数学 第一章 三角函数 1.6 余弦函数的图像与性质2 北师大版必修4 .ppt

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1、1.61.6余弦函数的图像与性质余弦函数的图像与性质1.1.余弦函数图像的画法余弦函数图像的画法(1)(1)平移法：平移法：左左(2)(2)五点法：五点法：五个关键点：五个关键点：x x0 022coscos x x_1 10 0-1-10 01 1函数函数y=y=coscos x x，xx0,20,2的简图：的简图：y=cosx(x0,2)y=cosx(x0,2)的的图像向左、向右平行移像向左、向右平行移动(每次平移每次平移_个个单位位)得到余弦函数得到余弦函数y=y=cosx(xRcosx(xR)的的图像像,此此图像叫作余弦曲像叫作余弦曲线.222.2.余弦函数的性余弦函数的性质函数函数性

2、质性质 余弦函数余弦函数y=y=coscos x x 图像图像 定义域定义域 R R 值域值域 -1,1-1,1 函数函数性质性质 余弦函数余弦函数y=y=coscos x x 最值最值 当当x=2k(kZ)x=2k(kZ)时，时，y ymaxmax=1=1当当x=(2k+1)(kZ)x=(2k+1)(kZ)时，时，y yminmin=-1=-1 周期性周期性 是周期函数，最小正周期为是周期函数，最小正周期为_ _ 奇偶性奇偶性 是偶函数，图像关于是偶函数，图像关于y y轴对称轴对称 单调性单调性 在在(2k-1),2k(2k-1),2k(kZkZ)上是上是_的的在在2k,(2k+1)2k,(

3、2k+1)(kZkZ)上是上是_的的22增加增加减少减少【即即时小小测】1.1.思考下列思考下列问题(1)(1)由由y=y=sinx,xRsinx,xR的的图像得到像得到y=y=cosx,xRcosx,xR的的图像像,平移的方法唯一平移的方法唯一吗?提示提示:可向左平移也可向右平移可向左平移也可向右平移,方法不唯一方法不唯一.(2)(2)形如形如y=y=Acos(x+Acos(x+)(A)(A0,xR)0,xR)的的值域域还是是-1,1-1,1吗?提示提示:不一定是不一定是.值域是值域是-A,A.-A,A.(3)(3)余弦函数是偶函数余弦函数是偶函数,图像关于像关于y y轴对称称,那么余弦函数

4、的那么余弦函数的对称称轴只有只有一条一条吗?提示提示:余弦函数的对称轴有无数条余弦函数的对称轴有无数条.2.2.函数函数y=cosx-2y=cosx-2的最小的最小值是是()A.-2A.-2B.-3B.-3C.0C.0D.-1D.-1【解析解析】选选B.cosxB.cosx-1,1,-1,1,故故y=cosx-2y=cosx-2的最小值为的最小值为-3.-3.3.3.已知函数已知函数y=3cos(+x),y=3cos(+x),则当当x=_x=_时,函数取得最大函数取得最大值.【解析解析】y=3cos(y=3cos(+x)=-3cosx,+x)=-3cosx,所以当所以当x=2kx=2k+(k(

5、kZ)Z)时函数取得时函数取得最大值最大值.答案答案:2k2k+(k(kZ)Z)4.4.设 则M M与与N N的大小关系的大小关系为_._.【解析解析】y=cosxy=cosx在在0,0,上为减少的且上为减少的且 所以所以 所以所以NM.NM.答案答案:NMNM5.5.求求 的定的定义域域.【解析解析】根据函数解析式可得根据函数解析式可得所以所以借助数轴借助数轴,得原函数的定义域为得原函数的定义域为 【知知识探究探究】知知识点点 余弦函数的余弦函数的图像和性像和性质观察如察如图所示内容所示内容,回答下列回答下列问题:问题:你能你能类比正弦函数的性比正弦函数的性质总结出余弦函数的性出余弦函数的性

6、质吗?【总结提升提升】1.1.对余弦函数余弦函数单调性的三点性的三点说明明(1)(1)余弦函数在定余弦函数在定义域域R R上不是上不是单调函数函数,但存在但存在单调区区间.(2)(2)求解或判断余弦函数的求解或判断余弦函数的单调区区间(或或单调性性),),是求与之相关的是求与之相关的值域域(或最或最值)的关的关键,通常借助其求通常借助其求值域域(或最或最值).).(3)(3)确定确定较复复杂函数的函数的单调性性,要注意使用复合函数要注意使用复合函数单调性的判断方法性的判断方法.2.2.对余弦函数最余弦函数最值的两点的两点说明明(1)(1)明确余弦函数的有界性明确余弦函数的有界性:|cosx|1

