数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.1 函数的单调性2 苏教版必修1 .ppt

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1、一般地，设函数一般地，设函数y=y=f(xf(x)定义域为定义域为A A，区间，区间 如果对于区间如果对于区间I I内的任意两个值内的任意两个值x1、x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(f(x1)f)f(x2),),那么就说那么就说y=y=f(xf(x)在区间在区间I I上是上是单调增函数单调增函数(increasing(increasing function),Ifunction),I称为称为y=f(x)y=f(x)的单调增区间的单调增区间(increasing interval)(increasing interval)。如果对于区间内的任意两个值如果对于区间内的任意两个值x1、x2，

2、当，当x1f)f(x2)，那么就说那么就说y=y=f(xf(x)在区间在区间I I上是上是单调减函数单调减函数(decreasing(decreasing function),Ifunction),I称为称为y=f(x)y=f(x)的单调减区间的单调减区间(decreasing interval)(decreasing interval)。任意任意x1x2f(f(x1)f()f(x2)任意任意x1f()f(x2)如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间I I上是上是单调增函数或单调减函数，单调增函数或单调减函数，那么那么就说函数就说函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间I I上具

3、有上具有单调性单调性.单调增区间和单调减区间单调增区间和单调减区间统称为统称为单调区间单调区间.都有都有都有都有x（时间：分）y(注意力指标数)02010204548。x（时间：分）y(注意力指标数)02010204548。函数函数f(x)在给定区间上在给定区间上为增函数。为增函数。Oxy如何用如何用x与与 f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？如何用如何用x与与 f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？函数函数f(x)在给定区间上在给定区间上为减函数。为减函数。Oxy例例:下图是定义在下图是定义在 5 5，55上的函数上的函数y yf f（x x）的图象，的图象，根据图象说出根据图

4、象说出y yf f（x x）的单调区间，以及在每一单调的单调区间，以及在每一单调区间上，区间上，y yf f（x x）是增函数还是减函数是增函数还是减函数.解：解：y yf f（x x）的单调区间有的单调区间有 5，3），3，1）1，3），3，5.其中其中y yf f（x x）在在 5 5，3 3），），11，3 3）上）上是减函数，是减函数，在在 3 3，1 1），），33，5 5）上是增函数）上是增函数.xyo31-35-5注意注意：单调区间之间一定要用逗号分开。：单调区间之间一定要用逗号分开。单调递增区间：单调递增区间：单调递减区间：单调递减区间：xy21o练习练习:1.下列函数中下列函

5、数中,在区间（在区间（0,2）上是增函数的是）上是增函数的是:（）（A）y=（B）y=2x-1（C）y=1-2x（D）y=(2x-1)2B2.y=x26x10的单调递增区间是的单调递增区间是_ 单调递减区间是单调递减区间是_（,33,3.f（x）=x26x10，x0，4,则则f（x）的）的递减区间是递减区间是_3,44.y=2x2mx1,当当x2，）时是减时是减函数函数,则则m的取值范围是的取值范围是_m8例例1 1：证明函数：证明函数f(xf(x)=2x+1)=2x+1在区间在区间(-(-,+),+)上是增函数。上是增函数。注意：我们在证明函数注意：我们在证明函数的单调性时，不能的单调性时，

6、不能“以以图代证图代证”,而是严格按而是严格按照定义证明照定义证明.回想一下,定义的本质是什么?本题怎样用定义来证明?证明：证明：（条件）（条件）（论证结果）（论证结果）（结论）（结论）例例1 1：证明函数：证明函数f(xf(x)=2x+1)=2x+1在区间在区间(-(-,+),+)上是增函数。上是增函数。证明函数单调性的步骤：证明函数单调性的步骤：第一步：第一步：取值取值即任取区间内的两个值，且即任取区间内的两个值，且x x1 1xx2 2第二步：第二步：作差变形作差变形将将f(xf(x1 1)f(xf(x2 2)通过通过因式分解、配方、有理化等方法，向有因式分解、配方、有理化等方法，向有利

7、于判断差的符号的方向变形。利于判断差的符号的方向变形。第三步：第三步：定号定号确定差的符号，适当的时确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。候需要进行讨论。第四步：第四步：判断判断根据定义作出结论。根据定义作出结论。取值取值作差变形作差变形定号定号判断判断演练反馈演练反馈2.求证求证：函数函数y=-5x+3在在R上为减函数上为减函数.3.求证求证：函数函数f(x)=-x3+1在在(-,+)上是减函数上是减函数.(能力提高题能力提高题)证明证明:设设x1,x2R 且且 x1 x2 x1 x2 x1 x2 f(x2)f(x)=x3+1在在(,+)上是减函数上是减函数.1.讨论函数讨论函数f(x)=(

8、x0)的单调性的单调性.2、判断函数、判断函数 y=x 3+1 在在 R 上的增减性。上的增减性。解：设解：设 x1,x2R 且且x 1 x 2 则则 f(x 2)f(x 1)=x 23+1+x 13 1=(x 1 x 2)(x 12+x 1x 2+x 22)x1,x2R x 1 x 2 0 ,f(x 2)f(x 1)0即即 f(x 2)f(x 1)故故 此函数在此函数在(0,+)上是减函数。上是减函数。142、求函数、求函数 y=的单调区间。的单调区间。解：由题解：由题 4+3x x 2 0得得 x 2 3x 4 0即即 1 x 4（外）函数的定义域为（外）函数的定义域为 1,4 设（内）函

9、数设（内）函数 M=4+3x x 2=yxo则由图则由图知：知：函数函数M的单调递减区间为的单调递减区间为 ，+)函数函数M的单调递增区间为的单调递增区间为(,故此函数的单调递增区间为故此函数的单调递增区间为 1,单调递减区间为单调递减区间为 ，4 3、函数、函数 f(x)在在(0,+)上是减函数，判断上是减函数，判断 f(a 2 a+1)与与 f()的大的大小关系？小关系？解：解：a 2 a+1 0又又 函数函数 f(x)在在(0,+)上是减函数上是减函数4、已知、已知 f(x)的定义域为的定义域为(0，+)，且在其定义域内为增函数，且在其定义域内为增函数，试解不等式试解不等式 f(x)f(x 2)0解：由解：由 f(x)f(x 2)0 得得 f(x)f(x 2)f(x)的定义域为的定义域为(0，+)，且在其定义域内为增函数，且在其定义域内为增函数，故所求故所求不等式的解集为不等式的解集为(2,+)祝同学们学习进步！