2ab时，等号成立，故C正确；对于D，由111ab，可得1bab，所以1441111babb 由,a b为正实数且111ab，可得1,1ab，所以144412141111bbabbb，当且仅当411bb，即33,2ba时等号成立，故 D 正确故选：ACD11ACD【解析】因为12fx是偶函数，关于0 x 对称，所以 f x关于12x 对称又函数 2xf x 为奇函数，所以 220 xxf xfx，即 22xxf xfx令1x，则 11511222ff，故 A 正确；令0 x，则 0000222ff，所以 01f因为 f x关于12x 对称，所以 101ff，所以 102ff，故 B 不正确；因

16、为 f x关于12x 对称，即1fxf x由 22xxf xfx，可得 122xxf xf x，所以 200123456212nkf kffffffffnfn246224621111122222222nn 1114 14441141111411434314nnnn 11114411444334333nnnn，故C正确；因为 22xxf xfx，令 1,2xg xf xfxyttt 当0 x 时，121,xtytt 在1,单调递增，且2xt 单调递增由复合函数的单调性易知 22xxg x在0,上单调递增，且 g x为偶函数，则 g x在,0单调递减，且 51112gff，所以不等式525522x

17、xff等价于 251xgg，则251x，即251x 或251x，解得2x 或2log 6x，故该不等式的解集为 2,2log 6,，故D正确故选：ACD12-2【解析】函数 26cosf xx可视为函数6cos,2yt tx的复合函数因为函数cosyt关于变量t的导函数为sinyt ，函数62tx关于变量x的导函数为2t，所以 2sin26fxx，所以2sin 22666f 136【解析】由 225f xxx的对称轴为1x，则 min144f xfm，解得1m，则 f x在,m n上单调递增，所以 4,4,f mmf nn即22254,254,mmmnnn所以,m n为方程2254xxx的两个

18、根，即,m n为方程2650 xx的两个根，所以6mn1471225nnnaaann【解析】由题意知，31,2,3A，则超子集只有1,3，所以31a；41,2,3,4A，则超子集有 1,3,1,4,2,4，所以4323aa；51,2,3,4,5A，则超子集有 1,3,1,4,2,4,1,5,2,5,3,5,1,3,5，所以54337,aaa由此可以分析，对于*1,2,3,3,nnAnnnAN的超子集可以分为两类：第一类是超子集中不含n，这类超子集有1na个；第二类是超子集中含n，这类超子集同样也包含两类，一类在*1,2,3,2,3nnnN中取一个元素，个数为2n；另一类在*1,2,3,2,5n

19、nnN中取两个或两个以上个元素，任意两个元素之差的绝对值大于 1，个数为2na，所以1225nnnaaann15（13 分）解：（1）由题可得 232fxxax因为函数 32f xxaxb在2x 处取得极小值 0，所以 20,20,ff即1240,840,aab解得3,4,ab所以 23632fxxxx x当0 x 或2x 时，0fx；当02x时，0fx，所以 f x在,0,2,上单调递增，在0,2上单调递减（2）由（1）知 32234,36f xxxfxxx设切点为32000,34xxx，则200036fxxx，切线方程为322000003436yxxxxxx因为切线经过点2,0，故3220

20、000034362xxxxx，所以 2200000022232xxxxxx，整理得 2200002132xxxx，解得02x，或012x 当02x 时，20f；当012x 时，1924f，即过点2,0的切线方程为0y 或9942yx 16（15 分）解：（1）设等差数列 na的公差为0d d 由981S，得19 89812da，化简得149ad又136aa，即1126aad，解得11,2ad，所以等差数列 na的通项公式为1 2121nann 因为12321nnbbbb，所以当2n时，1123121nnbbbb，得，122nnbn当1n 时，11b，满足上式，所以数列 nb的通项公式为12nn

21、b故121,2nnnanb（2）由于121 2nnnncabn，则2211231 1 3 25 223221 2nnnnTccccnn ，又23121 23 25 223221 2nnnTnn ，两式相减，得211 1 2 22 22 221 2nnnTn 12 1 21221 21 2nnn 114 12212nnn 3322,nn 故3232nnTn 17（15 分）解：（1）由题意得，销售收入为200 x万元当产量不足 50 万件时，利润 3120030040300120fxxx p xxx；当产量不小于 50 万件时，利润 64002003001160f xxx p xxx 所以利润函

22、数 3140300,050,12064001160,50 xxxf xxxx（2）当050 x时，1404040fxxx，所以当040 x时，0,fxf x在0,40上单调递增；当4050 x时，0,fxf x在40,50单调递减，所以当40 x 时，f x取得最大值2300403f当50 x 时，640064001160211601000f xxxxx 当且仅当6400 xx，即80 x 时，等号成立又230010003，故当80 x 时，所获利润最大，最大值为 1000 万元18（17 分）（1）解：单调递增区间是,0和0,，无单调递减区间（2）解：令 1ln,0,F xfxg xxa x

23、 xx要证明 f xg x，即证明 0F x 恒成立，且 10F，2221110axaxFxxxxx 设 210h xxaxx，其中 12ha当12a，即2a 时，h x在1,）上单调递增，且 120ha，所以在1,上，0h x，即 0Fx，则 F x在1,）上单调递增，所以当1,x）时，10F xF，故2a 满足题意；当12a，即2a 时，此时240a 设 0h x 的两根为,p q，解得24012aapp（舍），2412aaqq因为 120ha，所以当1,xq时，0,0,h xFxF x单调递减，则 10F xF，与题意矛盾，故2a 不满足题意综上，a的取值范围是,2（3）证明：由（2）可

24、知当2a 时，11,2ln0 xxxx 恒成立，整理得21lnxxx令211xk，即11xk所以*1111ln 111kkkkN，整理得*11ln1kkkk kN所以*113131ln2lnlnln 2ln1221nkkkkkkkk kN19（17 分）（1）证明：2222eeeecoshsinh22xxxxxx2222ee2ee2144xxxx2222eeeecoshsinh22xxxxxx222222ee2ee2eecosh2442xxxxxxx（2）解：因为eesinhsinh,2xxxx x R恒成立，故sinhyx是奇函数又因为exy 在R上严格递增，exy在R上严格递减，故eesi

25、nh2xxyx是R上的严格增函数，所以sinh 21sinh20 xx，即sinh 21sinh2sinh 2xxx，所以212xx，解得1x，即所求不等式的解集为,1（3）解：由题可知 22ee2ee42,2xxxxf xbbx xR，所以 22ee2ee42xxxxfxbb2ee2ee44xxxxbbee2ee22xxxxb因为 22ee2ee422xxxxfxbbxf x，所以 f x为奇函数，00f要证明函数存在三个零点，只需证明 f x在0,存在一个零点由e0 x，所以ee2xx当2b 时，222,ee22xxbb恒成立，此时 0fx，当且仅当0 x 时等号成立，所以 f x在R上单调递增，而 00f，所以函数 f x只存在一个零点，不符合题意；当2b 时，当0,x时，若x满足2ee22xxb，即当20ln12xbbb 时，0fx，则 f x在20,ln12bbb 上单调递减；当2ln12xbbb 时，0fx，则 f x在2ln12,bbb 上单调递增因为 00f，所以2ln120fbbb 又因为 1eeee4ee842xxxxxxfxbbx 1eeee484,2xxxxbbx当0 x 时，ee0,840 xxbx，所以当ee4xxb时，显然 0f x，所以 f x在0,存在一个零点，所以 f x在定义域上共存在三个零点综上，实数b的取值范围是2b