7、.:|cosx|1.(2)(2)形如形如y=y=Acos(x+Acos(x+)(A)(A0,0)0,0)的函数求最的函数求最值,通常用通常用“整体代整体代换”令令z=z=x+x+,将函数将函数转化化为y=y=AcoszAcosz的形式的形式.【题型探究型探究】类型一型一 余弦函数的余弦函数的图像像【典例典例】试用用“五点法五点法”作出函数作出函数y=2cosx+1y=2cosx+1的的图像像.【解解题探究探究】要作函数的要作函数的图像像,要求的要求的“五点五点”是什么是什么?提示提示:“五点五点”分别是分别是(0,3),(0,3),(,-1),(2,-1),(2,3).,3).【解析解析】列表

8、列表:描点连线描点连线:【方法技巧方法技巧】“五点法五点法”画函数画函数图像的三个步像的三个步骤【变式式训练】(2015(2015汉中高一中高一检测)函数函数y=cosx-2,x-,y=cosx-2,x-,的的图像是像是()【解析解析】选选A.yA.y=cosx,xcosx,x-,的图像为的图像为 ,向下平移向下平移2 2个单位得个单位得y=cosx-2,y=cosx-2,其图像为其图像为 ,故选故选A.A.类型二型二 余弦函数的性余弦函数的性质【典例典例】不等式不等式sinxsinx cosxcosx(x(x(0,20,2)的解集的解集为_._.【解解题探究探究】当当sinxsinx cos

9、xcosx(x(x(0,20,2)时,y=,y=sinxsinx与与y=y=cosxcosx的的图像像之之间的关系是怎的关系是怎样的的?提示提示:y=y=sinxsinx的图像在的图像在y=y=cosxcosx的下方的下方.【解析解析】在同一个坐标系中作出在同一个坐标系中作出y=y=sinx,ysinx,y=cosxcosx在在0,20,2 上的图像如上的图像如图图:因为因为sinxsinx cosxcosx,故故 所以不等式的解集为所以不等式的解集为 答案答案:【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件条件)若本例中若本例中xRxR,试求不等式的解集求不等式的解集.【解析解析】因为正余弦函数的

10、周期都是因为正余弦函数的周期都是2 2,由本例的解法可知当由本例的解法可知当x xR R时时,不等式的解集为不等式的解集为 ,k kZ Z.2.(2.(变换条件条件)设f(xf(x)=)=给出下列四个命出下列四个命题:该函数是以函数是以为最小正周期的周期函数最小正周期的周期函数;当且当且仅当当x=x=+k(kZ+k(kZ)时,该函数取得最小函数取得最小值-1;-1;该函数的函数的图像关于像关于x=+2k(kZ)x=+2k(kZ)对称称;当且当且仅当当2kx +2k(kZ)2kx +2k(kZ)时,0,0f(xf(x).).其中正确命其中正确命题的序号是的序号是_(_(请将所有正确命将所有正确命

11、题的序号都填上的序号都填上)【解析解析】由题意函数由题意函数f(xf(x)=)=画出画出f(xf(x)在在x0,2x0,2上的图像上的图像.由图像知由图像知,函数函数f(xf(x)的最小正周期为的最小正周期为2,2,在在x=+2k(kZ)x=+2k(kZ)和和x=+2k(kZ)x=+2k(kZ)时时,该函数都取得最小值该函数都取得最小值-1,-1,故故错误错误,由图像知由图像知,函数图像关于直线函数图像关于直线x=+2k(kZ)x=+2k(kZ)对称对称,在在2kx +2k(kZ)2kx +2k(kZ)时时,0,0f(xf(x),),故故正确正确.答案答案:【方法技巧方法技巧】关于余弦函数性关

12、于余弦函数性质的的应用用应用用余余弦弦函函数数的的性性质时一一般般要要结合合余余弦弦函函数数的的图像像,特特别注注意意余余弦弦函函数数单调区区间、最最值、对称称性性等等性性质在在图像像中中的的体体现,解解题中中要要善善于于利利用用图像像发现函数的性函数的性质用于解用于解题.【补偿训练】函数函数f f（x x）=有意有意义,则x x的取的取值范范围是是_._.【解析解析】要使函数有意义要使函数有意义,则则1-2cosx1-2cosx0,0,即即cosxcosx ,x,x(0,2(0,2),解得解得 即不等式的解集为即不等式的解集为 答案答案:规范解答范解答 余弦函数性余弦函数性质的的应用用【典例

13、典例】(12(12分分)求函数求函数 的最大的最大值及及最小最小值,并写出并写出x x取何取何值时,函数有最大函数有最大值和最小和最小值.【审题指指导】要要求求函函数数的的最最值,需需要要把把cosxcosx看看作作整整体体,换元元后后配配方方求求最最值,再根据取最再根据取最值时的的cosxcosx值,求求x x的的值.【规范解答范解答】【题后悟道后悟道】关于关于换元法的元法的应用用换元法在求解析式、元法在求解析式、值域、域、单调区区间等等问题中有着广泛的中有着广泛的应用用,应用用换元法元法时要特要特别注意注意换元范元范围的确定的确定,换元的范元的范围决定了相决定了相应问题的的正正误.如本如本题中中换元元t t 决定了函数的最决定了函数的最值,如果如果换元的范元的范围不准不准确确,很容易把最很容易把最值的范的范围求求错.