数学第八章 立体几何 第6讲 空间坐标系与空间向量配套 理.ppt

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1、第6讲空间坐标系与空间向量考纲要求考点分布考情风向标1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.4.理解直线的方向向量与平面的法向量.5.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系2011 年新课标以四棱锥为背景，考查求二面角的余弦值的大小；2012 年新课标以三棱柱为背景，考查求二面角的大小；2013 年新课标以三棱柱为背景，考查求线面所成角的正弦值；2014 年新课标以三棱柱背景，考查求二面角的余弦值；

2、2015 年新课标考查求直线与直线所成角的余弦值；2016 年新课标考查利用空间向量求二面角；2017 年新课标考查利用空间向量求二面角.能较易建立空间直角坐标系的，尽量建立空间直角坐标系；要注意向量运算与基本性质相结合的论述，这是今后的方向，可以“形到形”，可以“数到形”，注意数形结合或AB.空间向量可以在空间内自由平行移动.1.空间向量的概念在空间，既有大小又有方向的量，叫做空间向量，记作 a(1)加法：ABBCAC(三角形法则：首尾相连，指向终点).(2)减法：ABACCB(三角形法则：共点出发，指向被减).2.空间向量的运算 (3)数乘向量：a(R)仍是一个向量，且a 与 a 共线，|

3、a|a|.(4)数量积：ab|a|b|cosa，b，ab 是一个实数.3.空间向量的运算律(1)交换律：abba；abba.(2)结合律：(ab)ca(bc)；(a)b(ab)(R)注意：(ab)ca(bc)一般不成立.(3)分配律：(ab)ab(R)；a(bc)abac.4.空间向量的坐标运算叫做点 P 的坐标.(2)设 a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么ab(x1x2，y1y2，z1z2)；a_；ab x1x2y1y2z1z2；(x1，y1，z1)余弦值为 ，则(D.2 或1.若向量 a(1，2)，b(2，1，2)，且 a 与 b 夹角的89)CA.2B.2C.2 或25

4、5255A.一定不共面C.不一定共面B.一定共面D.无法判断B P，A，B，C 四点共面.故选 B.A图 D634.已知点 O 为坐标原点，三点的坐标分别是 A(2，1，2)，标为_.考点 1 空间向量的线性运算 图 861【规律方法】(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，这是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指定向量时，应结合已知向量和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算.(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则.(3)向量的线性

5、运算有一个常用的结论：如果 B 是线段 AC算.【互动探究】1.(2016 年河南郑州模拟)如图 862，已知空间四边形OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别为 OA，BC 的中点，则 xyz_.图 862答案：56向量OG_.2.如图 863，已知空间四边形 OABC 中，点 M 在线段 OA上，且 OM2MA，N 为 BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且图 863考点 2 空间向量的数量积运算例 2：(2016 年山西太原模拟)如图 864，直三棱柱 ABCA1B1C1，底面ABC中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分别是 A1B1，A1A 的中点.(3)求证：

6、A1BC1M.图 864(1)解：如图 D64，建立空间直角坐标系.图 D64 【规律方法】利用数量积解决问题的两条途径：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题.a0，b0，abab0；例 3：(2015 年新课标)如图 865，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面 AEC平面 AFC；(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值.图 865图 D65【规律方法】(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量平移到与

7、另一个向量的起点重合，从而转化为求平面中的角的大小.(2)由两个向量的数量积定义，得 cosa，bab|a|b|，求a，b的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出a，b的余弦值，进而求a，b的大小.在求 ab 时注意结合空间图形，把 a，b 用基向量表示出来,进而化简得出ab 的值【互动探究】3.(2012 年大纲)三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160，则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为_.4.(选修 21P105例1改编)如图 866，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 1，且两两夹角为 60.图 866易错、易混、易漏向量夹角不明致误例题：如图 867，在 120的二面角l中，Al，Bl，AC，BD，且 ACAB，BDAB，垂足分别为 A，B.已知ACABBD6，试求线段 CD 的长.图 867【失误与防范】(1)求解时，易混淆二面角的平面角与向量此处应结合图形，根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正确地转化为向量夹角.(2)对所用的公式要熟练，变形时运用公式要正确并注意符号等细节，避免出错.